蒲瑾 楊樹政 林愷

1) (西華師范大學物理與空間科學學院, 南充 637002)

2) (電子科技大學物理學院, 成都 610054)

3) (中國地質(zhì)大學(武漢)地球物理與空間信息學院, 地球內(nèi)部多尺度成像湖北省重點實驗室, 武漢 430074)

4) (Escola de Engenharia de Lorena, Universidade de Sao Paulo, 12602-810, Lorena, Sao Paulo, Brazil)

本文把平直時空中的洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程推廣到動態(tài)Vaidya黑洞彎曲時空中.由于動態(tài)Vaidya黑洞的表觀視界與類時極限面重合, 根據(jù)霍金輻射量子效應(yīng)理論, 我們在Vaidya黑洞的表觀視界ra= 2M(v)處研究了洛倫茲破缺理論對Dirac粒子Hawking隧穿輻射特征的影響.我們通過gamma矩陣的對易性質(zhì)和半經(jīng)典近似得到了一個新的洛倫茲對稱性破缺的Dirac-Hamilton-Jacobi方程, 并利用這一修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程研究了Dirac粒子隧穿輻射的特征, 討論了洛倫茲對稱性破缺對動態(tài)球?qū)ΨQVaidya黑洞的熱力學參數(shù)的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 洛倫茲破缺理論中僅有類以太修正項會對黑洞熱力學性質(zhì)帶來修正.同時, 還發(fā)現(xiàn)修正Hawking溫度與類以太矢量修正項系數(shù)的正負有關(guān), 而我們之前應(yīng)用洛倫茲破缺理論研究標量粒子的修正Hawking溫度也是與類以太矢量修正項系數(shù)的正負有關(guān)的.

1 引 言

物理學發(fā)展至今, 幾乎完美地解釋了所有物理實驗中發(fā)現(xiàn)的各種物理現(xiàn)象.在天體物理和宇宙尺度下, 廣義相對論可以很好地解釋“我們所處的宇宙為什么會是如此”的問題; 在微觀領(lǐng)域, 量子場論則完美地闡述了各種微觀物理現(xiàn)象.隨著科學研究的不斷深入, 當今的物理學依然面臨著一些前沿熱點問題的挑戰(zhàn), 在天文觀測上, 人們發(fā)現(xiàn)星系周圍存在著大量的暗物質(zhì), 同時宇宙還在某種暗能量的驅(qū)動下加速膨脹.在微觀高能領(lǐng)域中, 量子引力理論則遲遲無法完美地建立起來.這些未解之謎深深地困惑著當今的理論物理學和天文學的研究者.由于廣義相對論是一個不可重整化的引力理論, 因此幾種修正的引力理論被提出了, 有人猜測, 構(gòu)成廣義相對論基石的“洛倫茲對稱性”在高能下可能會產(chǎn)生破缺.在這個基本假設(shè)下, 人們提出了各種洛倫茲對稱性破缺的引力模型[1?3].洛倫茲對稱性破缺的理論原則上可以解決引力不可重整化的難題, 另外關(guān)于這些洛倫茲對稱性破缺的模型的一些研究顯示暗物質(zhì)可能只是洛倫茲對稱性破缺的理論模型的一個效應(yīng)[4].在弦論[5]、電動力學[6]、非阿貝爾理論[7]等方面的研究中, 洛倫茲對稱性的破缺也得到了廣泛地關(guān)注.近年來, 人們通過引入類以太場項, 給出了平直時空中洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程, 并對這個理論中的以太場項的量子修正進行了研究[8,9].在這個理論中, 類以太場的存在導致時空的洛倫茲對稱性的消失, 可能會在高能情況下表現(xiàn)出和洛倫茲對稱性的理論不同的性質(zhì)來.

另一方面, 在彎曲時空中, 霍金證明黑洞視界附近由于劇烈的量子效應(yīng), 可能輻射出霍金輻射[10,11].霍金輻射的存在巧妙地把引力論、量子論、熱力學有機地聯(lián)系到了一起[12?14], 因此研究者期望通過對黑洞霍金輻射的研究來理解量子引力理論的動力學行為.我們可以用隧穿的觀點來解釋黑洞的霍金輻射效應(yīng):黑洞視界可以被視為一個勢壘, 黑洞視界內(nèi)的虛粒子有概率通過量子效應(yīng)穿過此勢壘,并在視界外實化成實粒子形成霍金輻射.研究人員利用隧穿理論提出了計算黑洞霍金溫度和黑洞熵的方法[15?23], 隨后通過把標量場方程化為Hamilton-Jacobi方程的方法簡化了隧穿輻射的研究[24,25].2008年開始, 研究人員逐漸對黑洞的費米子隧穿輻射感興趣[26?33], 2009年我們提出了用半經(jīng)典近似求得費米子的Hamilton-Jacobi方程, 并進一步研究了高維和旋轉(zhuǎn)時空的霍金輻射特征[34?36].

目前, 在利用洛倫茲破缺理論研究黑洞的隧穿輻射特征方面, 研究人員只對靜態(tài)情況下標量粒子的Hawking隧穿輻射進行了研究[37], 而對于在動態(tài)彎曲時空中洛倫茲破缺理論對旋量粒子Hawking隧穿輻射的修正的研究還未有報道.因此, 在動態(tài)彎曲時空中研究洛倫茲破缺理論對Dirac粒子量子隧穿輻射特征的修正, 是一個有意義的前沿研究課題.本文針對這一課題, 研究動態(tài)黑洞時空中洛倫茲對稱性破缺的Dirac隧穿輻射.由于黑洞時空是極端引力的時空, 在黑洞視界附近各種引力和量子效應(yīng)更加明顯, 因此對黑洞視界處黑洞熱力學的研究將有助于人們更深刻地理解洛倫茲對稱性破缺帶來的各種量子效應(yīng).在第2節(jié)中, 我們將根據(jù)文獻[8]的思路, 構(gòu)造一個彎曲時空中的洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程, 然后我們運用半經(jīng)典近似把這個Dirac方程進行化簡, 得到一個變形的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.

2 洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程和修正的Hamilton-Jacobi方程

文獻[8]中給出了平直時空中的洛倫茲對稱性破缺的作用量, 我們將平直時空中的矩陣推廣到彎曲時空中的矩陣, 考慮到γμ矩陣的對易關(guān)系, 并應(yīng)用普通微商到協(xié)變微商的推廣, 即可得到彎曲時空中洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程為

這里的Ψ是 Dirac方程的函數(shù), 而其中最后一項是旋聯(lián)絡(luò)項,體現(xiàn)了彎曲時空中的旋量協(xié)變導數(shù)的性質(zhì).a、b、c項是很小的量, 因此這幾項滿足關(guān)系:a,b,c?m.在平直時空中的類以太矢量uα是一個常量, 自然滿足條件

在彎曲時空中, 上述條件作為類以太矢量uα需要滿足的條件出現(xiàn),uα不再一定是一個常量了.在Vaidya時空中, 我們定義其中平直時空中的gamma矩陣和彎曲時空中的gamma矩陣γμ分別滿足條件

為了研究Vaidya黑洞表觀視界處的隧穿輻射, 我們利用半經(jīng)典近似對彎曲時空中洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程進行處理, 因此可以假設(shè)

注意到Ψ在矩陣方程中是一個列矩陣函數(shù), 因此按照 (4) 式,ψ也是一個列矩陣函數(shù).把 (4) 式代入變形的Dirac方程(1)式, 并考慮到 ? 是一個小量,因此把 ? 的所有高階項都略去, 最后得到一個半經(jīng)典的矩陣關(guān)系:

然后, 考慮到gamma矩陣的反對易關(guān)系(3)式, 我們有

于是(5)式變成

(7)式的計算中, 我們已經(jīng)用到了a是小量的條件, 我們把a進行展開并忽略掉了高階項, 在后面的運算中, 我們始終把a、b、c視為小量, 在展開式中忽略掉高階項.接下來, 我們可以把(7)式寫成矩陣方程形式, 然后令矩陣的行列式為零即可得到修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.但是根據(jù)(3)式, 我們可以用一個更簡單的方法推導出這一修正的Dirac-Hamilton-Jacobi方程.通過把上式兩邊乘以 iγυS,υ, 即

于是我們得到

我們發(fā)現(xiàn)由洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程在半經(jīng)典近似下得到的變形Dirac-Hamilton-Jacobi方程僅受a、c兩個修正項的修正, 其中a項僅僅對質(zhì)量項修正, 而c項則對S項前的函數(shù)進行了修正.這暗示著, 只有c項修正會影響到霍金輻射的性質(zhì).我們將在第3節(jié)中利用這個Dirac-Hamilton-Jacobi方程對Vaidya黑洞表觀視界處的熱力學性質(zhì)進行研究.

3 Vaidya黑洞的隧穿輻射及其修正

在宇宙空間中, 由于黑洞可以不斷吸積物質(zhì)或者由霍金輻射蒸發(fā)質(zhì)量, 因此真實的黑洞一定是動態(tài)黑洞.最簡單的動態(tài)黑洞是球?qū)ΨQ不帶電的Vaidya黑洞, 其線元可以寫為

由于動態(tài)Vaidya黑洞的表觀視界ra=2M(v)與類時極限面(無限紅移面)重合, 因此可以把表觀視界ra視為Vaidya黑洞的邊界, 根據(jù)霍金輻射量子效應(yīng)理論, 穿越這一邊界的粒子到達類時區(qū).所以, 我們研究了Vaidya黑洞表觀視界處的霍金隧穿輻射修正.Vaidya黑洞的逆變度規(guī)張量為

這里M(v) 是黑洞的質(zhì)量, 在真實宇宙中由于黑洞對周圍物質(zhì)的吸積作用, 動態(tài)黑洞的質(zhì)量可能增加, 也可能由于量子隧穿輻射效應(yīng)的蒸發(fā)而導致黑洞質(zhì)量的減少.另一方面, 靜態(tài)球?qū)ΨQ史瓦西黑洞的表觀視界、事件視界和無限紅移面是重合在一起的, 然而在Vaidya黑洞中, 表觀視界和事件視界不再重合.近來的一些研究顯示, 把動態(tài)黑洞表觀視界視為霍金輻射的源區(qū)更加合理[38?40].接下來,我們在表觀視界處研究黑洞的霍金輻射.

這里的CL是分離變量常數(shù).于是我們有

(14)式中, 我們已經(jīng)在表觀視界處用到了Kodama矢量條件同時在表觀視界附近, 我們有F(r→ra)→0 , 所以

因此, 在表觀視界處的黑洞隧穿率是

其中, 霍金溫度是

這里的Th是未修正的史瓦西黑洞事件視界處的霍金溫度, 而修正后的霍金溫度TH則與相關(guān).因此我們發(fā)現(xiàn)類以太矢量項只有c項可以修正霍金溫度, 但是零靜止質(zhì)量粒子時,修正項消失.同時, 我們發(fā)現(xiàn)總是大于零, 這意味著當c大于零時候, 修正霍金溫度變高; 而當c小于零時候, 修正霍金溫度降低.也就是說, 修正霍金溫度與類以太矢量修正項系數(shù)的正負有關(guān).而我們之前的研究中也發(fā)現(xiàn), 應(yīng)用洛倫茲破缺理論研究標量粒子的修正霍金溫度也是與類以太矢量修正項系數(shù)的正負有關(guān)的[37].

另一方面, 我們也可以研究了uα=(0,0,uθ,0)和uα=(0,0,0,uφ) 的情況, 其中前一種情況要求uθ ∝r?1, 而后一種情況要求uφ∝r?1sin?1θ, 所以uθ和uφ的修正只能影響角向部分, 而無法影響到作為黑洞徑向行為的霍金輻射的性質(zhì).

4 結(jié) 論

本文把洛倫茲對稱性破缺的Dirac方程推廣到彎曲時空中, 我們發(fā)現(xiàn)Dirac方程的洛倫茲對稱性被三項類以太矢量項破缺.然而當我們用半經(jīng)典近似得到Dirac方程的時候, 我們發(fā)現(xiàn)只有a和c項會影響Dirac-Hamilton-Jacobi方程的一階修正, 其中的a項影響方程的質(zhì)量項,c項則修正S的系數(shù)項.由于黑洞霍金輻射是黑洞時空的徑向性質(zhì), 因此我們發(fā)現(xiàn)只有c項會影響到黑洞的Dirac粒子隧穿輻射特征.

本文的研究只涉及到不帶電的動態(tài)黑洞情況,宇宙中真實的黑洞通常是旋轉(zhuǎn)的, 在下一步的工作中我們將繼續(xù)研究旋轉(zhuǎn)動態(tài)的黑洞時空中Dirac粒子的隧穿理論.另一方面, 2018年雙星合并所產(chǎn)生的引力波被首次直接觀測到, 這一成果不但證明了引力波的存在, 同時也是黑洞存在的直接證明.源于黑洞時空視界附近的引力輻射將攜帶許多極端引力場的引力性質(zhì).因此可以預期, 今后人們對黑洞性質(zhì)的研究將越來越有興趣.我們也將在今后的工作中對自旋為2的引力子霍金輻射以及自旋為3/2的引力費米子霍金輻射進行深入的研究.