溫 青，華旭剛，王修勇，陳政清，孫洪鑫

(1.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201;2.湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410082)

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)是一種構(gòu)造簡單、實(shí)用可靠的被動耗能減振裝置。該裝置已經(jīng)在工程結(jié)構(gòu)減振控制中廣泛應(yīng)用，如高聳結(jié)構(gòu)振動控制[1-2]、大跨橋梁風(fēng)致振動控制[3-5]，大跨人行橋或樓板人致振動減振[6-9]。TMD減振設(shè)計(jì)首先需要準(zhǔn)確評估結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)評估誤差和TMD系統(tǒng)自身參數(shù)偏離均會導(dǎo)致TMD減振效率的降低[10]。準(zhǔn)確識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)參數(shù)和TMD自身參數(shù)是提高TMD減振效率的關(guān)鍵。

當(dāng)結(jié)構(gòu)和TMD相互獨(dú)立時(shí)，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)和TMD動力參數(shù)均可通過環(huán)境振動測試、自由振動測試和強(qiáng)迫振動測試評估。環(huán)境振動測試結(jié)合自由振動測試識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、模態(tài)振型和阻尼比已經(jīng)在工程實(shí)踐中廣泛應(yīng)用[11-12]。TMD動力參數(shù)主要通過自由振動測試。強(qiáng)迫振動試驗(yàn)?zāi)茏R別包括模態(tài)質(zhì)量在內(nèi)的動力參數(shù)，但是該方法需要專門的激振設(shè)備，土木工程領(lǐng)域中僅適用于中小型結(jié)構(gòu)和中小型TMD[13-14]。在結(jié)構(gòu)上安裝TMD后，結(jié)構(gòu)和TMD組成一個耦合的振動系統(tǒng)。然而，上述傳統(tǒng)的參數(shù)識別方法只能評估耦合系統(tǒng)的動力特征[15]，不能通過耦合系統(tǒng)的響應(yīng)識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)參數(shù)和TMD物理參數(shù)，而這些參數(shù)是TMD現(xiàn)場調(diào)試和后期維護(hù)的必需參數(shù)。TMD現(xiàn)場調(diào)試和后期維護(hù)是保證TMD減振效率的重要手段。性能優(yōu)良的TMD啟動加速度很小，在很小的環(huán)境荷載作用下，就能發(fā)揮作用，發(fā)生結(jié)構(gòu)和TMD的耦合振動。

鑒于此，本文提出了一種通過測試結(jié)構(gòu)和TMD耦合系統(tǒng)的環(huán)境振動響應(yīng)，識別結(jié)構(gòu)被控模態(tài)參數(shù)和TMD物理參數(shù)方法。本文首先詳細(xì)闡述了參數(shù)識別方法的理論背景；然后，通過數(shù)值仿真，分析了該方法的可行性和適用性；最后，通過單層框架結(jié)構(gòu)和TMD耦合系統(tǒng)的試驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 理論背景

1.1 結(jié)構(gòu)和TMD耦合系統(tǒng)狀態(tài)空間模型

如圖 1所示的N自由度線性結(jié)構(gòu)和TMD構(gòu)成的耦合振動系統(tǒng)，其運(yùn)動方程可以表示為

(1)

式中：M，C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；mo，ko和co為TMD的質(zhì)量、剛度和阻尼；X為結(jié)構(gòu)的位移向量；xn為結(jié)構(gòu)的第n個自由度的位移；xo為TMD的位移；G為激振力作用位置矩陣；u為激振力向量；[δn]為TMD的位置向量，除第n個為1外，其余均為零的列向量。

圖1 結(jié)構(gòu)-TMD耦合振動系統(tǒng)Fig.1 Structure-TMD coupled vibration system

當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼為瑞利阻尼時(shí)，可以利用模態(tài)疊加法解耦結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程。令

X=Φq

(2)

式中：Φ為模態(tài)振型矩陣；q為模態(tài)坐標(biāo)向量。將式(2)代入式(1)，并對式(1)中第一式左乘φrT，化簡可得

(3)

式中：qr為第r階模態(tài)坐標(biāo)；r為模態(tài)階次，mr=φrTMφr為結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)質(zhì)量；ζr=φrTCφr/(2ωrmr)為結(jié)構(gòu)的第r階阻尼比；ωr和φr分別為結(jié)構(gòu)第r階模態(tài)的頻率和振型；ωo和ζo分別為TMD圓頻率和阻尼比。

在式(3)中，xn和xo均為位移；而qr為模態(tài)坐標(biāo)，因此，需將qr轉(zhuǎn)化為位移才能進(jìn)一步化簡公式。假設(shè)xn=φnrqr，即結(jié)構(gòu)第n個自由度位置的位移僅有第r階模態(tài)參與振動，于是式(2)可轉(zhuǎn)化為

(4)

式(4)是被控結(jié)構(gòu)的第r階模態(tài)和TMD耦合的振動系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程可以表示為

(5)

(6)

(7)

AC特征值分解可表示為

(8)

式中：V為復(fù)特征值對角矩陣；Ψ為復(fù)特征向量矩陣，Γ為耦合系統(tǒng)振型矩陣；*為共軛符號；Λ為由非共軛特征值λi構(gòu)成的對角矩陣，即Λ=diag(λi),i=1,2。λi可以表示為

(9)

(10)

1.2 系統(tǒng)識別

基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)辨別方法能識別系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，如ARMA(Autoregressive Moving Average)方法、系統(tǒng)特征實(shí)現(xiàn)法[16]和子空間法[17]。隨機(jī)子空間法(Stochastic Subspace Identification,SSI)是一種基于線性系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程的時(shí)域識別方法，該方法被認(rèn)為是目前最有效的方法。因此，本文采用隨機(jī)子空間法評估結(jié)構(gòu)和TMD耦合振動系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

在實(shí)際測試中，信號的采集都是在離散的時(shí)間點(diǎn)上，因此，連續(xù)狀態(tài)空間模型不符合實(shí)際工程情況，須采用離散狀態(tài)空間模型。在環(huán)境激勵作用下，考慮必然存在的不確定誤差和測試噪聲干擾，離散的狀態(tài)空間模型可以寫為

yk+1=ADyk+BDuk+wk
ηk=CDyk+DDuk+vk

(11)

式中：yk=[xn(k),xo(k),xn(k+1),xo(k+1)]；yk+1=[xn(k+1),xo(k+1),xn(k+2),xo(k+2)]；ηk為觀測向量；AD為離散狀態(tài)矩陣；BD為離散輸入矩陣；CD為離散輸出矩陣，DD為離散傳遞矩陣；wk為處理過程和建模誤差引起的噪聲；vk為測量噪聲；k為第k個離散時(shí)刻。在環(huán)境振動測試中，環(huán)境激勵是無法測量的隨機(jī)激勵，與wk和vk對狀態(tài)空間模型的影響基本相似。因此，將式(11)中的BDuk合并入wk中，DDuk合并入vk中。于是式(11)可以簡化為

yk+1=ADyk+wk
ηk=CDyk+vk

(12)

采用隨機(jī)子空間法可以求得式(12)的離線狀態(tài)空間模型，獲得AD和CD矩陣。對評估的AD進(jìn)行特征值分解，得

AD=UZU-1

(13)

(14)

(15)

根據(jù)CD和U可得耦合系統(tǒng)的模態(tài)振型Θ

Θ=CDU

(16)

(17)

式中：Λe和Γe為隨機(jī)子空間法識別的能夠反映式(10)確定的耦合系統(tǒng)特征的對角矩陣和振型矩陣。

1.3 參數(shù)識別

(18)

(19)

2 仿真研究

2.1 單自由度結(jié)構(gòu)

單自由結(jié)構(gòu)和TMD耦合振動系統(tǒng)，如圖 2所示。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m1、剛度k1和阻尼c1分別為50 kg，1 973.92 N/m，3.14 N·s/m，由此計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的固有頻率f1和阻尼比ζ1分別為1.00 Hz和0.5%。按照最大位移最小化設(shè)計(jì)TMD最優(yōu)參數(shù)，假設(shè)設(shè)計(jì)質(zhì)量比μ為1%，則TMD的頻率f0=f1/(1+μ)=0.990 Hz，TMD的最優(yōu)阻尼比ζ0=[3μ/8(1+μ)]1/2=6.09%。由此得TMD的質(zhì)量m0、剛度k0和阻尼c0分別為0.5 kg，19.35 N/m和0.19 N·s/m。

圖2 單自由度結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)圖示Fig.2 Structure-TMD coupled vibration system

圖3 環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)和TMD加速度響應(yīng)Fig.3 Acceleration responses of structure and TMD for ambient vibration

圖4 SSI法穩(wěn)態(tài)圖Fig.4 The stabilization diagraph for SSI

表1 識別的結(jié)構(gòu)和TMD的固有模態(tài)參數(shù)Tab.1 Estimated nature modal parameters of structure and TMD

2.2 多自由度結(jié)構(gòu)

三自由度結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)如圖 5所示，結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)為：m1=50 kg，m2=m3= 40 kg，ki=2 000 N/m，ci=2.0(N·s/m)，i=1,2,3。三自由度結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性如表 2所示。為了抑制結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)振動，在質(zhì)量塊m2上安裝一個TMD，質(zhì)量比μ為1%，即m0= 0.683 kg，TMD的固有頻率f0和阻尼比ζ0分別為0.826 Hz和6.09%。結(jié)構(gòu)和TMD構(gòu)成一個四自由度的耦合振動系統(tǒng)。

圖5 3自由度結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)圖示Fig.5 3DOFs structure-oscillator coupled vibration system

表2 3自由度結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)Tab.2 Modal parameters of the 3 DOF structure

圖6 環(huán)境振動穩(wěn)態(tài)圖Fig.6 The stabilization diagraph for ambient vibration

表3 識別的結(jié)構(gòu)和TMD的參數(shù)Tab.3 Estimate parameters of structure and TMD

3 單層框架試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文提出的方法，在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行了單層框架結(jié)構(gòu)-TMD耦合振動系統(tǒng)試驗(yàn)研究。單層框架結(jié)構(gòu)由兩根鋼板立柱、一塊鋼板平臺和基礎(chǔ)組成，立柱與平臺和基礎(chǔ)固結(jié)。TMD采用懸臂梁結(jié)構(gòu)，如圖 8所示。懸臂梁一端固結(jié)在底座上，另一端固定一個集中質(zhì)量塊。為了能夠調(diào)節(jié)TMD的阻尼，設(shè)計(jì)了電渦流阻尼裝置。

圖7 結(jié)構(gòu)-TMD耦合振動系統(tǒng)圖Fig.7 Prototype of the structure-TMD coupled vibration system

通過在結(jié)構(gòu)平臺上增加質(zhì)量塊調(diào)整結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，通過改變銅板和永磁體的距離調(diào)整TMD的阻尼比，試驗(yàn)了兩種質(zhì)量比和三種TMD阻尼比共六個工況。采用理論方法計(jì)算了結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量，1#結(jié)構(gòu)和2#結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量分別約為17.90 kg和27.90 kg。TMD運(yùn)動質(zhì)量通過稱重直接獲得，約為0.19 kg。由此可得質(zhì)量比分別為1.06%和0.68%。為了獲得結(jié)構(gòu)和TMD的動力特征，分離結(jié)構(gòu)和TMD，通過單獨(dú)測試TMD和結(jié)構(gòu)的自由振動，采用曲線擬合方法識別了不同工況下TMD和結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比，如表 4所示。

圖8 TMD和電渦流阻尼原件圖Fig.8 Prototype of TMD and eddy current damping element

由于試驗(yàn)室過于安靜，不足以激勵結(jié)構(gòu)和TMD振動，因此，在結(jié)構(gòu)不遠(yuǎn)處安放了一臺風(fēng)扇，生成風(fēng)荷載，模擬環(huán)境激勵。通過兩個激光位移計(jì)測試了結(jié)構(gòu)和TMD的位移響應(yīng)。采樣頻率為100 Hz，采樣時(shí)長大于600 s。其中工況1a實(shí)測耦合振動系統(tǒng)的位移響應(yīng)，如圖 9所示。

采用本文提出的方法，識別了不同工況下質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)和TMD的頻率和阻尼比，識別結(jié)果如表 5所示。試驗(yàn)結(jié)果表明：該方法在不同的質(zhì)量比和TMD阻尼比條件下都能獲得理想的質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)和TMD的頻率和阻尼比。

表4 不同工況下結(jié)構(gòu)和TMD固有參數(shù)Tab.4 Dynamic parameters of structure and TMD for six cases

圖9 工況1a實(shí)測結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)環(huán)境振動位移響應(yīng)Fig.9 Ambient vibration displacements responses of structure-TMD coupling system for case 1a

表5 不同工況下識別的結(jié)構(gòu)和TMD參數(shù)Tab.5 Estimated parameters for different cases

4 結(jié) 論

本文提出了一種通過測試結(jié)構(gòu)-TMD耦合系統(tǒng)環(huán)境振動響應(yīng)，識別質(zhì)量比、結(jié)構(gòu)和TMD固有頻率和阻尼比的方法。通過數(shù)值仿真分析和試驗(yàn)研究分析了該方法的可行性和有效性。研究結(jié)果表明：

(1)不管結(jié)構(gòu)是以單模態(tài)振動還是以多模態(tài)振動，提出的方法都能夠獲得理想的識別結(jié)果。

(2)結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動時(shí)，減小TMD的阻尼比能夠獲得更加準(zhǔn)確的識別結(jié)果。

(3)單層框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)驗(yàn)證了該在實(shí)際中可行，且識別結(jié)果理想。

本文中僅分析了安裝單個TMD的情況，對于安裝多個TMD的情況，可采用逐個TMD分別識別的方法。多個TMD一次性識別的方法還有待進(jìn)一步研究。