文李 丹

方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程等知識(shí)，感受了方程模型對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題的作用和價(jià)值，積累了一些利用方程解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，即尋找等量關(guān)系，必要時(shí)可以通過(guò)表格幫助我們理清已知與未知的關(guān)系，從而列出方程求解。一元二次方程解決問(wèn)題的基本類型有：圖形面積問(wèn)題、變化率（增長(zhǎng)或下降）問(wèn)題、銷售利潤(rùn)問(wèn)題等。

一、圖形面積問(wèn)題

例1 南京市某小區(qū)有一塊長(zhǎng)12米、寬6米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的長(zhǎng)方形綠化地，它們的面積之和為36平方米，兩塊綠化地之間及周圍留有寬度相等的小路，求小路的寬度為多少米？

【解析】本題可以把兩個(gè)綠化矩形拼成一個(gè)大矩形，此大矩形的面積為36，找到該矩形的長(zhǎng)與寬，其乘積為36建立一元二次方程求解。

解：設(shè)小路的寬度為x米，根據(jù)矩形的面積公式可得一元二次方程：（12-3x）（6-2x）=36。解這個(gè)方程，得 x1=1，x2=6（不合題意，舍去）。

答：小路的寬度為1米。

【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的圖形面積問(wèn)題，除了拼接大矩形解決問(wèn)題外，還可以用整個(gè)圖形的面積減小路面積，得到兩塊矩形綠化地面積36，建立方程求解。解決此類問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們最關(guān)鍵的就是找到圖形之間的面積關(guān)系。

二、變化率（增長(zhǎng)或下降）問(wèn)題

例2 為了鞏固全國(guó)文明城市建設(shè)成果，突出城市品質(zhì)的提升，近年來(lái)，某市積極落實(shí)節(jié)能減排政策，推行綠色建筑。據(jù)統(tǒng)計(jì)，該市2014年的綠色建筑面積約為700萬(wàn)平方米，2016年達(dá)到了1183萬(wàn)平方米，若2015年、2016年的綠色建筑面積按相同的增長(zhǎng)率逐年遞增，求這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率。

【解析】設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為x，本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系：

__________________________________2015年2016年____新增建筑面積（萬(wàn)平__方________________________________米）總綠色建筑面積（萬(wàn)__平方米）700x 700（1+x）x 700+700x=700（1+x）700（1+x）+700（1+x）x=700（1+x）2

2016年總綠色建筑面積為1183。再根據(jù)相等關(guān)系建立一元二次方程求解。

解：設(shè)這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得：

700（1+x）2=1183，

解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合題意，舍去）。

答：這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長(zhǎng)率為30%。

【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的增長(zhǎng)率問(wèn)題，同學(xué)們真正理解a（1+x）n的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

例3 某種商品經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià)后，單價(jià)由200元下調(diào)至128元，求這種商品平均每次降價(jià)的百分率。

【解析】設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為x，本題可借助表格分析數(shù)量關(guān)系：

_________________________標(biāo)價(jià)（元）200-200x=200（1-x）____200（1-x）-200（1-____________________x）x=200（1-x）2第一次降低（元）__________________200x第二次200（1-x）x

兩次降價(jià)后標(biāo)價(jià)128元。再根據(jù)相等關(guān)系建立方程求解。

解：設(shè)這種商品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：200（1-x）2=128，

解得：x1=0.2，x2=1.8（不合題意，舍去）。

答：這種商品平均每次降價(jià)的百分率為20%。

【點(diǎn)評(píng)】本題是基本的下降率問(wèn)題，同學(xué)們真正理解a（1-x）n的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

三、銷售利潤(rùn)問(wèn)題

例4 我區(qū)正大力發(fā)展綠色農(nóng)產(chǎn)品，有一種有機(jī)水果A特別受歡迎，某超市以市場(chǎng)價(jià)格10元每千克在我市收購(gòu)了6000千克A水果，立即將其冷藏，請(qǐng)根據(jù)下列信息解決問(wèn)題。

①水果A的市場(chǎng)價(jià)格每天每千克上漲0.1元；

②平均每天有10千克的該水果損壞，不能出售；

③每天的冷藏費(fèi)用為300元；

④該水果最多保存110天。

（1）若將這批A水果存放x天后一次性出售，則x天后這批水果的銷售單價(jià)為_(kāi)_____元；可以出售的完好水果還有______千克；

（2）將這批A水果存放多少天后一次性出售所得利潤(rùn)為9600元？

【解析】（1）根據(jù)銷售價(jià)=成本價(jià)+每天每千克上漲0.1元填空；完好水果的質(zhì)量=總質(zhì)量-損壞的水果的質(zhì)量；

（2）按照等量關(guān)系“利潤(rùn)=銷售總金額-收購(gòu)成本-各種費(fèi)用”列出方程求解即可。

售價(jià)（元）____銷量（千克）成本（元）冷藏費(fèi)（元）利潤(rùn)（元）10+0.1x 6000-10x_____10×6000 300x 9600

可借助表格分析各個(gè)量的表示：；

【解答】（1）10+0.1x；6000-10x；

（2）由題意列方程：

（10+0.1x）（6000-10x）-10×6000-300x=9600，

解得：x1=80，x2=120（不合題意，舍去）。

答：這批A水果存放80天后一次性售出所得利潤(rùn)為9600元。

【點(diǎn)評(píng)】本題是典型的銷售利潤(rùn)模型，等量關(guān)系一般為：（售價(jià)-成本）×銷售量=總利潤(rùn)，其中售價(jià)和銷售量都跟價(jià)格有關(guān)，從而據(jù)此設(shè)定未知量建立方程。

小試牛刀

1.有一條長(zhǎng)40cm的繩子，要把它圍成一個(gè)矩形，若設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，回答以下問(wèn)題：

（1）怎樣圍成一個(gè)面積為75cm2的矩形？

（2）能圍成一個(gè)面積為101cm2的矩形嗎？如能，說(shuō)明圍法；如不能，說(shuō)明理由。

2.為了建設(shè)生態(tài)園林城市，某市大力開(kāi)展植樹(shù)造林活動(dòng)，該市林業(yè)部門(mén)調(diào)查情況如下表：

2011年底21.6年份全市森林擁有面積（萬(wàn)畝）2009年底15

求2009年底至2011年底該市森林擁有面積的年平均增長(zhǎng)率。

3.某玩具廠生產(chǎn)一種玩具，按照控制固定成本降價(jià)促銷的原則，為使生產(chǎn)的玩具能夠及時(shí)售出，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每個(gè)玩具按480元銷售時(shí)，每天可銷售160個(gè)；若銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出2個(gè)。已知每個(gè)玩具的固定成本為360元，問(wèn)這種玩具的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠家每天可獲利潤(rùn)20000元？

4.某水果店銷售一種水果的成本價(jià)是5元/千克。在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種水果的價(jià)格定在7元/千克時(shí)，每天可以賣出160千克。在此基礎(chǔ)上，這種水果的單價(jià)每提高1元/千克，該水果店每天就會(huì)少賣出20千克。

（1）若該水果店每天銷售這種水果所獲得的利潤(rùn)是420元，則單價(jià)應(yīng)定為多少？

（2）在利潤(rùn)不變的情況下，為了讓利于顧客，單價(jià)應(yīng)定為多少？