張建芬

摘?要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)問題，常常作為考查學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維發(fā)展水平的中考?jí)狠S題，需要學(xué)生理解圖形在不同位置的情況，在變化中找到解決問題的辦法，因此，常常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。而幾何畫板被譽(yù)為“二十一世紀(jì)的幾何點(diǎn)金石”，它以直觀、簡潔、動(dòng)態(tài)的表現(xiàn)來解決動(dòng)點(diǎn)難題，能幫助學(xué)生深刻理解，收到很好的效果。本文重點(diǎn)研究的是如何利用幾何畫板，更清晰直觀地觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡。

關(guān)鍵詞：動(dòng)點(diǎn)問題;幾何畫板;數(shù)形結(jié)合

一、 背景分析

（一） 知識(shí)背景與學(xué)生學(xué)情分析

1. 本課是中考第二輪復(fù)習(xí)時(shí)的一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)完基礎(chǔ)知識(shí)，基于對(duì)函數(shù)圖像與方程有了較好的理解和運(yùn)用的前提，而學(xué)生在解綜合性的“動(dòng)點(diǎn)問題”中有以下幾個(gè)方面的困難：（1）不會(huì)分類討論。（2）無法熟練地?cái)?shù)形結(jié)合。（3）添加輔助線。因此安排了這樣一節(jié)應(yīng)用信息技術(shù)展示動(dòng)點(diǎn)問題的專題課。

2. 在現(xiàn)代社會(huì)，電腦已經(jīng)深入滲透到了學(xué)生的日常生活，更是走進(jìn)了常規(guī)課堂，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)，老師在講課時(shí)無法動(dòng)態(tài)演示給學(xué)生觀看圖形變換過程，這對(duì)學(xué)生知識(shí)點(diǎn)的理解也是有阻礙的，隨著科技的發(fā)展，促使了像幾何畫板等教學(xué)工具的產(chǎn)生?！皠?dòng)點(diǎn)問題”具有較強(qiáng)的綜合性，對(duì)學(xué)生的能力有較高要求，學(xué)生往往感覺上課能聽懂但自己做題時(shí)就無法入手。運(yùn)用幾何畫板將“動(dòng)點(diǎn)問題”動(dòng)態(tài)展現(xiàn)出來，能使動(dòng)點(diǎn)問題更加具體化，便于學(xué)生對(duì)于這類問題的理解，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力不再停留在簡單的模仿階段，從而對(duì)于學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績有深遠(yuǎn)的、重要的影響。

（二） 教材分析

現(xiàn)行的教材體系，基本都是新課標(biāo)頒布實(shí)施以后的新編版本，由于新課標(biāo)的實(shí)施，初中數(shù)學(xué)教材增加了圖形運(yùn)動(dòng)的相關(guān)內(nèi)容，其基本理念對(duì)近幾年數(shù)學(xué)命題產(chǎn)生了重大影響，其中“動(dòng)點(diǎn)問題”成為中考數(shù)學(xué)中的?？汀ＫǔＪ侵锌嫉睦诸}，更加綜合地考查學(xué)生數(shù)學(xué)解題思想的運(yùn)用能力。為了落實(shí)讓數(shù)學(xué)的教與學(xué)貼近生活、貼近現(xiàn)實(shí)，增強(qiáng)學(xué)以致用、強(qiáng)化體驗(yàn)等新課程理念，順應(yīng)素質(zhì)教育的要求，我今天選擇了“幾何畫板演示動(dòng)點(diǎn)軌跡，掃清學(xué)生空間想象盲區(qū)”這節(jié)課。

（三） 學(xué)生需求分析

1. 時(shí)代的進(jìn)步，科技的提高，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也應(yīng)該順應(yīng)改革不斷完善，向多樣化、自主性、探究式的方向轉(zhuǎn)變。所以教材體現(xiàn)時(shí)代特征，是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的不斷改進(jìn)，值得我們響應(yīng)與附和。

2. 利用電腦軟件解決學(xué)科問題，特別是數(shù)學(xué)問題，學(xué)生已經(jīng)司空見慣、耳聞目睹，面對(duì)陌生的數(shù)學(xué)問題或陌生的電腦軟件，學(xué)生在心理上并無恐懼感，相反，在老師的推薦、帶動(dòng)和指導(dǎo)下，還能激發(fā)他們的好奇心和求知欲望，甚至能夠激發(fā)他們對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題的嘗試和探究的潛能。

因此，設(shè)置這樣的一節(jié)專題課，不僅是要增強(qiáng)學(xué)生掌握現(xiàn)代信息技術(shù)的意識(shí)，也是在強(qiáng)化對(duì)新課程理念的導(dǎo)向，更是對(duì)教師自身學(xué)習(xí)與探究能力的挑戰(zhàn)、檢驗(yàn)與鞭策。

二、 實(shí)踐舉措

（一） 教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計(jì)

1. 知識(shí)定位

借助《幾何畫板》來探究有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，從新的視角審視軌跡問題的本質(zhì);認(rèn)識(shí)圓的幾何屬性在探究過程中的完美運(yùn)用。

2. 能力定位

讓學(xué)生從認(rèn)識(shí)→理解→實(shí)踐，提升學(xué)生解動(dòng)點(diǎn)問題的能力，加強(qiáng)新時(shí)代背景下學(xué)生信息技術(shù)的基本功;培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)，開闊視野，激發(fā)創(chuàng)新潛能。

3. 情感導(dǎo)向

讓學(xué)生直觀地感受點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，從本質(zhì)上理解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是怎么形成的，把知識(shí)教給學(xué)生，把能力傳授給學(xué)生;投其所好，實(shí)施快樂教學(xué)，實(shí)現(xiàn)愉悅學(xué)習(xí);師生共同提高，提升“數(shù)學(xué)”品味。

（二） 教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)

（三） 教法：演示法、指導(dǎo)法。

（四） 學(xué)法：實(shí)踐法、探究法（“動(dòng)手”學(xué)習(xí)，親歷體驗(yàn)）。

（1） 課前準(zhǔn)備：選題，選了在本次月考中幾乎全軍覆沒的一道題，然后用《幾何畫板》制作動(dòng)態(tài)圖像。

【例】如圖，△COD是等腰直角三角形，當(dāng)它從OA與OC重合位置開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長。

在幾何畫板中，制作向大家展示等腰直角三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫，只要用鼠標(biāo)選中C點(diǎn)，然后向右拖動(dòng)鼠標(biāo)，就可以觀看到等腰直角三角形△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的整個(gè)過程。選中點(diǎn)P，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡，是經(jīng)過點(diǎn)A、P、B的弧。

【配套練習(xí)題】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，CD垂直CP交AP于點(diǎn)D，求BD的最小值。

在幾何畫板中，制作向大家展示點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫，只要用鼠標(biāo)選中點(diǎn)P，然后向右拖動(dòng)鼠標(biāo)，就可以觀看到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程。選中點(diǎn)D，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡，是經(jīng)過點(diǎn)A、D、C的弧。

（2） 課程開始：和學(xué)生一起理解題意，分析條件，得出結(jié)論。

【例】如圖，△COD是等腰直角三角形，當(dāng)它從OA與OC重合位置開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長。

引導(dǎo)：△COD旋轉(zhuǎn)的起始位置是哪里？此時(shí)點(diǎn)P的位置在哪里？

答：起始位置是點(diǎn)C在點(diǎn)A處，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合。

引導(dǎo)：△COD旋轉(zhuǎn)的終點(diǎn)位置是哪里？此時(shí)點(diǎn)P的位置在哪里？

答：終點(diǎn)位置是點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合。

引導(dǎo)：你們能找到一個(gè)△COD旋轉(zhuǎn)過程中的任一點(diǎn)位置嗎？此時(shí)點(diǎn)P的位置在哪里？

答：題圖的位置就可以。

引導(dǎo)：你們猜測點(diǎn)P的軌跡是一條什么線？

答：學(xué)生A：曲線。學(xué)生B：圓弧。學(xué)生C：折線……

師：到底是一條什么線，讓幾何畫板給我們展示一下。

在幾何畫板中，制作向大家展示等腰直角三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫，只要用鼠標(biāo)選中點(diǎn)C，然后向右拖動(dòng)鼠標(biāo)，就可以觀看到等腰直角三角形△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的整個(gè)過程。選中點(diǎn)P，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是經(jīng)過點(diǎn)A、P、B的弧。

猜測是圓弧線后，給出證明∠APB始終為135°，確定點(diǎn)P在以弧AB的中點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的弧AB上，然后計(jì)算出軌跡的長。

給出配套練習(xí)，讓學(xué)生嘗試解答：

【配套練習(xí)題】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧BC上運(yùn)動(dòng)，CD垂直CP交AP于點(diǎn)D，求BD的最小值。

在幾何畫板中，制作向大家展示點(diǎn)P在弧上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫，只要用鼠標(biāo)選中點(diǎn)P，然后向右拖動(dòng)鼠標(biāo)，就可以觀看到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程。選中點(diǎn)D，并選擇顯示中的追蹤，就可以清楚地看到點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡，是經(jīng)過點(diǎn)A、D、C的弧。

三、 成效與反思

通過幾何畫板，在講解動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，就不再是紙上談兵，可以實(shí)戰(zhàn)演練給學(xué)生們觀看，從而知道每個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣就可以更好地進(jìn)行講解。學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程時(shí)也十分有興趣，覺得很神奇，運(yùn)用幾何畫板，可以讓學(xué)生在課堂上充分活動(dòng)起來，課堂氣氛活躍起來，讓學(xué)生非常直觀地得到結(jié)論，把教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”有機(jī)地結(jié)合起來，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，讓教師真正成為教學(xué)的引導(dǎo)者。而且對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，原先學(xué)生由于空間想象能力匱乏，始終沒有在腦海中有過如此具體的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，幾何畫板讓他們有了切實(shí)的經(jīng)驗(yàn)，在今后遇到的問題中，可以有效地應(yīng)用。美中不足的是，考試時(shí)并沒有幾何畫板這樣的工具，所以在幾何畫板演示之前，應(yīng)該引導(dǎo)好學(xué)生，使得他們有充分時(shí)間進(jìn)行空間想象能力的鍛煉，這樣，幾何畫板給他們的具體實(shí)踐過程，才能真正起到作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶維林.幾何畫板實(shí)用范例教程（第3版），清華大學(xué)出版社出版，2013（9）.

[2]方其桂主編，周紅文，朱俊杰.POD——幾何畫板4——課件制作方法與技巧，人民郵電出版社出版，2004（1）.