葛楠楠,任曉靜

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安710127)

1.引言

非線性演化方程及其精確解在物理、自然科學(xué)等領(lǐng)域有著極其重要的作用.在過去的幾十年里,數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域在該方面取得了極大的進(jìn)步.我們知道,對稱群理論和Painlevé分析理論是發(fā)現(xiàn)和解決非線性演化方程的兩大重要方法.在可積系統(tǒng)中,目前獲取非局域?qū)ΨQ的方法主要有遞推算子法、逆遞推算子法、Darboux 變換法、B?cklund變換法、截斷的Painlevé分析方法、M?bious變換法等[1?4].許多方程的相互作用解可以由非局域?qū)ΨQ得到.最近,樓森岳教授發(fā)現(xiàn)在做非局域?qū)ΨQ的Painlevé截斷展開時發(fā)現(xiàn),奇異流形的留數(shù)是一個非局域?qū)ΨQ,稱之為留數(shù)對稱.而且,樓森岳教授通過Painlevé截斷展開方法提出了相容的Riccati展式方法(CRE),該方法可以用來證明方程的CRE可解性,并根據(jù)此性質(zhì)構(gòu)造方程的新的相互作用解.盡管并不是所有的可積系統(tǒng)都是CRE 可解的,但是所有的CRE 可解方程都是可積的.CRE方法可以用于求解Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程、sine-Gordon方程、Korteweg-de Vries(KdV)方程、非線性Schr?dinger 方程等[5?17].

本文主要研究(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程

的非局域留數(shù)對稱和CRE可解性及CTE可解性,并根據(jù)此性質(zhì)構(gòu)造(2+1)維KP方程的新的相互作用解.

2.非局域留數(shù)對稱及其局域化

(2+1)維KP方程的Painlevé截斷展開式可表示為如下的形式:

則

同時?滿足下面的Schwarzian形式:

Schwarzian形式在下面的M?bious變換

下保持不變,即方程(2.4)容許三個對稱σ?=d1,σ?=d2?,σ?=d3?2,其中d1,d2,d3是任意常數(shù).將表達(dá)式(2.1)代入方程(1.1)我們將得到下面的B?cklund變換定理.

定理1(B?cklund變換定理) 如果?滿足方程(2.4),則

是方程(1.1)關(guān)于?和解u間的一個B?cklund變換,當(dāng)?和u滿足B?cklund變換(2.5)時,(2+1)維KP方程(1.1)有如下的留數(shù)對稱

證將方程(2.5),(2.6)代入下面的表達(dá)式中

利用表達(dá)式(2.4)可以驗證表達(dá)式(2.7)兩端恒成立,而表達(dá)式(2.7)正好是方程(1.1)的對稱方程,因此定理1得證.

由于非局域?qū)ΨQ不能直接進(jìn)行對稱約化,因此需要將非局域?qū)ΨQ局域化.為了尋求非局域留數(shù)對稱的有限對稱形式,我們需要解決下面的初值問題:

其中ε是群參數(shù).受到函數(shù)(ε)及其導(dǎo)數(shù)的干擾,我們很難去解決初值問題(2.8),因此我們需要去延拓原方程使得非局域留數(shù)對稱被轉(zhuǎn)化為延拓的Lie點(diǎn)對稱.通過引入新的變量g和h,利用表達(dá)式

方程(1.1)的非局域留數(shù)對稱可被延拓為如下的Lie點(diǎn)對稱:

Lie點(diǎn)對稱的向量場表示如下:

相應(yīng)的初值問題(2.8)變成如下的初值問題

解上面的初值問題我們很容易得到下面的對稱群變換定理.

定理2若{u,g,h,?}是延拓系統(tǒng)(1.1),(2.4)和(2.9)的解,則也是他們的解,其中

注1通過定理2可知,從截斷的Painlevé表達(dá)式得出的留數(shù)對稱σu=2?xx正好是群(2.13)的無窮小形式.因為奇異流形系統(tǒng)(1.1),(2.4)和(2.9) 在變換

下是保持不變的,因此上面的群變換實際上等價于將表達(dá)式(2.2)代入(2.1)后的截斷Painlevé展開式.

3.CRE可解和新的精確解

根據(jù)CRE方法,方程(1.1)有如下的截斷展開形式:

其中ω=ω(x,y,t),R(ω)是Riccati方程

的解,a0,a1,a2是任意常數(shù),γ=3.將表達(dá)式(3.1)和(3.2)代入方程(1.1),令R(ω)的各次冪前面的系數(shù)為零,可解出

同時函數(shù)ω滿足下面的方程

其中

根據(jù)CRE可解的定義可知,(2+1)維KP方程是CRE可解的.我們知道,當(dāng)a0=1,a1=0,a2=?1時Riccati方程(3.2)有一個特解

此時,我們稱CRE可解為CTE可解.顯然,一個CRE可解系統(tǒng)一定是CTE可解的,反之亦然.此時,截斷展開式(3.1)變?yōu)?/p>

其中u0,u1,u2和ω由式(3.3)和(3.4)確定.因此有

此時函數(shù)ω滿足下面的方程

其中

我們將得到如下的CTE可解定理.

定理3當(dāng)a0=1,a1=0,a2=?1時,(2+1)維KP方程是CTE可解的,相容的tanh展式如下

方程(1.1)的單孤子解是(3.9)式的直線解,由于(2+1)維KP方程(1.1)的CRE及CTE可解性,根據(jù)文[3],關(guān)于ω的方程(3.9)的解刻畫了方程(1.1)孤立子和其他非線性激發(fā)模式的相互作用解,其一般形式為

把(3.12)代入(3.9)得到滿足下面的橢圓函數(shù)方程

其中

則(2+1)維KP方程有如下形式的解

接下來我們將討論兩種特殊類型的相互作用解.

例1顯然,方程(3.13)的一般解可以表示為雅可比橢圓函數(shù).我們?nèi)ˇ貫槿缦绿厥庑问降难趴杀葯E圓函數(shù)

作為方程(3.9) 的解,表達(dá)式(3.15)刻畫了方程(1.1)的孤立子與橢圓周期波的相互作用解,其中sn(q,m)為一般的雅克比橢圓sine 函數(shù),Eπ是第三類不完全積分.把(3.16)代入(3.11),利用符號計算軟件maple,我們得到方程(1.1)的孤立子與橢圓周期波的相互作用解

其中{k1,l1,p1,k2,l2,m,n}為任意常數(shù),圖(a1)描述的是當(dāng)t=0時的方程的孤立子與橢圓周期波之間的相互作用解;圖(a2)描述的是當(dāng)x=0,y=0時u的平面周期波結(jié)構(gòu).其中參數(shù)選擇選擇如下:

圖(b1)描述的是當(dāng)當(dāng)t=0時的方程的孤立子與橢圓周期波之間的相互作用解;圖(b2)描述的是當(dāng)x=0,y=0時u的平面周期波結(jié)構(gòu).其中參數(shù)選擇選擇如下:

圖(a1)

圖(a2)

圖(b1)

圖(b2)

觀察這些相互作用解的圖形可以發(fā)現(xiàn),在t=0時,對于不同的參數(shù),方程的相互作用解不同,這些解具有多個不在同一平面上的波峰和波谷,且這些波峰和波谷的凹陷程度不同.

例2取W(X)=arctanh[sn(mX,n)],按照與例1類似的步驟可得方程(1.1)的相互作用解

其中{k1,l1,p1,l2,p2,m}為任意常數(shù),

圖(c1)描述的是當(dāng)t=0時方程(1.1)的孤立波與橢圓周期波間的相互作用解;圖(c2)描述的是當(dāng)x=0,y=0時u的平面周期波結(jié)構(gòu).其中參數(shù)選擇選擇如下:

圖(c2)

4.結(jié)束語

運(yùn)用Painlevé截斷展開方法,我們可以獲得(2+1)維KP方程的非局域留數(shù)對稱和B?cklund變換定理.接著,我們將非局域留數(shù)對稱局域化為(2+1)維KP方程的Lie點(diǎn)對稱.利用Lie的第一基本定理研究了封閉系統(tǒng)的有限變換.由于(2+1)維KP方程具有CRE可解性,因此,CRE的一個特殊形式CTE方法被用于(2+1)維KP方程的求解.借助于CTE方法我們得到了(2+1)維KP方程的新的相互作用解,為了更好的研究解的性質(zhì),通過選取適當(dāng)?shù)膮?shù),畫出了上述解相應(yīng)的圖形.通過解的圖形可以很好的描述(2+1)維KP 方程的相互作用解以及波峰、波谷的形狀.