鄭鈺亭 唐祖江

摘 要：本文主要對高溫作業(yè)下專用服裝設計進行研究，根據(jù)模擬實驗給出的條件為環(huán)境溫度75℃、Ⅱ層厚度6mm ，Ⅳ層厚度5mm 、工作時間為90分鐘，所測假人皮膚外側的溫度見附件2。通過建立數(shù)學模型，計算專用服裝每層的溫度分布。

首先，以附件2中外層皮膚溫度與時間的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并根據(jù)熱量在相同時間內(nèi)，熱流速率相等的條件下，物質所吸收熱量相等原理，推導出一維熱傳導偏微方程，然后利用逆向思維法即就是以第Ⅳ層為起始點來推導出前三層的溫度分布情況，建立第Ⅰ層、第Ⅱ層、第Ⅲ層和第Ⅳ層各自的一維熱傳導偏微方程組模型，利用MATLAB 軟件對模型進行求解得出每層的溫度分布情況（見支撐材料中Excel 文件），求出第Ⅰ層與外界環(huán)境交界處的溫度為74.11℃ ，而該溫度與題中環(huán)境溫度75℃ 有一定誤差，誤差率為0.011% 。

關鍵詞：一維熱傳導偏微方程

一、基本假設

1.專用服裝的每一層處處都是均勻分布的。

2.專用服裝的每層之間的溫度是連續(xù)的變化不會發(fā)生突變情況。

3.外界溫度與專用服裝的傳遞過程視為溫度垂直于隔熱服傳遞，即為一維熱傳遞。

二、問題模型建立與求解

2.1問題分析

專用服裝并不是由單一的材料組成而是由三層織物材料構成，且在附件2中可知每層材料的密度、厚度、比熱和熱傳導率的數(shù)值。由于環(huán)境溫度大于專用服裝的溫度則會發(fā)生熱傳導。熱傳導的規(guī)律是從高溫流向低溫，因此環(huán)境溫度中的熱量必然會流向專用服裝并依次穿過每層。

為了簡便問題，只考慮熱量垂直穿過服裝。因為溫度與時間、位置有關，由于外層皮膚溫度已知，每層材料的密度、厚度、比熱和熱傳導率已知，利用逆推思想先對第Ⅳ層建立一維熱傳導偏微方程模型，之后把所求的第Ⅳ層偏微方程作為求第Ⅲ層的偏微方程條件，依此類推，求出第Ⅰ、Ⅱ層的偏微方程。通過所求出的一維熱傳導偏微方程計算出第Ⅰ層的溫度，并把該溫度與溫度 為做比較，最后進行誤差分析。

2.2熱方程的推出

首先，假設所研究的對象是一根由單一材料組成的細桿，記桿的任意一點為x，桿的總長記為L，則：0≤x≤L 。t時刻△V內(nèi)的熱量Q為：△Q=cρu△V

由于溫度u與位置x、時間t有關，設截面積為s，初始位置為a，末位置為b，長度元為△x=b-a，得到熱量的積分式：

因溫度u的熱流速度跟u的長度成反比，與截面積s成正比，所以記 時刻的位置為a，在t+△t時刻的位置為b，且a位置的溫度大于b位置的溫度。由此得出熱量的表達式： ，令 ，根據(jù)微分基本定理可得：

2.3 一維熱傳導偏微方程建立

由于構成每一層的織物材料是不相同的，因此每層的屬性不同其吸收的熱量也就不同則隔熱效果就會有差異。分析可知，環(huán)境溫度中的熱量與專用服裝進行熱傳導的過程是大面積的發(fā)生，為了使問題簡單化，把穿過衣服的一條直線作為研究對象。已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的密度、厚度、比熱和熱傳導率，根據(jù)推出的一維熱傳導偏微方程建立第Ⅰ層、第Ⅱ層、第Ⅲ層和第Ⅳ層的每個一維熱傳導偏微方程組。

根據(jù)上面的分析，當?shù)冖魧优c外層皮膚的交界點溫度趨于穩(wěn)定時，溫度為48.08℃ 。

k4——第Ⅳ層的導熱系數(shù)與比熱和密度的比值

把第Ⅳ層所求的結果作為求第Ⅲ層的偏微方程的條件，則可推出第Ⅲ層的偏微方程組，把第層Ⅲ所求的結果作為求第Ⅱ層的偏微方程的條件，則可以推出第Ⅱ層的偏微方程組，又把第Ⅱ層所求的結果作為求第Ⅰ層的偏微方程的條件，其中邊界條件為，當則l=0時，t=75℃，則第Ⅰ層的偏微方程組為：

2.4模型求解

經(jīng)過分析，第Ⅰ層與第Ⅱ層交界點處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅰ層末的溫度也是熱量穿過第Ⅱ層初始時的溫度；第Ⅱ層與第Ⅲ層交界處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅱ層末的溫度也是熱量穿過第Ⅲ層初始時的溫度；第Ⅲ層與第Ⅳ層交界處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅲ層末的溫度也是熱量穿過第Ⅳ層初始時的溫度；第Ⅳ層與外層皮膚交界點處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅳ層末的溫度也是熱量穿過外層皮膚初始時的溫度。因此，把每一層的偏微方程進行合并，成為一個偏微分方程組，并把該方程組看成一個整體求解。求解如下：

1、根據(jù)附件所給出第Ⅰ層、第Ⅱ層、第Ⅲ層和第Ⅳ層的密度、厚度、比熱和熱傳導率。可以求解出ki 的數(shù)值。

2、通過泰勒展開式處理技術得到離散化計算公式：

3、由 ，令上述兩個方程組對應相等，利用MATLAB 軟件對偏微方程進行求解，求解出最外層與環(huán)境交界點的溫度為：74.11℃ 。

2.5誤差分析

實際環(huán)境溫度：75℃ ，所求出的環(huán)境溫度74.11℃ ，誤差率0.011% 。

把逆推求出的外界初始度與原初始溫度相互比較，發(fā)現(xiàn)有誤差 ，通過對建模和求解過程的思考，發(fā)現(xiàn)除了采用差分法計算產(chǎn)生的誤差外，還有在計算過程中產(chǎn)生的誤差，在熱傳導過程中，能量從第Ⅰ層到第Ⅱ層以及傳到第四層時有一定的傳導時間，在逆推計算時，從第四層推到第三層時，我們是從0時刻就開始逆推，所以會有誤差。

參考文獻：

[1]張艷，黃震，葉萌，李澤妤.利用分數(shù)階微分方程模擬一維熱傳導問題[J].北京建筑工程學院學報，2013，29（04）：62-64.