張曉輝 董克攻 華劍飛 朱斌 譚放 吳玉遲 魯巍 谷渝秋3)?

1) (清華大學工程物理系, 北京 100084)

2) (中國工程物理研究院激光聚變研究中心, 等離子體物理重點實驗室, 綿陽 621000)

3) (深圳技術大學工程物理學院, 深圳 518118)

相對論皮秒激光與低密度等離子體作用可以通過“激光直接加速”機制獲得超有質動力定標率的高能電子, 且電荷量可以達到百nC級, 在伽馬射線產生、正電子產生等方面具有重要應用.然而激光直接加速電子束相比激光尾場加速電子束具有更大的發(fā)散角, 同時實驗觀測的橫向束分布也不均勻, 但是其中的物理機制研究較少.本文通過二維粒子模擬證明, 相對論皮秒激光在低密度等離子體中驅動的激光直接加速中, 高能電子束會在激光偏振方向分叉, 而且電子能量越高這種現(xiàn)象越明顯.文章通過細致的理論分析解釋了這種高能電子橫向分布產生“分叉”結構的內在原因.在激光直接加速的過程中, 電子在縱向獲得加速的時候, 它在激光偏振方向(橫向) betatron振蕩的動能也會隨之增加, 當電子的能量足夠高時, 二者呈線性關系, 因此高能電子的橫向速度的振幅近似相等, 這種相等的振幅最終導致了高能電子束在激光偏振方向的分叉.

1 引 言

在過去的40多年里, 激光等離子體加速技術獲得了快速的發(fā)展[1,2], 使得廉價的、桌面型的加速器成為一種可能.在2004年的三個里程碑式的工作[3?5]之后, 基于飛秒 (femtosecond, fs)激光的激光尾場加速機制 (laser wakefield acceleration,LWFA)逐漸成為激光等離子體加速中的主流.LWFA可以獲得更高能的電子, 同時具有良好的束流品質(如能散、發(fā)散角等), 然而電子束的電荷量受限于空泡尺寸很難提升, 同時對激光參數(shù)與等離子體參數(shù)的匹配有很高要求[6].利用皮秒(picosecond, ps)激光在低密度等離子體中加速電子[7,8], 則對等離子體參數(shù)與激光參數(shù)的匹配沒有太多要求, 可以工作在較寬等離子體參數(shù)范圍, 特別是在較高的等離子體密度條件下.雖然電子能量很難被加速到數(shù)百MeV以上[8], 但是可以在數(shù)十MeV的能量范圍獲得遠高于LWFA機制的電荷量[9,10](可以達到數(shù)十nC甚至數(shù)百nC以上), 因而在韌致輻射[11]、正電子[12]、光核中子產生[13,14]等方面具有獨特的優(yōu)勢和潛在應用.

相對論ps激光在等離子體里傳播時, 電子會被激光的有質動力朝橫向排開, 從而形成一條長長的等離子體通道[15].由于電荷分離場和縱向電流,通道內部存在徑向的準靜態(tài)電場Er和角向的準靜態(tài)磁場Bθ, 這些準靜態(tài)場對電子施加橫向的聚焦力[8,16].電子在準靜態(tài)場的作用下做橫向betatron振蕩.由于通道內還同時存在著向前傳播的激光場, 這種橫向振蕩就會通過v×B的機制引起縱向的加速或者減速.在這個過程中電子直接從激光的橫向電場獲得能量, 因此這種加速機制被稱作激光直接加速機制 (direct laser acceleration, DLA)[17].如果滿足共振條件電子就可以持續(xù)的被激光場加速, 其中代表betatron振蕩的頻率,代表電子感受到的多普勒頻移之后的激光頻率,ωp代表等離子體頻率,ω0代表激光頻率,γ代表電子的相對論因子,c代表真空中的光速,vx代表電子的縱向速度(激光傳播方向),vph代表激光的相速度.

在LWFA中, 等離子體波內同樣存在橫向的準靜態(tài)聚焦場.如果激光脈寬長到足以覆蓋被注入的電子, 電子就可能受到LWFA-DLA的共同作用[18?20].實驗表明, 無論是 ps激光驅動的 DLA 加速還是fs激光驅動的LWFA-DLA混合加速, 激光偏振方向的電子散角都會更大一些[11,21].此外,在LWFA-DLA混合加速的實驗中, 人們發(fā)現(xiàn)在垂直于激光偏振方向測量電子能譜的時候, 電子能譜上會出現(xiàn)叉子狀的結構[18,19].盡管粒子模擬(particle in cell, PIC)的結果已經證明這種分叉結構是由DLA引起的[18], 但是DLA究竟如何導致電子束的分叉, 目前仍然沒有一個很好的物理解釋和定量分析.本文通過二維PIC模擬表明, 在ps激光驅動的DLA中電子的能譜也會在激光偏振方向呈現(xiàn)叉子狀分布.我們通過進一步的理論分析獲得了產生這種橫向分布的原因:在DLA的過程中, 電子在激光偏振方向的能量會隨電子能量的增加而成比例地增加, 而垂直于偏振方向的能量則隨著電子能量的增加而減小, 從而導致電子在激光偏振方向有更大的散角; 偏振方向能量的增加還會導致高能電子在偏振方向的速度具有相同的振幅, 這種相同的振幅進而導致了電子能譜的分叉結構.本文第2部分為PIC數(shù)值模擬結果, 第3部分為解析模型分析及討論, 最后為結論.

2 皮秒激光與低密度等離子體相互作用的PIC模擬

為理解激光直接加速的物理過程和高能電子束的特性, 我們利用二維PIC程序OSIRIS[22]模擬了ps激光在低密度等離子體中驅動的激光直接加速的過程.模擬選用全離化的He等離子體, 其密度分布由 500 μm 的上升沿, 2 mm 的平臺和500 μm 的下降沿組成, 最大電子密度為 2 × 1019cm–3.激光偏振方向在模擬平面內, 聚焦在等離子體上升沿的盡頭.激光波長為 1053 nm, 脈寬為 0.8 ps, 焦斑為 7.5 μm, 激光無量綱化的矢量勢a0= 3.模擬窗以光速移動, 大小為 700 μm × 300 μm, 被分為22000 × 1884 個網格, 對應的單位激光波長內的網格數(shù)分別別為33個和6.28個.我們在每個網格里面放2個宏電子和1個宏He2+粒子.模擬時間步盡量接近庫朗條件(Courant condition)以避免數(shù)值噪聲.

圖1(a)和圖1(b)分別為 PIC模擬中t=時刻的激光強度包絡和電子的密度分布.我們可以看到, 激光僅在其頭部驅動出等離子體波, 同時在這個區(qū)域激光本身也被等離子體波調制, 遭受到嚴重的不穩(wěn)定性.隨后, 大部分電子被激光排開形成一條長長的等離子體通道, 而激光則被很好地約束在這條通道里.由于通道里面大部分低能電子都被排開了, 因此通道內沒有明顯的等離子體波.圖1(c)展示了通道內的聚焦場Es=Eys?cBzs.在二維模擬中, 徑向的準靜態(tài)電場Er退化為y方向的準靜態(tài)電場Eys, 而角向的準靜態(tài)磁場Bθ則退化為z方向的準靜態(tài)磁場Bzs.在軸線附近Es與橫坐標y近似為線性關系.因為通道內同時存在聚焦場與激光場, 因此電子可以通過DLA獲得加速.同時, 由于通道內不存在等離子體波, 電子經歷的是純凈的DLA, 因此這個區(qū)域非常適合研究DLA產生電子束的特征.

圖1 PIC 模擬中 t=5965時刻的 (a)激光強度包絡,(b)電子的電荷密度分布與(c)通道內的聚焦場Es=Eys?cBzs, 模擬中, 等離子體密度為 2 × 1019 cm–3, 激光脈寬為0.8 ps, a0= 3Fig.1.(a) The laser envelope; (b) electron density; (c)channel focusing force Es=Eys?cBzs at t=5965into the simulation, in which the plasma density is 2 ×1019 cm–3 and the laser have a duration 0.8 ps with a0= 3.

圖2 t=5965 時刻電子在相空間的分布 (a)電子在能量-vy相空間的分布, 白色虛線是電子橫向速度振幅的理論值, 右側的黑色實線代表著能量大于60 MeV的電子的vy的分布, 為了更好地展示, 其計數(shù)值做了歸一化處理; (b)能量在60—70 MeV之間的電子在y-py相空間的分布Fig.2.Electron phase space at t=5965 :(a) Energy -vy phase space, the white dashed lines denote the amplitude of vy from analytical solution,the black solid line denotes the vy distribution of electrons above 60 MeV, the counts are normalized to achieve a better illustration; (b) the y-py phase space of electrons within energy range from 60 MeV to 70 MeV.

3 理論分析與討論

在DLA中, 電子主要受到兩種場的作用:一個是向前傳播的激光場, 另外一個是通道內的準靜態(tài)電場Er和準靜態(tài)磁場Bθ.為了推導電子的橫向運動, 我們將激光場簡化為無限長均勻平面波

其中η(>c) 代表激光電場與磁場之間的比值, 激光沿+x方向傳播,y為激光偏振方向.為了簡化模型, 我們將準靜態(tài)場簡化為線性的準靜態(tài)電場Es=κr, 其中Es=Er?cBθ代表Er和Bθ的復合作用,r=y+z代表電子在橫向的位置, k 是聚焦場強度的系數(shù).那么電子在橫向所受的來自準靜態(tài)場的力可以表示為Fy= ?eκy,Fz= ?eκz, 進而電子動力學方程可以寫為

根據圖1可知, 準靜態(tài)場遠小于激光場, 因此等式(6)可以簡化為

我們定義電子在y,z方向的總能量分別為

其中等式右邊第一項為電子在該方向的動能, 后一項為電子在該方向的勢能.對?y和?z分別求導, 可以得到

將(4)和(5)式代入 (10)和(11)式, 上面兩式可以簡化為

而對高能電子而言,

其中 ?η=η?c, 可以當作常數(shù)來處理.那么等式(12)可以進一步化簡為

當電子能量比較高的時候, 假設z方向的能量被完全阻尼掉,vz= 0, 那么電子的運動就變成了二維的, 此時等式(15)可以簡化為

對上式積分就可得到

為了驗證等式(17)是否成立, 我們在PIC模擬中追蹤了100個獲得DLA加速的電子的軌跡.圖3展示了這些電子在這段時間內的能量g與橫向能量?y的變化關系.這段時間通道內的準靜態(tài)場相對穩(wěn)定, 且電子的能量比較高, 因此比較適合與我們的解析分析進行對比.從圖3可以看出, 盡管局部有些偏差, 但整體上電子橫向能量?y在模擬中隨著電子能量的近乎線性地增加.圖中紅色實線是根據等式(17)擬合得到的結果, ?η=5.48×10?3c,b=1.11m0c2.這說明我們對電子橫向能量的分析是可信的.

當電子運動到軸線上時, 也就是y= 0的時,其中下標A代表電子在軸線上的時刻, 那么我們就可以得到

進而電子在軸線上時的橫向速度vyA可以表示為

y= 0的時刻往往也是其橫向速度最大的時候.等式(19)表明, 在DLA中電子的橫向速度的振幅僅由電子的能量以及初始條件所決定.當電子能量比較高的時候, 等式右邊的后兩項趨近于0, 就可以進一步化簡為

vyA趨近于一個常數(shù), 也就是說, 當電子的能量足夠高以后, 它的橫向速度的振幅是恒定的, 這個振幅主要由激光電場和磁場的比值決定.等式(20)表明, 在DLA加速中, 高能電子在激光偏振方向具有相同的最大速度.

接下來討論相同的橫向最大速度如何導致了電子束的分叉.我們先考察單個電子的橫向速度的分布.在DLA中, 電子的橫向振蕩近似為簡諧振蕩.在此假設下, 電子的橫向速度和加速度可以表示為:

其中vm代表vy的振幅, 根據前面的分析我們知道vm≈vyA.電子的速度和加速度滿足關系

如果我們在足夠長的一段時間內(遠大于電子振蕩的周期)統(tǒng)計這個電子vy的概率分布就會得到

根據等式 (24), 當vy=±vm時,趨近于無窮大,也就是說,vy在它的極值處出現(xiàn)的概率最高.等式(24)描述的是單個電子在一段時間內橫向速度的概率分布, 對于一團電子束而言, 如果它們橫向最大速度相同, 而且在各自振動的相位上均勻分布, 那么在某個時刻對這些電子的橫向速度做統(tǒng)計, 它們的分布就與單個電子在一段時間內橫向速度的概率分布相同.前面我們已經知道, 在DLA中高能電子橫向速度具有相同的振幅, 因此它們橫向速度的分布也可以用等式(24)描述.根據等式(24), 電子束會聚集在 ±vm附近, 這點也在圖2(a)中得到了驗證.圖2(a)中的白色虛線是根據等式(19)得到的電子橫向速度的振幅, 其中Dh和b的值是從圖3擬合得到的.可以看到, 電子出現(xiàn)概率最高的地方正是橫向速度的最大值.盡管在圖3的擬合中方差比較大, 但是在圖2(a)中電子最大值卻與理論值符合得非常好.

圖3 在 t=4965到 t=6965這段時 間 內 100 個被追蹤的電子的能量g以及橫向能量 ?y 的變化, 圖中紅色實線是根據等式(17)擬合得到的結果Fig.3.The transverse energy ?y of 100 electrons as a function of g from t=4965 to t=6965.The red dashed line is the fitted result according to Eq.(17).

在實際情況中,vy的振幅不可能完全相同.假設vy的振幅圍繞vm有一定的展寬s, 我們在圖4中通過數(shù)值計算展示了不同展寬下vy的分布.圖4(a)展示的是三種不同的振幅展寬, 圖1(b)展示了對應展寬下vy的分布.我們可以看出, 當s比較小的時候,呈現(xiàn)兩邊高中間低的近中空結構, 峰值的位置出現(xiàn)在 ±vm處.隨著s的增大, ±vm處的峰逐漸展寬, 峰值逐漸降低,趨向于均勻分布.圖2(b)中的黑線具有與圖4(b)中的藍線相似的結構, 并且波峰與波谷的比值更大, 這說明在PIC模擬中,vy的振幅的展寬很小.以上PIC模擬、理論分析以及數(shù)值計算的結果足以說明, 我們對電子分叉的解釋是正確的.雖然我們的數(shù)值模擬和解析分析是針對皮秒激光直接加速開展的, 但是經過簡單的修正, 也可以適用于飛秒激光直接加速的情況.

圖4 (a)電子速度振幅 vm 的三種不同展寬; (b) 三種展寬下對應的 vy 的分布Fig.4.(a) Three distributions of vm ; (b) the corresponding distributions of vy.

4 結 論

我們通過二維PIC模擬證明了相對論皮秒激光在低密度等離子體中驅動的激光直接加速中, 電子能譜會在激光偏振方向分叉.我們通過理論分析解釋了電子束分叉的成因, 并對分叉的程度進行了定量的分析.在激光直接加速的過程中, 電子在縱向獲得加速的時候, 它在激光偏振方向(橫向)betatron振蕩的動能也會成隨之增加.當電子的能量足夠高時, 二者呈線性關系, 因此高能電子的橫向速度的振幅近似相等.這種近似相等的振幅導致了電子束在激光偏振方向的分叉.我們的推導還解釋了在DLA中為什么電子的散角總在激光偏振方向更大.這些解釋雖然是針對皮秒激光直接加速研究的結果, 但是經過簡單修正后同樣適用于飛秒激光直接加速的情形.電子橫向速度的定量推導具有重要意義, 可以為很多場合進行指導.比如在LWFADLA混合加速中, 如果已知電子的橫向速度, 就可以通過調控等離子體密度來實現(xiàn)鎖相加速, 或者在DLA中通過調控Dh來控制betatron輻射的散角等.