摘 要：“理解算理，掌握算法”是計算教學(xué)的重點與難點，唯有“理”通，方能“法”順，理法相融，才能相得益彰。然而，在教學(xué)實踐中，教師出于多種原因無法將算理根植于學(xué)生心中，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果低下。那么，教師該如何根植算理呢？

關(guān)鍵詞：計算;算理;算法

當(dāng)下，越來越多的老師已能在理念上摒棄“重算法輕算理”的做法，但在行動上卻舉步維艱——有的教師徘徊在“算法的顯性”與“算理的隱性”之間，權(quán)衡不定;有的老師臣服于算法的“操作性”，將算理的教學(xué)變成了“過場秀”;還有的老師囿于自己的經(jīng)驗水平，拿不準“算理本質(zhì)”。為此，我們對“算理”進行了一些研究。本文選取了兩節(jié)“除法重點課”，談?wù)勎覀兊膶嵺`與思考。

一、緊依本源，借“性質(zhì)”理解理算

眾所周知，小數(shù)除法拓寬了學(xué)生對“數(shù)的運算”的認知領(lǐng)域，是重大的一次飛躍，而“一個數(shù)除以小數(shù)”是小數(shù)除法教學(xué)中的重中之重。雖然前有“小數(shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)，但其解決方式對于本課無法產(chǎn)生正遷移，導(dǎo)致學(xué)生困難重重。

（一）學(xué)生“困”狀

在教學(xué)完“一個數(shù)除以小數(shù)”之后，學(xué)生通常會有如下幾種“癥狀”：不會試商或商太慢;先擴大被除數(shù)還是先擴大除數(shù)順序不明;擴大被除數(shù)與除數(shù)時沒能做到同時;擴大之后，小數(shù)點的落腳點不清（個別孩子只看到小數(shù)點不見了，沒想到是小數(shù)點移動了）;數(shù)位不對齊（以為被除數(shù)的小數(shù)點還在原處）等。

（二）困因分析

針對這些現(xiàn)狀，我們進行了分類和比對，試圖找到學(xué)生問題的癥結(jié)，我們發(fā)現(xiàn)主要原因還是聚焦于“算理不明”。老師們心里都清楚，“商不變性質(zhì)”是本課的算理所在，如果教師只教給學(xué)生列豎式的步驟，而沒將商不變性質(zhì)充實到豎式的探究中去，那么很有可能導(dǎo)致學(xué)生只記住了形式，忽視了本質(zhì)。研讀教材（例題見下），雖然沒有出現(xiàn)“商不變性質(zhì)”的字樣，但同樣可以找尋到它的影子?！鞍殉龜?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，同時……”豎式的呈現(xiàn)也依據(jù)此：虛框圖示說明先把除數(shù)擴大成整數(shù)（為方便理解擴大后的數(shù)字是多少，劃去除數(shù)的小數(shù)點和前面的0），同時，被除數(shù)也擴大相同的倍數(shù)（小數(shù)點也向右移動兩位）。

[例題]奶奶編“中國結(jié)”，編一個要用0.85m絲繩，這里有7.65m絲繩，這些絲繩可以編幾個“中國結(jié)”？

7.65÷0.85=_____

（三）植入算理

既然，教材已經(jīng)如此明了，為什么學(xué)生還會出現(xiàn)如此癥狀呢？可見，這必定跟教師的設(shè)計理念有關(guān)。為此，我們想通過一系列的設(shè)計，試圖將算理的種子植入初學(xué)孩子們的心里。（1）以練習(xí)為載體，復(fù)習(xí)商不變化性質(zhì)，借此讓學(xué)生回憶“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，商不變”的規(guī)律;（2）多次練習(xí)強化該性質(zhì)，特別安排小數(shù)練習(xí)。如：62.4÷2.6=（）÷（）;（3）呈現(xiàn)特例讓學(xué)生辨析：如：0.544÷0.16=（）÷（），強調(diào)要“同時”擴大相同的倍數(shù);（4）教學(xué)豎式，想一想豎式中該如何體現(xiàn)這種算理。感悟“先把除數(shù)擴大成整數(shù)，同時被除數(shù)也擴大相同的倍數(shù)”的好處，同時明確“劃掉小數(shù)點其實質(zhì)就是小數(shù)點的轉(zhuǎn)移”。（5）練習(xí)一般題和特殊題。62.4÷2.6;0.544÷0.16。

實踐證明，這樣的設(shè)計迎合了學(xué)生的舊知，將小數(shù)除法算理的本質(zhì)牢牢地植入學(xué)生的心里，使他們學(xué)得更為高效。在理解算理的基礎(chǔ)上，學(xué)生計算的錯誤率明顯減少，面對錯誤，他們也能很快地發(fā)現(xiàn)原因，這無疑就是教師關(guān)注算理后的最大收益。

二、緊抓聯(lián)結(jié)，借“類比”植入算理

“分數(shù)除法”是計算教學(xué)另一重要分支，而“一個數(shù)除以分數(shù)”又是分數(shù)除法教學(xué)中的重中之重（例題見圖）。

[例題]小明 ? ?小時走了2km，小紅小時走km。誰走得快些？

2÷

（一）困因分析

我們曾假想，如果這節(jié)課只教學(xué)算法，讓學(xué)生知道并記憶“一個數(shù)除以分數(shù)相當(dāng)于這個數(shù)乘它的倒數(shù)”，而后應(yīng)用，相信許多學(xué)生都會做題?？伤麄冎罏槭裁茨苓@樣做嗎？知其然不知其所以然，此乃教學(xué)大忌。

通過訪談，我們了解到學(xué)生普遍認為“例題太難”。那么，它難在何處呢？（1）線段圖“難”理解。線段圖是“拐杖”，但之前的教材很少采用線段圖教學(xué)，也沒有教學(xué)生怎么畫線段圖，因為學(xué)生接觸甚少，所以理解起來會有一定困難。如“小時行了2km”，同一條線段中出現(xiàn)了兩個數(shù)據(jù)，這使許多學(xué)生費解。更多的是學(xué)生對于分數(shù)的意義已經(jīng)遺忘，無法將“1小時的就是小時”等同起來。（2）語言“難”表達。語言是思維的體操，更是表達的外衣。如若照本宣科，文字長，思維跨度大，不利于學(xué)生理思維的碰撞。

（二）類比植入算理

既然如此，我們是否還有必要苦苦追尋其“算理”？答案是肯定的。刨根問底，將事物的本源聯(lián)系在一起，是每位數(shù)學(xué)教師的職責(zé)所在;知其然，更知其所以然，是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的精髓所在。一個數(shù)除以分數(shù)，其中一種理解就是先求“一小份”，而后再求“幾份”的過程，這跟倍比關(guān)系異曲同工。例如：小明2分鐘走100米，他3分鐘能走多少米？

為此，我們嘗試小步子走，引導(dǎo)學(xué)生真正感悟到“分數(shù)除法與整數(shù)運算”之間的微妙聯(lián)系，取得了較好的效果。（1）改變線段圖的呈現(xiàn)順序。先出示一條線段，引導(dǎo)“如果用這條線表示小明1小時所行路程，那么小時表示他從起點走到了哪兒呢？”（溝通：1小時的就是小時。）接著呈現(xiàn)“2km”這個信息，使學(xué)生把目光聚焦于線段之間的倍數(shù)關(guān)系，他們能直觀地感受到“2小段就是2km”，進而列式2÷2×3。（2）降低語言表達的要求。由于簡化了線段圖，在理解意義時，學(xué)生明白先算2÷2表示一小段的所行路程，再乘3表示一小時所行的路程。為了規(guī)范語言，教師可作適當(dāng)引導(dǎo)：小時行2千米，小時就行1千米，1小時就可以行3千米。實踐證明，這樣做有利于學(xué)生的對算理的準確理解。

追尋算理歸根結(jié)底就是飲水思源，有了思維的源頭，學(xué)生走到哪兒都能回憶起他們喝下的第一口甘露?！耙粋€數(shù)除以小數(shù)”和“一個數(shù)除以分數(shù)”是計算教學(xué)的兩大重要教學(xué)任務(wù)，深入研究算理的本質(zhì)，借助類比推理，讓學(xué)生學(xué)得更為扎實有效。我們相信，只要教師不斷地更新觀念，不斷思索數(shù)學(xué)之間的微妙聯(lián)系，將“理解算理”作為教學(xué)己任，必定可以實現(xiàn)“根植算理、提升學(xué)生力”的夢想。

作者簡介：

朱孟迪，1981年4月，男，浙江慈溪，本科，一級教師，小學(xué)數(shù)學(xué)，單位：浙江省慈溪市崇壽鎮(zhèn)中心小學(xué)

（作者單位：慈溪市崇壽鎮(zhèn)中心小學(xué)）