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        一個(gè)正三角形面積最值的求法探究

        2019-10-23 11:53:24許銀伙
        數(shù)理化解題研究 2019年28期
        關(guān)鍵詞:正三角形傾斜角邊長(zhǎng)

        許銀伙

        (福建省泉州外國(guó)語中學(xué) 362000)

        分析一以邊OA,OB所在直線分別為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,通過正三角形的直觀性質(zhì)三邊相等和已知條件求出OE,OG的長(zhǎng)度關(guān)系,進(jìn)而求出EG的最小值.

        △EFG為正三角形,所以|EF|=|EG|=|FG|,

        分析二以邊OA,OB所在直線分別為x,y軸,建立直角坐標(biāo)系,深入運(yùn)用正三角形性質(zhì)和已知條件求出OE,OG的長(zhǎng)度關(guān)系,進(jìn)而求出EG的最小值.

        即得:

        分析三由圖形看出,等邊△EFG的邊長(zhǎng)與∠OEG的大小有聯(lián)系,考慮尋找它們之間的聯(lián)系,把△EFG的邊長(zhǎng)用∠OEG表示, 從而把△EFG面積化為∠OEG的函數(shù),利用三角函數(shù)知識(shí)解決問題.

        評(píng)注1.本方法通過對(duì)幾何圖形深入分析,找出角的相等關(guān)系,然后利用正弦定理和已知邊的關(guān)系,快速得到所求正三角形邊長(zhǎng)關(guān)于引入的角的函數(shù)式,從而快速解決問題.利用平面幾何知識(shí)解題,是高中同學(xué)的弱項(xiàng),值得重視和加強(qiáng).

        分析四由圖形看出,若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α,可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°,又因?yàn)镋F=EG,所以考慮利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題.

        因?yàn)辄c(diǎn)G在y軸上,所以x0+rcos(α+60°)=0,即x0=-rcos(α+60°).

        評(píng)注這種方法運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題,緊扣選修4-4的教材知識(shí),但對(duì)三角函數(shù)知識(shí)要求較高,需要熟練掌握三角函數(shù)知識(shí)才能完整解答.

        分析五由圖形看出,若引入直線EF的傾斜角∠AEF=α,可得直線EG的傾斜角∠AEG=α+60°,又因?yàn)镋F=EG,所以考慮利用向量知識(shí)解題.

        評(píng)注這種方法與方法四類似,但運(yùn)用的卻是必修系列教材的內(nèi)容,對(duì)知識(shí)概念的理解和三角函數(shù)公式的運(yùn)用能力要求較高.由此可知:向量與三角函數(shù)的結(jié)合可以作為解決旋轉(zhuǎn)問題的有力工具.

        評(píng)注這種方法與方法五類似,思路與方法一相同.所運(yùn)用的知識(shí)是原來全國(guó)大綱教材關(guān)于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義:若復(fù)數(shù)為z2對(duì)應(yīng)的向量是復(fù)數(shù)為z1對(duì)應(yīng)的向量繞逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(θ>0)得到,則z2=z1·(cosθ+isinθ)或z2=z1·[cos(-θ)+isin(-θ)];如果復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)再變?yōu)樵瓉淼膔倍,只需在上面式子右端乘上r即可.它們是解決向量旋轉(zhuǎn)與伸縮的好工具.

        以上方法一和方法二求正三角形面積純粹設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),不設(shè)邊長(zhǎng),思路距離問題的解決比較遠(yuǎn),運(yùn)算也比較復(fù)雜;方法三設(shè)了邊長(zhǎng)和角,利用平面幾何知識(shí)和正弦定理,把邊長(zhǎng)化為角的三角函數(shù),最為扣緊高中核心知識(shí),但平面幾何知識(shí)的運(yùn)用是高中學(xué)生的弱項(xiàng);方法四五六都是直接針正三角形邊長(zhǎng),分別利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,向量與三角函數(shù)知識(shí)的結(jié)合,復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義把邊長(zhǎng)化為角的三角函數(shù),運(yùn)算量相對(duì)減少.通過這個(gè)問題解決方法的探索,可以把高中主要知識(shí)融會(huì)貫通,有效地提高數(shù)學(xué)解題能力.

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