周文杰 冮鐵強(qiáng)

摘? ?要：本文將以二維曲面為研究對(duì)象，建立正則曲面上布朗運(yùn)動(dòng)軌跡與測(cè)地線之間的聯(lián)系，通過(guò)測(cè)地線的相關(guān)理論，實(shí)現(xiàn)曲面上的布朗運(yùn)動(dòng)數(shù)值計(jì)算。通過(guò)對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)均方位移的計(jì)算驗(yàn)證愛(ài)因斯坦關(guān)系。

關(guān)鍵詞：布朗運(yùn)動(dòng)? 二維曲面? 測(cè)地線? 數(shù)值計(jì)算

中圖分類號(hào)：O552? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2019）05（b）-0014-02

Abstract： In this paper， the two-dimensional manifold surface is taken as the research object， and the relationship between the Brownian motion trajectory and the geodesic line on the regular surface is established. The theory of the geodesic is used to simulate the Brownian motion on the manifold. The Einstein relationship is verified by the calculation of the mean square displacement of the Brownian motion on the manifold

Key Words： Brownian motion; Two-dimensional manifold surface; Geodesic; Numerical Simulation

愛(ài)因斯坦于1905年發(fā)表論文[1]，對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)[2]的機(jī)理進(jìn)行了定量的描述，得到了著名的愛(ài)因斯坦關(guān)系：

式中，為均方位移，D為擴(kuò)散系數(shù)。

關(guān)于流形上布朗運(yùn)動(dòng)研究大多集中在從理論上研究布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)[3]，本文將以二維曲面為研究對(duì)象，提出利用測(cè)地線的方法實(shí)現(xiàn)二維曲面上布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值計(jì)算。

1? 測(cè)地線與布朗運(yùn)動(dòng)

在微分幾何[4]中，存在關(guān)于測(cè)地線一個(gè)重要的定理：

定理1：曲面S上的一條曲線是測(cè)地線，當(dāng)且僅當(dāng)它或者是一條直線，或者它的主法向量處處是曲面S的法向量。

假設(shè)質(zhì)量為m的布朗粒子在曲面S上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為r（t），粒子僅受曲面法向約束力力F（t）的作用。由牛頓第二定律可得：

由式（2）可知的方向沿著曲面S的法方向，因此可知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的主法向量為曲面S的法向量，結(jié)合定理1可得布朗粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲面S上的測(cè)地線。

2? 曲面上布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬

曲面上測(cè)地線所滿足方程為：

當(dāng)u1、u2為正則參數(shù)系時(shí)，還滿足：

式中θ為測(cè)地曲線與u1-曲線的夾角。

曲面S上的布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)方向的定義，以對(duì)夾角θ的隨機(jī)來(lái)生成。下圖1為利用測(cè)地線方法實(shí)現(xiàn)布朗粒子在曲面S上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)800步的軌跡圖。

3? 均方位移計(jì)算

曲面上對(duì)均方位移的計(jì)算采用計(jì)算兩點(diǎn)間的測(cè)地距離。下圖2為計(jì)算得到的均方位移圖，可以看到，布朗運(yùn)動(dòng)均方位移與時(shí)間之間滿足愛(ài)因斯坦關(guān)系。

4? 結(jié)論

（1）曲面表面的布朗運(yùn)動(dòng)軌跡為曲面上的測(cè)地線，利用測(cè)地線的理論實(shí)現(xiàn)了二維曲面上布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬;

（2）二維曲面表面的布朗運(yùn)動(dòng)的均方位移依然滿足愛(ài)因斯坦關(guān)系，即均方位移與時(shí)間的線性關(guān)系。

參考文獻(xiàn)

[1] Einstein A. ?ber die von der molekularkinetischen Theorie der W?rme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen[J]. Annalen der physik， 1905， 322（8）：549-560.

[2] 郝柏林.布朗運(yùn)動(dòng)理論一百年[J].物理，2011，40（1）：1-7.

[3] Castro-Villarreal P. Brownian motion meets Riemann curvature[J]. Journal of Statistical Mechanics： Theory and Experiment， 2010， 2010（8）：P08006.

[4] 陳維桓.微分幾何[M].北京大學(xué)出版社，2017.