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        立足二次方程概念 梳理判別式要點

        2019-10-22 05:07:42文熊冬平
        初中生世界 2019年35期
        關(guān)鍵詞:實根判別式升華

        文熊冬平

        一、要點梳理

        要點一:一元二次方程根的判別式。

        一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中,b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式:

        (1)當b2-4ac>0時,一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根;

        (2)當b2-4ac=0時,一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根;

        (3)當b2-4ac<0時,一元二次方程沒有實數(shù)根。

        要點詮釋:

        利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟:①把一元二次方程化為一般形式;②確定a,b,c的值;③計算b2-4ac的值;④根據(jù)b2-4ac的符號判定方程根的情況。

        要點二:一元二次方程根的判別式的逆用。

        在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中:

        (1)方程有兩個不相等的實數(shù)根?b2-4ac>0;

        (2)方程有兩個相等的實數(shù)根?b2-4ac=0;

        (3)方程沒有實數(shù)根?b2-4ac<0。

        要點詮釋:

        (1)逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍,不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件;

        (2)若一元二次方程有兩個實數(shù)根,則b2-4ac≥0。

        二、典型例題

        一元二次方程根的判別式的應(yīng)用。

        例1 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,求k的取值范圍。

        【思路點撥】已知方程有兩個不相等的實數(shù)根,即b2-4ac>0,得到關(guān)于k的不等式,從而求得k的范圍。

        【解析】a=1,b=2k+1,c=k2+1。

        b2-4ac=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3。

        ∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

        ∴4k-3>0。

        【總結(jié)升華】我們應(yīng)熟練掌握一元二次方程根的判別式與根之間的對應(yīng)關(guān)系,同時要注意書寫格式。

        拓展已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+2)x-m2+m+1=0。

        (1)求證:不論m為何值,該方程總有實數(shù)根;

        (2)當方程有兩個相等的實數(shù)根時,求m的值及方程的根。

        【解析】(1)證明:∵a=1,b=m+2,c=-m2+m+1,

        ∴b2-4ac=(m+2)2-4(-m2+m+1)=5m2≥0。

        ∴不論m為何值,該方程總有實數(shù)根。

        (2)解:∵方程兩個實數(shù)根相等,

        ∴b2-4ac=0。

        即5m2=0,m=0。

        當m=0時,原方程為x2+2x+1=0。

        解得:x1=x2=-1。

        例2 已知關(guān)于x的方程mx2-(m+2)x+2=0。

        求證:不論m為何值,該方程總有實數(shù)根。

        【思路點撥】我們應(yīng)注意本題并沒有說方程是一元二次方程,也沒有說方程有兩個實數(shù)根,因此二次項系數(shù)可以為0,也可以不為0。

        【解析】①當m=0時,原方程為一次方程,此時x=1,

        ∴當m=0時,方程有實數(shù)根;

        ②當m≠0時,b2-4ac=[-(m+2)]2-4×m×2=(m-2)2,

        ∵(m-2)2≥0,

        ∴方程有實數(shù)根。

        綜上所述,無論m為何值,該方程總有實數(shù)根。

        【總結(jié)升華】(1)應(yīng)用判別式的條件是方程為一元二次方程,當二次項系數(shù)為字母時,應(yīng)注意系數(shù)不為0;

        (2)應(yīng)用判別式應(yīng)將方程化為一般形式;

        (3)注意有實根和有兩個實根的區(qū)別。

        拓展已知關(guān)于x的方程kx2-(k+2)x+2=0。若k為任意實數(shù),判斷方程根的情況并說明理由。

        【解析】①當k=0時,-2x+2=0,x=1。

        ②當k≠0時,b2-4ac=[-(k+2)]2-8k=(k-2)2。

        ∴當k=0時,方程有一個實數(shù)根;

        當k=2時,(k-2)2=0,方程有兩個相等的實數(shù)根;

        當k≠2且k≠0時,(k-2)2>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根。

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