閆 凱，趙曉丹，連海平，程 惠，孫黎明

(1.江蘇大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.洛陽拖拉機研究所有限公司 拖拉機動力系統(tǒng)國家重點實驗室，河南 洛陽 471039)

阻尼表征振動衰減與能量耗散程度，是決定結(jié)構(gòu)動力特性的重要參數(shù)[1]。準確識別結(jié)構(gòu)的阻尼值，可以提高動力分析結(jié)果的可靠性；而阻尼值變化的準確識別，還可用于發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的細小裂紋等故障診斷方面。工程應(yīng)用中，識別不準的阻尼值也會給很多方面的研究帶來問題，識別精度不高會限制阻尼識別在故障診斷等方面的應(yīng)用，提高阻尼識別精度一直是學(xué)者們所關(guān)心的焦點。目前阻尼識別的方法主要有：使用多單元傳遞函數(shù)方程計算阻尼值的傳遞函數(shù)法[2]；融合大容量數(shù)據(jù)譜分析技術(shù)和頻域任意區(qū)間聚焦細化技術(shù)的大容量數(shù)據(jù)譜分析法；通過局部頻率細化頻率提高阻尼識別精度的細化與大容量數(shù)據(jù)采集分析法[3]；通過線性插值法近似確定頻譜函數(shù)圖像中半功率點進而計算阻尼值的半功率帶寬法及其改進方法等[4-5]，此類阻尼識別方法都以傅里葉變換作為理論基礎(chǔ)。傅里葉變換受截斷誤差影響[6]，導(dǎo)致阻尼識別結(jié)果精度降低，尤其當(dāng)識別阻尼值較小時，由于其固有頻率附近譜峰較窄[7-8]，時域截斷造成的能量泄漏對阻尼識別影響增加，為減小這一影響，使用增大采樣長度的方法以減小截斷誤差[9]。傅里葉變換理論分析是當(dāng)積分時段趨向于無窮時截斷誤差為零，同時時間趨向于無窮時噪聲頻譜的期望值也為零，受這二點理論分析的影響容易形成采樣時間越長，阻尼識別精度越高的結(jié)論，進而在工程實踐中指導(dǎo)阻尼識別使用長數(shù)據(jù)分析。如在阻尼識別應(yīng)用中，陳正林[10]使用采樣時間為20 s、采樣點數(shù)為20 000的長數(shù)據(jù)對曲軸阻尼進行識別；在橋梁領(lǐng)域，劉漢夫[11]提出應(yīng)盡可能的增大數(shù)據(jù)采樣量，采用更長的數(shù)據(jù)分析來保證阻尼分析結(jié)果的可靠。

在工程領(lǐng)域中，對信號的采集不可避免的會存在著隨機噪聲的干擾[12]。對工程信號作傅里葉變換的同時，噪聲信號也在作積分運算，以采樣分析時間到無窮得出采樣越長識別精度越高的結(jié)論沒有考慮到噪聲信號隨振動衰減信號一同被積分時的變化關(guān)系，本文考慮這一細節(jié)，分析了振動衰減信號和噪聲信號頻譜隨采樣點數(shù)的比例關(guān)系，得出當(dāng)采樣點數(shù)超過某一臨界值時，噪聲頻譜幅值會高于振動衰減信號頻譜幅值，此時將導(dǎo)致阻尼識別精度下降，對所做的分析進一步使用仿真計算及懸臂梁實驗進行了驗證。

1 理論分析

設(shè)存在一工程信號

x(t)=x0(t)+xn(t)

(1)

式中：x0(t)為振動衰減信號；xn(t)為隨機噪聲干擾信號。

1.1 振動衰減信號頻譜分析

振動衰減信號復(fù)數(shù)形式表示為

(2)

式中：A為信號振幅；n為信號衰減系數(shù)；ωd為有阻尼固有頻率。為方便分析，將相位角φ取值為零。

對x0(t)做傅里葉變換，當(dāng)頻率ω=ωd時，振動衰減信號取得頻譜幅值，其傅里葉變換可以表示為

(3)

(4)

采樣時間T，采樣頻率fs與采樣點數(shù)N存在以下關(guān)系

(5)

將式(5)代入式(4)，振動衰減頻譜幅值可以表示為

(6)

分析式(6)可知該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)nT取值為4.6時，e-nt值為0.01，即(1-e-nt)≈1，故當(dāng)T≥4.6/n時，振動衰減信號頻譜幅值為

(7)

1.2 噪聲信號頻譜分析

對噪聲干擾信號xn(t)作時域-頻域轉(zhuǎn)換，得到噪聲干擾信號的幅頻關(guān)系。設(shè)工程信號中的噪聲干擾信號xn(t)服從正態(tài)分布N(0,σ2)，記為向量xn，將噪聲向量xn與傅里葉變換基向量ek進行內(nèi)積運算[14]，結(jié)果表示為Z(ω)

(8)

分析式(8)，噪聲干擾xni為服從正態(tài)分布的隨機信號，且獨立正態(tài)分布隨機變量的線性組合仍然具有正態(tài)分布的特性[15]，故Z(ω)是一個服從正態(tài)分布的隨機函數(shù)。對Z(ω)的實部求期望得

(9)

噪聲干擾信號xni服從正態(tài)分布N(0,σ2)，即E{xni}=0，可得其實部的期望值也為零

E{Re(Z(ω))}=0

(10)

對Z(ω)實部求方差得

(11)

由統(tǒng)計學(xué)分析知，服從正態(tài)分布N(0,σ2)的隨機噪聲xn，當(dāng)i≠j時

E{xni·xnj}=0

(12)

當(dāng)i=j時

(13)

將式(12)、式(13)代入式(11)，化簡得

(14)

(15)

(16)

1.3 噪聲對阻尼識別的影響

(17)

2 模擬及計算分析

為了更清晰的反映采樣長度對阻尼識別的影響，使用模擬仿真對其進行了計算分析。給出一受噪聲污染的信號

x(t)=2e-ntcos(ωdt)+xn(t)

(18)

阻尼識別結(jié)果如表1所示。從阻尼識別結(jié)果看，相比之下內(nèi)積法阻尼識別精度較半功率帶寬法高；兩種阻尼識別方法都在2 000采樣點附近有較高的識別精度；兩組阻尼識別結(jié)果的相對誤差都存在先減少后增大趨勢。說明并非采樣點數(shù)越多，阻尼識別精度越高。

表1 仿真計算阻尼識別結(jié)果Tab.1 Damping recognition results of simulation

圖1為采樣點數(shù)分別為500點、2 000點、8 000點和32 000點時信號x(t)所對應(yīng)的頻譜圖。由x(t)的頻譜圖分析可得，當(dāng)采樣點數(shù)為500點時，采樣時間T為0.25 s，小于4.6/n，此時截斷誤差大，導(dǎo)致阻尼識別結(jié)果誤差較大。采樣點數(shù)為2 000點時，此時采樣點數(shù)增大，采樣信號的截斷誤差減小，且噪聲信號對真實響應(yīng)信號干擾較小，阻尼識別結(jié)果誤差小。采樣點數(shù)為8 000點時，噪聲信號對真實響應(yīng)信號干擾開始增大，阻尼識別結(jié)果誤差增大。采樣點數(shù)為32 000點時，此時采樣點數(shù)已超出由式(17)計算得出的臨界采樣點數(shù)31 304點，噪聲信號對真實響應(yīng)信號干擾大，阻尼識別結(jié)果已經(jīng)偏離實際值。

圖1 信號x(t)頻譜圖Fig.1 Signal x(t)spectrum diagram

3 懸臂梁阻尼測試實驗

工程應(yīng)用中很多結(jié)構(gòu)都可以簡化為梁式結(jié)構(gòu)，而懸臂梁結(jié)構(gòu)是其中常見的類型。從工程應(yīng)用角度出發(fā)，選取了懸臂梁結(jié)構(gòu)做阻尼測試實驗。實驗裝置圖如圖2所示。選取一根鋼質(zhì)懸臂梁，其具體的參數(shù)為：懸臂梁長寬高分別為1 000 mm，50 mm和14 mm；懸臂梁固定端用螺栓和壓板緊固在試驗臺架上，用銅質(zhì)力錘錘擊懸臂梁，通過安裝在末端的加速度傳感器測得自由端振動信號。

圖2 實驗裝置簡圖Fig.2 Experimental device diagram

對自由端振動信號進行數(shù)據(jù)采集，采樣頻率為5 000 Hz。采樣點數(shù)為5 000點時，其信號頻譜圖如圖3所示。由圖可看出懸臂梁響應(yīng)信號模態(tài)主要有六個，分別為約10 Hz，約60 Hz，約200 Hz，約400 Hz，約600 Hz及約900 Hz。此處以約200 Hz模態(tài)為例，采用半功率帶寬法和內(nèi)積法進行阻尼識別。

圖3 懸臂梁響應(yīng)信號頻譜圖Fig.3 Cantilever response signal frequency spectrum

分別以5 000點和25 000點采樣點數(shù)對約200 Hz模態(tài)進行阻尼識別，結(jié)果如表2所示，不同采樣長度對應(yīng)的阻尼識別結(jié)果有差別。

表2 懸臂梁200 Hz附近模態(tài)阻尼識別結(jié)果Tab.2 Damping identification results of the cantilever beam modal near 200 Hz

為確定準確的阻尼值，識別出該模態(tài)參數(shù)后，以此參數(shù)構(gòu)造出阻尼識別信號，并從總信號中將此估計信號減去，當(dāng)識別結(jié)果準確時，剩余信號頻譜中對應(yīng)頻率附近能量變得很小，剩余頻譜圖里觀察不到明顯峰值。仿真算例已經(jīng)驗證內(nèi)積法相比與半功率帶寬法有著更高的識別精度，此處以內(nèi)積法為例，分別將5 000采樣點和25 000采樣點時所識別出的約200 Hz模態(tài)信號從原信號中減去，剩余信號頻譜如圖4所示。從圖4可知，采樣點數(shù)為5 000點時，減去識別阻尼信號后，剩余信號200 Hz附近觀察不到明顯峰值，此階模態(tài)信號已被剔除；采樣點數(shù)為25 000點時，減去識別阻尼信號后，剩余信號200 Hz附近仍然可以觀察到明顯峰值。

圖4 懸臂梁200 Hz附近剩余信號頻域?qū)Ρ葓DFig.4 Remainder signal contrast frequency domain diagram near 200 Hz of the cantilever beam

由懸臂梁阻尼識別實驗可以看出，當(dāng)采樣點數(shù)為5 000點時，此時阻尼識別精度已經(jīng)很高，模態(tài)信號能夠被準確識別出；采樣點數(shù)繼續(xù)增加到25 000點，此時受噪聲干擾影響增大，誤差反而增大，阻尼識別結(jié)果不夠準確，故增加采樣點數(shù)不一定能提高阻尼識別精度，進一步驗證了本文的結(jié)論。

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)傅里葉積分時段趨近于無窮時，噪聲頻譜期望值為零，但是其實際發(fā)生值不是期望值，而是主要在零與三倍標(biāo)準差之間浮動，對阻尼引起的振動衰減信號的識別不能忽略噪聲頻譜實際發(fā)生值對振動衰減信號的影響，根據(jù)期望值為零得到采樣點數(shù)越多識別結(jié)果越精確這一觀點不適合于阻尼診斷。

(2)適當(dāng)增加采樣點數(shù)可以提高阻尼的識別精度，但采樣點數(shù)并不是越多越好，采樣點數(shù)超過臨界值取值會導(dǎo)致診斷出的結(jié)果與理論值誤差不降反升。

(3)通過仿真計算及懸臂梁結(jié)構(gòu)敲擊實驗表明采樣點數(shù)過多時阻尼識別精度反而降低，驗證了本文的理論分析。建議阻尼識別采樣點數(shù)不超過臨界值取值，為工程應(yīng)用中采樣點數(shù)的選取提供參考。