江秉華,蔡擇林,李必文,陳金陽

(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 黃石435002)

1.引言

2012年,?ztürk等[1]首先介紹了賦值Banach代數(shù)的錐度量空間這個概念,他們將賦值Banach代數(shù)替換Banach空間并稱之為賦值Banach代數(shù)的錐度量空間.后來在2013年LIU

等[2]在賦值Banach代數(shù)的錐度量空間中給出了幾類帶有廣義Lipschitz常數(shù)的壓縮映射的不動點(diǎn)定理,并證明了這些定理和其它度量空間中相應(yīng)結(jié)論的不等價性,具有很好的理論和現(xiàn)實(shí)意義.后來大量學(xué)者把注意力集中在賦值Banach代數(shù)的錐度量空間,獲得了很多的不動點(diǎn)結(jié)論[3?7].

Samet等[8]引入了α-可容許映射,建立了帶有α-可容許映射的廣義壓縮型映射的不動點(diǎn)定理,隨后Hussain[9]推廣了α-可容許映射并證明了相應(yīng)的不動點(diǎn)定理,Abdeljawad[10]建立了帶有α-可容許映射對的廣義壓縮型映射的一些不動點(diǎn)定理.Arshad等[11]建立了帶有三角型α-可容許映射的廣義壓縮型的公共不動點(diǎn)定理,更多結(jié)果可參考相關(guān)文獻(xiàn)[12?15].最近,黃華平等[16]建立了帶有向量版本的α-可容許映射的廣義壓縮型不動點(diǎn)定理.這些壓縮條件都很弱,使得其應(yīng)用性大大提高.

本文中,我們首先給出了向量版本的三角型α-可容許映射對的概念,而后建立了相應(yīng)的Banach型壓縮、Kannan型壓縮、Chatterjea型壓縮的公共不動點(diǎn)定理,因而大大改進(jìn)了先前的結(jié)果.其后,通過實(shí)例驗證了本文的結(jié)論.

定義1.1[2]設(shè)A為Banach代數(shù),θ和e分別為A的零元和單位元,P為A中的一個非空的閉子集,R+為非負(fù)實(shí)數(shù)集,若滿足：

則稱P為A中的一個錐,并稱滿足條件intP≠?的錐為體錐.這里intP表示P的全體內(nèi)點(diǎn)所組成的集合.

規(guī)定x ?y ?y?x∈P,x ?y ?y?x∈intP,熟知“?”,“?”是A中的一個偏序,稱“?”,“?”為錐P誘導(dǎo)的偏序關(guān)系.若存在常數(shù)K >0,使得當(dāng)θ ?x ?y時,‖x‖≤K‖y‖(x,y∈A),則錐P稱為正規(guī)錐,滿足前式的最小正常數(shù)K稱為P的正規(guī)常數(shù).

本文中總是假設(shè)A為一個Banach代數(shù),P是A中的一個體錐,“?”,“?”為錐P誘導(dǎo)的偏序關(guān)系.

定義1.2[2]設(shè)X為非空集合,A為Banach代數(shù),若映射d:X ×X→A滿足：

1)θ ?d(x,y)(?x,y∈X),d(x,y)=θ ?x=y;

2)d(x,y)=d(y,x)(?x,y∈X);

3)d(x,y)?d(x,z)+d(z,y)(?x,y,z∈X).

則稱d為X上的一個錐度量,同時稱(X,d)為賦值Banach代數(shù)的錐度量空間.

定義1.3[7]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的體錐,{un} ?A.若?c ?0,總存在一個自然數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有un ?c,則稱{un}為A的c-序列.

定義1.4[5]設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)的錐度量空間,{xn}?X,x∈X.

1) 若{d(xn,x)}為A中的一個c-序列,則稱{xn}收斂到x,記為xn→x(n→∞);

2) 若{d(xn,xm)}為A中的一個c-序列,則稱{xn}為X中的Cauchy 列;

3) 若X中的每一個Cauchy列都在X中收斂,則稱(X,d)是完備的.

定義1.5[8]設(shè)X為非空集,α:X×X→[0,∞)為映射,S:X→X是自映射.若?x,y∈X,α(x,y)≥1?α(Sx,Sy)≥1,則稱S是α-可容許映射.

定義1.6[10]設(shè)X為非空集,α:X × X→[0,∞)為映射.S,T:X→X是自映射,若x,y∈X,α(x,y)≥1?α(Sx,Ty)≥1且α(Tx,Sy)≥1,則稱(S,T)是X上的α-可容許映射對.

定義1.7[10]設(shè)X為非空集,α:X ×X→R為映射,(S,T)是X上的α-可容許映射對.若x,y,z∈X,α(x,z)≥1,α(z,y)≥1?α(x,y)≥1,則稱(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.

例1.1[11]設(shè)X=[0,∞),作映射S:X→X,α:X ×X→[0,∞),使得Sx=2x,

則S是α-可容許映射.

例1.2[11]設(shè)X=R,作映射S,T:X→X,α:X×X→[0,∞),使得Sx=2x,Tx=x2,

則(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.

引理1.1[3]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的錐,a,b∈A,c∈P,若a ?b,則ac ?bc.

引理1.2[3]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的錐,u,v,w∈P,u ?v ?w,則u ?w.

引理1.3[2]設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)A的錐度量空間,{xn} ?X,x,y∈X.若當(dāng)n→∞時,xn→x,xn→y,則x=y.

引理1.4[4]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的錐,k∈P,{un}為A中的c-序列,則{kun}也為A中的c-序列.

引理1.5[4]設(shè)A為帶有單位元e的Banach代數(shù),為x∈A的譜半徑.若ρ(x)<1,那么e?x可逆,且還有

引理1.6[4]設(shè)P為Banach代數(shù)A中的錐,k∈P,若ρ(k)<1,則{kn}是一個c-序列.

引理1.7[17]設(shè)A為帶有單位元e的Banach代數(shù),a,b∈A且a,b可交換,則ρ(a+b)≤ρ(a)+ρ(b),ρ(ab)≤ρ(a)ρ(b).

引理1.8[11]設(shè)S,T:X→X是三角型α-可容許映射對.假設(shè)存在x0∈X使得α(x0,Sx0)≥1.若x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1,(i=0,1,2...),則?m,n∈N,m>n有α(xn,xm)≥1.

2.主要定理及證明

定義2.1設(shè)X為非空集,A為帶有單位元e的Banach代數(shù),α:X×X→A,S,T:X→X都為映射,滿足下列條件：

1) 若x,y∈X,α(x,y)?e ?α(Sx,Ty)?e且α(Tx,Sy)?e;

2) 若x,y,z∈X,α(x,z)?e,α(z,y)?e ?α(x,y)?e.

則稱(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.

定義2.2設(shè)X為非空集,A為帶有單位元e的Banach代數(shù),α:X ×X→A為映射.若對于滿足條件α(xn,xn+1)?e(n∈N)的{xn} ?X,都存在子序列{xni},使得α(xni,x)?e,則稱X是α-弱正則的.

引理2.1設(shè)(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對,若存在點(diǎn)x0∈X,使得α(x0,Sx0)?e,定義序列x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1(i∈N),則?m,n∈N,m>n有α(xn,xm)?e成立.

證由x0∈X,有α(x0,Sx0)?e ?α(x0,x1)?e.因(S,T)是X上的三角型α- 可容許映射對,故α(Sx0,Tx1)?e ?α(x1,x2)?e ?α(Tx1,Sx2)?e ?α(x2,x3)?e,...,α(xn,xn+1)?e.再由α(xn,xn+1)?e,α(xn+1,xn+2)?e有α(xn,xn+2)?e.由α(xn,xn+2)?e,α(xn+2,xn+3)?e有α(xn,xn+3)?e....由α(xn,xm?1)?e,α(xm?1,xm)?e,即得α(xn,xm)?e.所以對于?m,n∈N,m>n有α(xn,xm)?e成立.

引理2.2設(shè)(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對,若存在點(diǎn)x0∈X,使得α(Sx0,x0)?e,定義序列x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1(i∈N),則?m,n∈N,m

證類似于引理2.1的證明,即可.

定理2.1設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)A的完備錐度量空間,且A有單位元e.設(shè)P為A中的體錐,α:X ×X→A為映射,(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.如果

且滿足下列條件:

1) 存在點(diǎn)x0∈X,使得α(x0,Sx0)?e且α(Sx0,x0)?e;

2)S和T是連續(xù)的或X是α-弱正則的,其中k∈P為廣義Lipschitz 常數(shù),且ρ(k)<1,則S,T在X中有公共不動點(diǎn).

證設(shè)x0∈X,取x1∈X,使得x1=Sx0,取x2∈X,使得x2=Tx1.連續(xù)這個過程,可以構(gòu)造序列{xn}?X,使得

由假設(shè)條件,利用引理2.1 有α(x2n,x2n+1)?e.由引理1.1 及式(1) 有

再由假設(shè)條件,利用引理2.2 有α(x2n+2,x2n+1)?e.由引理1.1及式(1)有

由式(2)和式(3)有

于是

因此?m,n∈N,m>n,由引理1.5有

由于ρ(k)<1,由引理1.4 和引理1.6知(e?k)?1knd(x0,x1)是一個c序列.又由引理1.2和式(4)可知d(xn,xm)也是一個c序列,所以{xn}為X中Cauchy列.由于(X,d)的完備性,因此存在x∈X,使得xn→x(n→∞).

如果S,T是連續(xù)的,那么

由引理1.3可得Sx=x,Tx=x,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

如果X是α-弱正則的,則由假設(shè)條件及引理2.1,存在{xni} ?{xn},使得α(xni,x)?e.現(xiàn)在通過式(1) 有

因為{d(x2ni,x)}為c-序列,由引理1.4知{kd(x2ni,x)}也為c-序列.又由引理1.2 知d(x2ni+1,Tx)亦為c序列,從而x2ni+1→Tx(i→∞).再由引理1.3得到Tx=x.類似地,可得Sx=x,因此x=Sx=Tx,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

定理2.2設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)A的完備錐度量空間,且A有單位元e.設(shè)P為A中的體錐,α:X ×X→A為映射,(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.如果

且滿足下列條件:

1) 存在點(diǎn)x0∈X,使得α(x0,Sx0)?e且α(Sx0,x0)?e;

2)S和T是連續(xù)的或X是α-弱正則的,

其中k∈P為廣義Lipschitz常數(shù),且ρ(k)<,則S,T在X中有公共不動點(diǎn).

證設(shè)x0∈X,作點(diǎn)列{xn}?X,適合

利用條件α(x0,Sx0)?e和引理2.1可得α(x2n,x2n+1)?e,再由條件(5)有

從而

由于ρ(k)<,由引理1.5可得e?k可逆,因而有

令h=(e?k)?1k,注意到ρ(k)<,由引理1.5和引理1.7可得

所以

類似地,有

由式(6)-(7)有

于是

由定理2.1的證明過程知,存在x∈X,使得xn→x(n→∞).

如果S,T是連續(xù)的,那么

由引理1.3可得Sx=x,Tx=x,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

如果X是α-弱正則的,則由引理2.1及假設(shè)條件,存在{xni}?{xn},使得α(x2ni,x)?e.現(xiàn)在通過式(5)有

進(jìn)而有

注意到(e?k)是可逆的,那么有

因為d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)為c-序列,由引理1.4 知(e?k)?1k[d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)]也為c-序列,又由引理2 知d(x2ni+1,Tx)亦為c序列,從而x2ni+1→Tx(i→∞).再由引理1.3得到Tx=x.類似地,可得Sx=x,因此x=Sx=Tx,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

定理2.3設(shè)(X,d)為賦值Banach代數(shù)A的完備錐度量空間,且A有單位元e.設(shè)P為A中的體錐,α:X ×X→A為映射,(S,T)是X上的三角型α-可容許映射對.如果

且滿足下列條件

1) 存在點(diǎn)x0∈X,使得α(x0,Sx0)?e且α(Sx0,x0)?e;

2)S和T是連續(xù)的或X是α-弱正則的,

其中k∈P為廣義Lipschitz常數(shù),且ρ(k)<,則S,T在X中有公共不動點(diǎn).

證設(shè)x0∈X,作點(diǎn)列{xn}?X,適合

利用條件α(x0,Sx0)?e和引理2.1可得α(x2n,x2n+1)?e.再由條件(8)有

從而

類似地,可得

因此

由定理2.2 的證明過程知,存在x∈X,使得xn→x(n→∞).

若S,T是連續(xù)的,則

由引理1.3可得Sx=x,Tx=x,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

如果X是α-弱正則的,則由引理2.1及假設(shè)條件,存在{xni}?{xn},使得α(x2ni,x)?e.現(xiàn)在通過式(8)有

進(jìn)而有

注意到(e?k)是可逆的,那么有

因為d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)為c-序列,由引理1.4 知(e?k)?1k[d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)]也為c-序列,又由引理1.2知d(x2ni+1,Tx)亦為c序列,從而x2ni+1→Tx(i→∞).再由引理1.3得到Tx=x.類似地,可得Sx=x,因此x=Sx=Tx,即x是S,T的一個公共不動點(diǎn).

注1定理2.1-2.3分別改進(jìn)了文[2]及文[7]的定理2.1-2.3和定理3.1-3.3的,去掉了文[2]中定理的正規(guī)性條件,本文的壓縮條件比文[2]及文[9]中的那些定理的壓縮條件要寬松得多.

注2在本文定理2.1-2.3中分別假設(shè)S=T即可得到文[16]中的定理1-3.