張華彪 李欣業(yè) 梁艷書

摘要： 針對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩響應(yīng)以及周期解的分岔和穩(wěn)定性開展研究?；诰€性接觸力和庫倫摩擦力組成的葉尖碰摩力模型，建立了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的動力學(xué)方程，通過數(shù)值計(jì)算給出了系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速變化的分岔圖，發(fā)現(xiàn)在碰摩時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)了多種周期運(yùn)動和混沌等響應(yīng)形式，并有倍周期分岔、跳躍以及混沌吸引子的轉(zhuǎn)換等現(xiàn)象發(fā)生。將同倫延拓理論和打靶法相結(jié)合，在龐加萊截面上通過切向預(yù)估和法向校正，形成了一種新的延續(xù)打靶法，將其應(yīng)用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解計(jì)算和穩(wěn)定性分析中，給出了碰摩周期響應(yīng)的分岔圖，發(fā)現(xiàn)隨轉(zhuǎn)速的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)了大量局部穩(wěn)定的周期解?；谥芷诮夥植韴D研究了系統(tǒng)進(jìn)入和退出混沌的路徑，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)進(jìn)入混沌的路徑主要是鞍結(jié)分岔和倍周期分岔，退出混沌的路徑有倍周期分岔、Hopf分岔以及邊界激變。

關(guān)鍵詞： 分岔; 穩(wěn)定性; 葉輪轉(zhuǎn)子; 碰摩; 延續(xù)打靶法

中圖分類號： O322; TH113.1 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）04-0635-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.010

引 言

碰摩是葉輪機(jī)械常見的故障之一，嚴(yán)重的碰摩可能造成葉片折斷、轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，最終導(dǎo)致重大運(yùn)行事故。轉(zhuǎn)子和密封的碰摩通常在研究中被簡化為兩個(gè)圓柱面之間的碰摩問題，進(jìn)而確定轉(zhuǎn)子和密封之間的接觸力和摩擦力表達(dá)式，基于該模型國內(nèi)外學(xué)者對轉(zhuǎn)子碰摩的動力學(xué)特性進(jìn)行了深入的研究[1-3]。葉輪轉(zhuǎn)子振動過大時(shí)，在葉尖密封處也會發(fā)生碰摩，由于每一時(shí)刻葉片接觸的數(shù)量和每個(gè)葉片處的變形量都不同，更容易導(dǎo)致復(fù)雜動力學(xué)響應(yīng)的出現(xiàn)?？紤]到葉尖碰摩和傳統(tǒng)圓柱面模型的碰摩在接觸形式上存在較大的差異，基于傳統(tǒng)碰摩模型的研究成果不能很好地適用于葉尖碰摩。

針對葉輪轉(zhuǎn)子葉片和機(jī)匣之間的碰摩，Padovan等[4]將葉片假設(shè)為懸臂梁，推導(dǎo)了法向接觸力和葉片徑向變形之間的關(guān)系，分析了在單葉片和多葉片與剛性機(jī)匣碰摩情況下，不平衡量、葉片/轉(zhuǎn)子剛度、系統(tǒng)阻尼和摩擦對系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響。Lesaffre等[5]將葉片簡化成具有兩自由度的集中質(zhì)量塊模型，機(jī)匣簡化成柔性環(huán)，兩者碰摩同樣采用附加剛度矩陣和阻尼矩陣來實(shí)現(xiàn)，研究了葉片-機(jī)匣碰摩穩(wěn)定性。Padova等[6]對發(fā)動機(jī)工作轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)靜子碰摩問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，針對不同的碰摩侵入量情況進(jìn)行了測試，對比分析了轉(zhuǎn)靜子的相互影響作用。Ahrens等[7]、Young[8]和Ferguson[9]通過測量機(jī)匣的變形，間接獲得了碰摩載荷的實(shí)際大小和變化規(guī)律。實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)論表明葉輪轉(zhuǎn)子葉尖和機(jī)匣的碰摩響應(yīng)近似于系統(tǒng)受到周期性脈沖力作用的響應(yīng)。Jiang等[10]結(jié)合實(shí)驗(yàn)研究的結(jié)論，提出了周期性脈沖力形式的碰摩接觸力模型，并通過理論計(jì)算推導(dǎo)了最大接觸力的表達(dá)式。基于周期性脈沖力模型，Turner[11]研究了碰摩時(shí)葉片的剛度效應(yīng);Legrand等[12]研究了葉輪轉(zhuǎn)子的碰摩響應(yīng);Kim等[13]研究了非對稱轉(zhuǎn)子與各向異性機(jī)匣的碰摩;劉書國等[14]對葉片-機(jī)匣碰摩的瞬態(tài)過程進(jìn)行數(shù)值模擬，分析碰摩激起的部件的動力學(xué)響應(yīng);Sinha[15]分析了葉片丟失情況下發(fā)生轉(zhuǎn)靜子碰摩時(shí)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性及非線性動力學(xué)行為。王國麗等[16]采用葉片-機(jī)匣實(shí)體接觸有限元計(jì)算得到碰摩力，建立了航空發(fā)動機(jī)雙轉(zhuǎn)子-支承系統(tǒng)實(shí)體模型，利用Ansys計(jì)算了高壓渦輪-機(jī)匣碰摩時(shí)軸承支反力的變化。近年來，葉尖碰摩逐漸引起了人們的關(guān)注。陳果等[17-18]對葉尖碰摩轉(zhuǎn)子動力學(xué)進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究，其中葉片和機(jī)匣的碰摩力采用線性碰摩模型。馬輝等[19-20]對葉片與機(jī)匣碰摩進(jìn)行了深入的研究，并出版了專著《旋轉(zhuǎn)葉片-機(jī)匣系統(tǒng)碰摩動力學(xué)》，其中對于轉(zhuǎn)子-葉片耦合系統(tǒng)動力學(xué)建模、碰摩對葉片振動響應(yīng)的影響進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。劉昕等[21]采用懸臂梁模型，考慮離心剛化作用，選取高次形函數(shù)來描述葉片的變形，重點(diǎn)從頻域上研究了葉尖碰摩時(shí)轉(zhuǎn)子的響應(yīng)特性，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)頻率和轉(zhuǎn)子的工頻以及葉片的個(gè)數(shù)線性相關(guān)。上述文獻(xiàn)對葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩進(jìn)行了比較深入的研究，然而其研究方法主要是實(shí)驗(yàn)或者是簡單的數(shù)值模擬，研究葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解及其穩(wěn)定性和分岔顯然更具價(jià)值，目前這方面的研究文獻(xiàn)尚未見報(bào)道。

此外轉(zhuǎn)子碰摩是典型的非光滑動力學(xué)問題，采用傳統(tǒng)的非線性動力學(xué)解析方法求解困難。打靶法在龐加萊截面上利用牛頓迭代，實(shí)現(xiàn)周期解的求解，不需要進(jìn)行復(fù)雜的解析計(jì)算，并且在求解過程中可順帶進(jìn)行穩(wěn)定性的分析，非常適合于轉(zhuǎn)子碰摩周期解的求解。但是傳統(tǒng)的局部延拓的打靶法只適用于參數(shù)小范圍變化的情況，對于非線性系統(tǒng)中常見的轉(zhuǎn)折點(diǎn)問題無能為力，無法實(shí)現(xiàn)周期解在參數(shù)大范圍變化時(shí)的追蹤。因此發(fā)展一種能夠適用于參數(shù)大范圍變化的周期解求解方法具有很高的實(shí)用意義。

基于上述問題，本文對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的穩(wěn)定性和分岔行為開展研究，文中第1部分建立了葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩的動力學(xué)模型，并進(jìn)行了初步的數(shù)值模擬;第2部分將同倫延拓方法與打靶法結(jié)合，形成了延續(xù)打靶法，將其應(yīng)用于碰摩周期解的求解與分岔和穩(wěn)定性分析中，對葉輪轉(zhuǎn)子響應(yīng)形式隨轉(zhuǎn)速的變化，特別是進(jìn)入和退出混沌的路徑進(jìn)行了討論。

1 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩動力學(xué)方程與仿真

基于上面的數(shù)據(jù)，可求得葉輪轉(zhuǎn)子的1階臨界轉(zhuǎn)速約為3050 r/min。本文主要針對葉輪轉(zhuǎn)子升降速過程中通過1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)葉尖和機(jī)匣密封發(fā)生碰摩的動力學(xué)行為開展研究。圖3給出了葉輪轉(zhuǎn)子升速和降速過程的分岔圖，可以看到系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速變化在多處發(fā)生了跳躍和分岔，出現(xiàn)了復(fù)雜的周期運(yùn)動和混沌等響應(yīng)形式。圖4給出了幾種典型的周期運(yùn)動的軸心軌跡和龐加萊映射，當(dāng)沒有碰摩發(fā)生時(shí)，系統(tǒng)為線性，響應(yīng)為周期1運(yùn)動，軸心軌跡是圓。發(fā)生接觸后系統(tǒng)先是周期1運(yùn)動，然后隨轉(zhuǎn)速的變化出現(xiàn)了周期2、周期3、周期4運(yùn)動和混沌。圖4（e）和（f）雖然都是周期2運(yùn)動，但前者的接觸以碰撞為主，后者的接觸相對平滑，作用以摩擦為主。圖5給出了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩過程中典型混沌響應(yīng)的龐加萊映射，可以看到對應(yīng)著不同的轉(zhuǎn)速和升降速狀態(tài)，混沌響應(yīng)吸引子的形態(tài)也不同，在升降速過程中不僅有周期運(yùn)動與混沌之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換，也有不同形態(tài)的混沌響應(yīng)之間的切換?？傮w來看系統(tǒng)的響應(yīng)以周期1、周期2和混沌響應(yīng)為主，因此更關(guān)注這3種運(yùn)動之間相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律和分岔行為。本文的下一部分將針對周期解的穩(wěn)定性和分岔進(jìn)行研究。

2 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的穩(wěn)定性和分岔

2.1 參數(shù)延續(xù)的打靶法 ?為了使打靶法能夠通過轉(zhuǎn)折點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)全參數(shù)范圍的周期解曲線的追蹤，本節(jié)將同倫延拓法和打靶法相結(jié)合，形成了一種新的延續(xù)打靶法，并將其應(yīng)用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的求解和穩(wěn)定性分析中。延續(xù)打靶法的基本原理如圖6所示。將微分方程組寫成代數(shù)方程形式，利用同倫延拓的思想，在龐加萊截面上從一個(gè)正則點(diǎn)出發(fā)，沿解曲線的切線方向進(jìn)行預(yù)估，然后在和切線方向正交的超平面上進(jìn)行校正，從而得到解曲線上的下一個(gè)正則點(diǎn)。

2.2 葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的穩(wěn)定性和分岔

利用參數(shù)延續(xù)的打靶法對葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的周期運(yùn)動進(jìn)行求解和穩(wěn)定性計(jì)算。圖7給出了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解的分岔圖，由于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的周期解太過復(fù)雜，此處只給出了周期1解和更為關(guān)注的升降速過程中出現(xiàn)的周期2解。此外考慮到圖7（a）圖例占用面積很大，本文中如無特殊說明，下面所有周期解分岔圖的圖例均參照此圖例。從圖中可以看到利用參數(shù)延續(xù)的打靶法進(jìn)行求解，成功了繞過了轉(zhuǎn)折點(diǎn)，求得了系統(tǒng)周期解在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的變化。圖7（b），（c）和（d）為圖7（a）的局部放大，可以看到系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的變化出現(xiàn)了大量的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期解和分岔點(diǎn)，除升降速過程中出現(xiàn)的周期解外，系統(tǒng)出現(xiàn)了多處局部穩(wěn)定的周期解，在轉(zhuǎn)折點(diǎn)附近不穩(wěn)定周期解通過倍周期分岔轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定解，然后通過轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的鞍結(jié)分岔失穩(wěn)，如圖7（c）和（d）所示。這些穩(wěn)定周期解在正常升降速過程中不會出現(xiàn)，但在系統(tǒng)受到擾動時(shí)有可能發(fā)生。

隨著轉(zhuǎn)速進(jìn)一步增大，系統(tǒng)在h點(diǎn)（如圖9（b）所示）附近通過倍周期分岔脫離混沌，變?yōu)橹芷?運(yùn)動，進(jìn)而在i點(diǎn)處發(fā)生鞍結(jié)分岔，響應(yīng)出現(xiàn)跳躍。j點(diǎn)處通過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運(yùn)動，在k點(diǎn)又重新回到周期2運(yùn)動，周期2運(yùn)動在l點(diǎn)再次發(fā)生跳躍，在m點(diǎn)通過倍周期分岔進(jìn)入混沌。轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，在n點(diǎn)處系統(tǒng)的響應(yīng)通過倍周期分岔脫離混沌，o點(diǎn)處變?yōu)橹芷?運(yùn)動，p點(diǎn)為鞍結(jié)分岔點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)在該處通過切分岔陣發(fā)性進(jìn)入混沌。

系統(tǒng)響應(yīng)在q點(diǎn)（如圖10（b）所示）附近通過倍周期分岔退出混沌，然后在r點(diǎn)處通過鞍結(jié)分岔進(jìn)入混沌。隨著轉(zhuǎn)速的增大，系統(tǒng)發(fā)生邊界激變，混沌吸引子消失，響應(yīng)回到周期2運(yùn)動，然后在t點(diǎn)處經(jīng)過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運(yùn)動。圖11中周期1運(yùn)動在u點(diǎn)處發(fā)生倍周期分岔，由于該分岔點(diǎn)為亞臨界分岔點(diǎn)，系統(tǒng)的響應(yīng)在該處發(fā)生跳躍，變?yōu)橹芷?運(yùn)動，進(jìn)而在v點(diǎn)通過倍周期分岔變?yōu)橹芷?運(yùn)動，然后在w點(diǎn)退出，回到周期2運(yùn)動，在x點(diǎn)通過鞍結(jié)分岔陣發(fā)性進(jìn)入混沌。在y點(diǎn)附近系統(tǒng)響應(yīng)通過倍周期分岔退出混沌，然后在z點(diǎn)處變?yōu)橹芷?運(yùn)動。系統(tǒng)響應(yīng)在a1處通過鞍結(jié)分岔發(fā)生跳躍，變?yōu)檎穹^小的周期1運(yùn)動，b1為又一個(gè)亞臨界倍周期分岔點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生跳躍變?yōu)橹芷?運(yùn)動，進(jìn)而在c1點(diǎn)通過倍周期分岔回到周期1運(yùn)動，d1點(diǎn)處發(fā)生鞍結(jié)分岔，響應(yīng)出現(xiàn)跳躍，轉(zhuǎn)子脫離碰摩。

圖12是葉輪轉(zhuǎn)子降速的情況分析，可以看到轉(zhuǎn)子在e1點(diǎn)處通過切分岔陣發(fā)性進(jìn)入混沌，碰摩開始，在f1點(diǎn)處通過Hopf分岔脫離混沌，隨著轉(zhuǎn)速的下降，系統(tǒng)在g1點(diǎn)和h1點(diǎn)發(fā)生鞍結(jié)分岔，出現(xiàn)跳躍，在周期1和周期2運(yùn)動之間相互轉(zhuǎn)換，進(jìn)而在i1點(diǎn)處通過鞍結(jié)分岔再次進(jìn)入混沌。圖8-12的數(shù)值分岔圖很好地驗(yàn)證了周期解求解和穩(wěn)定性計(jì)算的結(jié)果。

3 結(jié) 論

葉輪轉(zhuǎn)子碰摩時(shí)，不同時(shí)刻發(fā)生接觸的葉片數(shù)量以及每個(gè)葉片的侵入深度都不同，使得系統(tǒng)的響應(yīng)異常復(fù)雜。本文針對葉輪轉(zhuǎn)子葉尖碰摩的動力學(xué)響應(yīng)以及周期解的分岔和穩(wěn)定性開展研究，取得了如下成果：

建立了葉輪轉(zhuǎn)子碰摩的動力學(xué)方程，利用數(shù)值計(jì)算研究了系統(tǒng)響應(yīng)隨轉(zhuǎn)速的變化，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了多種復(fù)雜周期運(yùn)動和混沌等響應(yīng)形式，并有倍周期分岔和跳躍等現(xiàn)象發(fā)生。將同倫延拓法和打靶法相結(jié)合，在龐加萊截面上通過切向預(yù)估和法向校正，形成了一種新的延續(xù)的打靶法，將其應(yīng)用于葉輪轉(zhuǎn)子碰摩周期解和穩(wěn)定性計(jì)算中，給出了周期1和周期2運(yùn)動的分岔圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨轉(zhuǎn)速的變化，出現(xiàn)了大量穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期解，系統(tǒng)在受擾動后可能發(fā)生復(fù)雜的周期響應(yīng)。研究了系統(tǒng)進(jìn)入和退出混沌的道路，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)進(jìn)入混沌的路徑主要是鞍結(jié)分岔和倍周期分岔，退出混沌的路徑包括倍周期分岔、Hopf分岔以及邊界激變。

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Abstract： The rubbing response of the blade rotor and the bifurcation and stability of the periodic solutions are studied. Based on the model of tip impact force composed of linear contact force and Coulomb friction force， the dynamic equation of the blade rotor rubbing system is established. The bifurcation diagram of the system response with the rotation velocity as the bifurcation parameter is given by numerical calculation. It is found that during the rubbing， the system exhibits various response forms such as periodic motion and chaos， and the phenomena of period-doubling bifurcation， jump and conversion between chaotic attractors occur. The homotopy continuation method and the shooting method are combined to form a new continuous shooting method by tangential prediction and normal correction on Poincare section. Applying it to the periodic solutions′ calculation and stability analysis of blade rotor rubbing， the bifurcation diagram of periodic rubbing response is given. It is found that a large number of locally stable periodic solutions appear in the system as the rotation velocity changes. Based on the bifurcation diagram of periodic solutions， the path of the system entering and exiting chaos is studied. The path that the system enters into chaos is mainly saddle-node bifurcation and double-cycle bifurcation， while the response exits chaos through period-doubling bifurcation， Hopf bifurcation and boundary crises.

Key words： bifurcation; stability; blade rotor; rubbing; continuous shooting method

作者簡介： 張華彪（1984-），男，講師。電話：13821927750;E-mail：hbzhang5220@qq.com