王徽 石杰洋

摘 要：沙漏中沙子下落時(shí)，沙漏的重量并不是保持不變的，通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可將該過(guò)程分為六個(gè)階段。本研究主要利用微元法、牛頓定律、動(dòng)量守恒定律對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行理論分析，最終分析出每個(gè)階段沙漏重量的變化原因。

關(guān)鍵詞：沙漏；重量；超重與失重；微元法

沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置，它由兩個(gè)玻璃球和一個(gè)狹窄的連接管道組成的。通過(guò)充滿了沙子的玻璃球從上面穿過(guò)狹窄的管道流入底部玻璃球所需要的時(shí)間來(lái)對(duì)時(shí)間進(jìn)行測(cè)量。但沙漏在運(yùn)行時(shí)的重量卻不是保持不變的，沙子正在下落的部分使其變輕，而沙子對(duì)底部的撞擊卻會(huì)使其變重，本文將對(duì)此問(wèn)題展開(kāi)研究，詳細(xì)解釋沙漏工作過(guò)程中其重量變化的問(wèn)題。

1 理論分析

當(dāng)沙漏工作時(shí)沙子會(huì)從上部的錐形瓶通過(guò)狹窄的通道進(jìn)入下部的錐形瓶，可按照其工作順序逐步將其分解為六個(gè)階段，除此以外，為了對(duì)沙漏工作時(shí)的重量和時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行分析，建立以下三點(diǎn)假設(shè)：（1）沙子的體積相較于錐形瓶的體積足夠小。（2）沙子落入下部錐形瓶后將均勻分散于底部，即忽略其形成的錐形沙堆的影響。（3）沙子下落的初速度為零，且沙子下落時(shí)均勻連續(xù)。

用M表示整個(gè)沙漏的質(zhì)量，D和H分別表示沙漏中間部位的直徑和到底部的高度，ρ表示沙子的密度T表示沙子下落的時(shí)間，F(xiàn)i表示第i階段沙漏重量。

1.1 第一階段與第二階段

第二階段是沙漏開(kāi)始工作，沙子剛好開(kāi)始下落，但沒(méi)有落到底部的過(guò)程。此時(shí)可將下落的沙子看作是下落的圓柱。設(shè)沙子經(jīng)過(guò)時(shí)間T=t1落到底部，沙子末端下落的速度為u，下落過(guò)程中沙子的質(zhì)量為m。則根據(jù)牛頓第二定律可以求出

所以當(dāng)下落時(shí)間為t時(shí)，有質(zhì)量為m的沙子處于完全失重的狀態(tài)，此時(shí)沙漏整體的重量為

可以看出第二階段沙漏的重量小于靜止時(shí)候的重量，且隨著時(shí)間的增加會(huì)不斷減小。

1.2 第三階段與第四階段

第三階段是從沙子接觸到漏斗底部到這部分剛接觸底部的沙子速度變?yōu)榱愕倪^(guò)程。當(dāng)沙子剛好接觸漏斗底部時(shí)，時(shí)間為t1，用F2end表示第二階段末尾時(shí)沙漏重量，將（2）帶入（7）中得

由于第三階段時(shí)間極短，所以可將第三階段看作是沙漏重量突變的過(guò)程，沙漏重量由小于Mg突變到大于Mg。

第四階段則是從“第一批”落到底部的沙子速度變?yōu)榱愕臅r(shí)刻開(kāi)始到沙漏上半部沙子全部漏出去的時(shí)刻。由于第四階段沙漏所處的狀態(tài)與第三階段末尾時(shí)刻沙漏所處狀態(tài)相同，所以

此階段沙漏重量為常數(shù)，保持不變且大于沙漏靜止時(shí)重量。沙漏工作時(shí)大部分時(shí)間處于第四階段。

1.3 第五階段與第六階段

第五階段是從沙漏上半部分沙子剛好完全流出，到沙子全部都落到底部速度減為零的過(guò)程。這個(gè)階段沙漏的重量同第四階段相比，不同之處在于處于下落過(guò)程中的沙子在隨時(shí)間減少。即與第二階段正好相反（此階段越來(lái)越多的沙子處于失重狀態(tài)），沙子逐漸落到底部，處于失重狀態(tài)的沙子逐漸減少，由于下落失去的重量又“回來(lái)了”，且重量“恢復(fù)”的速率與第二階段重量減少的速率相同。此時(shí)沙漏的重量F5即為第四階段重量加上逐漸恢復(fù)的重量。用t2表示第五階段開(kāi)始的時(shí)刻，則恢復(fù)的重量為

第六階段即為沙漏中沙子全部到達(dá)底部之后的階段，此時(shí)沙漏處于靜止?fàn)顟B(tài)，重量

2 實(shí)驗(yàn)與討論

沙漏中沙子落下后，會(huì)在底部形成一個(gè)“沙堆”，后續(xù)沙子下落的高度會(huì)逐漸減小，且沙子落下后會(huì)從“沙堆”上滾落，速度并不會(huì)立即變?yōu)榱?，這將會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)帶來(lái)一些誤差，所以為了盡可能使實(shí)驗(yàn)趨于理想情況，制做了一個(gè)可以調(diào)節(jié)高度的沙漏，如圖5。實(shí)驗(yàn)時(shí)將沙漏高度調(diào)到最大，漏沙口距離沙漏底部13.97cm，增大沙子落下的速率，以此減小“沙堆”對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的影響。實(shí)驗(yàn)時(shí)是用密度為2.17g/cm3的食用鹽來(lái)代替沙子，沙漏（不含食鹽）的總重為36.0g。

由于沙漏重量的變化不是很大，即使對(duì)于一個(gè)很大的120厘米高的裝置，在10秒鐘內(nèi)排空，重量的最大變化也只有49毫克[1]。所以不能用通常的物理實(shí)驗(yàn)室設(shè)備測(cè)量。因此使用更精密的分析天平來(lái)測(cè)量沙漏的重量，開(kāi)始稱重之前，將分析天平與電腦連接，通過(guò)超級(jí)終端將動(dòng)態(tài)的沙漏重量導(dǎo)入到電腦中。實(shí)驗(yàn)開(kāi)始時(shí)將139.7g的食用鹽裝入裝置中，將沙漏放好后，打開(kāi)沙漏的漏沙口，讓沙漏自由工作，沙漏完全靜止后停止稱重，將稱得的沙漏重量數(shù)據(jù)繪制成圖，得到沙漏工作過(guò)程中實(shí)際重量的變化曲線（圖4右）。再將實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的相關(guān)參數(shù)帶入上述理論分析得到的結(jié)論中，用繪圖軟件繪制了沙漏重量變化的理想曲線。通過(guò)實(shí)驗(yàn)曲線與理想曲線的對(duì)比，可以看出，實(shí)際沙漏工作時(shí)重量的變化與理論分析得到的沙漏重量變化擬合良好，驗(yàn)證出上述理論分析正確。

參考文獻(xiàn)：

[1]Kezerashvili RY.Sapozhnikov A. Magic Fountain [EO/OL].http：//www.mss.cbi.fau.de/content/uploads/Gewicht-Sanduhr.pdf.2017，12，23

[2]Fokke Tuinstra，Bouke F. Tuinstra .The Weight OfAnHour[EO/OL].https：//www.europhysicsnews.org/articles/epn/pdf/2010/03/epn2010413p25.pdf.2017，12，23

[3]方華基，范俊明.沙漏超重和失重的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)研究[J].物理教學(xué)2013（7）：84-87

[4]李霖淵，胡林，許峰，張忠政，曲東升，張興剛，孔維姝.沙漏計(jì)時(shí)原理二維數(shù)值模擬[J].大學(xué)物，2008，27（9）：47-50

作者簡(jiǎn)介：

王徽（1997-），男，內(nèi)蒙古太仆寺旗，大連理工大學(xué)，本科在讀，土木工程；

石杰洋（1998-），男，重慶市潼南縣，大連理工大學(xué)，本科在讀，土木工程.

Shi jieyang，大連理工大學(xué)，遼寧省大連市甘井子區(qū)凌工路2號(hào)大連理工大學(xué)，116024.

Wang hui， 大連理工大學(xué)，遼寧省大連市甘井子區(qū)凌工路2號(hào)大連理工大學(xué)，116024.