胡立爍 凱迪熱耶.庫爾班 程裕鋒 吳蘇皖 田濤

摘 要：天線陣列信號的DOA估計(jì)是在眾多領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用，但是傳統(tǒng)的空間譜估計(jì)的現(xiàn)有算法在實(shí)際的運(yùn)用中存在著數(shù)據(jù)量過大、硬件要求高等限制。隨著被測系統(tǒng)帶寬日益變寬，基于空間譜估計(jì)的算法的實(shí)用性越來越低。近年來出現(xiàn)的CS理論成功可實(shí)現(xiàn)在少量測量數(shù)據(jù)情況下，使高分辨的DOA估計(jì)變成可能。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；波達(dá)方向估計(jì)；均勻線陣；超完備冗余字典

1.課題研究歷史和現(xiàn)狀

對輻射源的信號采集，進(jìn)行來波方向（DOA）估計(jì)和信號源定位，是國內(nèi)外信號處理領(lǐng)域極為重視的課題。近年電子技術(shù)發(fā)展迅猛，陣列信號處理技術(shù)、信號的DOA估計(jì)等被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、醫(yī)學(xué)成像[1]、無線通信、電子對抗、天文等領(lǐng)域。早期的比幅法、比相法等，無法實(shí)現(xiàn)滿足要求的高精度測量。如今，在信號的DOA估計(jì)上，有許多較為成熟的算法，如MUSIC算法[2]（多重信號分類算法）、ESPRIT算法（旋轉(zhuǎn)不變子空間算法）、ML算法（最大似然算法）等。然而在奈奎斯特采樣定理的框架下，隨著信號帶寬越來越寬、理想測量環(huán)境無法保障、信號的存儲(chǔ)傳輸和處理代價(jià)增大，這些傳統(tǒng)空間譜估計(jì)方法急需突破。

壓縮感知理論[3][4]指出，利用信號的稀疏性[5]和可壓縮性，可以實(shí)現(xiàn)信號的精確重構(gòu)，為突破上述問題提供了突破點(diǎn)。

2.基于超完備字典的壓縮感知

在 （有限等距性質(zhì)）[6]框架下，我們假設(shè)信號源為K個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號，M個(gè)均勻線陣陣元，Y表示接受到的數(shù)據(jù)，大小為M×N ，則經(jīng)過壓縮觀測：

Y=Ax（t）+n（t）

其中，A為M×N維的測量矩陣，或者測量基。一般，x（t）是不稀疏的，但是在變換域ψ 是稀疏的，所以

x（t）=ψθ

θ只含有K個(gè)非零項(xiàng)。因此，

我們令Φ=Aψ，Φ是N×N維的完備字典，又叫做傳感矩陣。所以，包含噪聲的壓縮投影測量為：

。

我們可以通過求解最小 范數(shù)的凸優(yōu)化問題，來重構(gòu)x（t）：

ε是測量過程中，由于噪聲造成的誤差，可以等價(jià)于

由 可知，θ 為角度稀疏信號矢量，其大小為P×1，每一個(gè)分量都對應(yīng)一個(gè)來波的方向角。

由式（4）的投影過程，我們可以得到投影矢量Y，之后利用恢復(fù)算法，可以求解出角度矢量θ。由于θ是在變換域ψ上稀疏的，其只含有K個(gè)非零項(xiàng)，因此確定θ前K個(gè)較大的值，我們就可以得到來波方向θ1，θ2 ...θk 。

3.計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)

我們通過計(jì)算機(jī)MATLAB對cs理論進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)一 設(shè)置參數(shù)：均勻線陣陣元M=25，快拍數(shù)為100，兩個(gè)信噪比為10dB的高斯信號，兩個(gè)信號源的入射角度為20°和25°。信號中心頻率為5KHZ，噪聲均值為0，噪聲方差為1，角度搜索精度為0.5°，其中我們采用基于CS理論的正交匹配追蹤算法（OMP）進(jìn)行信號重構(gòu)，同時(shí)以傳統(tǒng)的MUSIC算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比。統(tǒng)計(jì)結(jié)果采用100次的蒙特卡羅統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)。仿真結(jié)果如下。

圖 1 基于MUSIC的DOA算法的空間譜圖

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：在快拍數(shù)為100，均勻線陣的陣元數(shù)為32，隨機(jī)觀測數(shù)目M0=18時(shí)，基于CS的OMP算法和MUSIC算法擁有同樣的高分辨率。在準(zhǔn)確估計(jì)波達(dá)方向估計(jì)的同時(shí)，可知MUSIC算法的采樣數(shù)量為3200，而OMP算法僅為576。

實(shí)驗(yàn)二 在保持實(shí)驗(yàn)一的實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變的情況下，調(diào)整信噪比為0dB-30dB，在不同信噪比下，驗(yàn)證CS算法的成功率。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以明顯得知，CS算法在低信噪比下，仍然有著較高的成功率，優(yōu)于傳統(tǒng)MUSIC算法。

實(shí)驗(yàn)三 在和實(shí)驗(yàn)一保持相同的實(shí)驗(yàn)參數(shù)情況下，調(diào)整陣元數(shù)M=10，11，...，35，在不同的陣元數(shù)下，驗(yàn)證CS算法的成功率。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，當(dāng)陣元數(shù)大于10時(shí)，CS算法能夠保證很高的成功率。

本文介紹了CS的基本理論，并對CS算法進(jìn)行了驗(yàn)證仿真。結(jié)果顯示，基于CS算法的DOA估計(jì)，能夠在較少的觀測數(shù)量下，得到較高精度的估計(jì)值，即使在低信噪比下，仍然具有較高的可行性。但是本文提出的理論皆建立在理想化的數(shù)學(xué)模型，使其具有更高的可實(shí)現(xiàn)性是今后的努力方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] “醫(yī)學(xué)成像與圖像分析”專欄編者按[J].CT理論與應(yīng)用研究，2018，27（06）：700.

[2] 胡榮飛，林自豪，楊娟.空間譜估計(jì)經(jīng)典MUSIC算法性能分析[J].數(shù)字通信世界，2018（10）：34-35.

[3] 劉蕾，李建東，閆敬文.壓縮感知理論及重建方法[J].汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，34（01）：3-12+2.

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[5] 劉馨月. 壓縮感知重構(gòu)算法的研究[D].青島大學(xué)，2018.

[6] 張波，劉郁林，王開.稀疏隨機(jī)矩陣有限等距性質(zhì)分析[J].電子與信息學(xué)報(bào)，2014，36（01）：169-174.