馬海云,呂 文

(煙臺大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 山東 煙臺 264005)

微分方程作為描述物體的隨機動態(tài)模型已被廣泛應(yīng)用于化學(xué)、物理、生物工程和金融等多個領(lǐng)域. 例如, 通過建立標準維納過程, 以此為特征來描述隨機環(huán)境波動的影響. 基于動態(tài)建模的發(fā)展, 并將環(huán)境波動方面納入微分方程所描述的數(shù)學(xué)模型中, 將經(jīng)典的數(shù)學(xué)建模方法與隨機模型相結(jié)合, 已被用于股票價格的隨機動態(tài)模型. 而且隨著科學(xué)的發(fā)展, 我們對隨機分數(shù)階微分方程有了越來越深的認識. 分數(shù)階微分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程, 在電極電介質(zhì)極化[1]、 電路[2]、電磁波[3]等領(lǐng)域中有很重要的應(yīng)用. 在此背景下, 文獻[4]通過引入在線性無關(guān)時間尺度下運行的動態(tài)過程的概念, 用隨機微分方程組描述了動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型, 研究了形如

dx=f(t,x)dt+g1(x,t)dB(t)+

(1)

的隨機分數(shù)階微分方程解的存在唯一性問題, 并提出了求解多時間尺度下線性和非線性標量隨機微分方程的閉式解的方法, 最后將結(jié)果應(yīng)用于多時間尺度下種群生態(tài)和流行病過程的研究.

另一方面由布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程被廣泛用于描述具有隨機擾動的系統(tǒng). 但在對工程的實際應(yīng)用中, 存在著某些局限性. 例如, 在具有功率噪聲濾波器的電路系統(tǒng)中, 用靜止過程來描述隨機擾動對其他電元素的最終影響比用白噪聲來描述更加合理. 在此背景下, 文獻[5]研究了形如

dx=f(x,t)dt+g(x,t)ξ(t)dt,x(t0)=x0(2)

的隨機非線性系統(tǒng), 其中ξ(t)是一個二階矩過程. 在系數(shù)分別滿足Lipschitz條件和局部Lipschitz條件下給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理, 同時給出了噪聲到狀態(tài)p階矩穩(wěn)定性和噪聲到狀態(tài)依概率穩(wěn)定性的概念, 并研究了系統(tǒng)的漸進增益特性. 此外, 文獻[6]研究了形如

dx(t)=fσ(x(t),t)dt+

gσ(x(t),t)ξ(t)dt,x(t0)=x0

(3)

的隨機切換系統(tǒng), 給出了噪聲到狀態(tài)的指數(shù)穩(wěn)定性.文獻[7]則利用Lynapunov函數(shù)給出了隨機切換系統(tǒng)全局解的存在性和噪聲到狀態(tài)穩(wěn)定性的判據(jù).

受以上文獻的啟發(fā), 本文研究形如

dx=f(x,t)dt+g1(x,t)ξ(t)dt+

g2(x,t)(dt)α,x(t0)=x0

(4)

的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng), 在Lipschitz條件和線性增長條件下, 給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理.

本文第1節(jié)中引入隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng)的若干基本概念. 第2節(jié)中, 將在對過程ξ(t)的兩類假設(shè)下分別給出二階矩過程驅(qū)動的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng)解的存在唯一性定理.

1 基礎(chǔ)知識

首先給出分數(shù)階積、微分運算的一些基本概念, 詳細內(nèi)容參見文獻[8-9].

定義1(Riemann-Liouville分數(shù)階積分) 設(shè)0<α<1 且f∈L1[a,b], 其中L1[a,b]=L1[[a,b],n]={y|y:[a,b]→n且y是勒貝格可積的}.則對所有t∈(a,b), Riemann-Liouville 左、右α階分數(shù)階積分分別定義為

定義2(Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)) 設(shè)0<α<1,f是定義在區(qū)間[a,b] 上的絕對連續(xù)函數(shù), 則對所有t∈(a,b), Riemann-Liouville 左、右α階分數(shù)階導(dǎo)數(shù)分別定義為

定義3(多時間尺度積分) 對于p∈,p>1, 設(shè){T1,T2,…,Tp}是一組線性無關(guān)的時間尺度. 設(shè)f:[a,b)×p-1→n是一個連續(xù)函數(shù), 定義f(t) 為f(t)=f(T1(t),T2(t),…,Tp(t)),復(fù)合函數(shù)f在區(qū)間 [t0,t]?(a,b) 上的多時間尺度積分定義為p積分與時間尺度T1,T2,…,Tp的總和, 用If表示, 即

定義4(多時間尺度微分) 設(shè)f是多時間尺度積分中定義的函數(shù), 復(fù)合函數(shù)f的多時間尺度微分定義為f相對于時間尺度T1(t),T2(t),…,Tp(t)的偏微分的和, 用df表示, 即

其中(djf)(t)=f(T1(t),…,Tj-1(t),Tj(t+Δt),Tj+1(t),…,Tp(t))-f(T1(t),…,Tj-1(t),Tj(t),Tj+1(t),…,Tp(t)),j=1,2,…,p.對于小的Δt, Δt≈dt, 且(djf)(t)對應(yīng)于定義3中積分中的(Ijf)(t).

引理1[10]設(shè)f(t) 是一個連續(xù)函數(shù), 則分數(shù)階微分方程:

dx=f(t)(dt)α,t≥0,x(0)=x0,0<α≤1

的解為

給定一個完備的概率空間(Ω,F,Ft,P), 信息族Ft滿足通常條件, 即, 它是遞增和右連續(xù)的, 并且F0包含所有P-零集.對任意給定的T>t0≥0, 考慮由以下方程描述的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng)

dx=f(x,t)dt+g1(x,t)ξ(t)dt+

g2(x,t)(dt)α,x(t0)=x0,

(5)

(A1): |f(x,t)-f(y,t)|+|g1(x,t)-g1(y,t)|+|g2(x,t)-g2(y,t)|≤ L|x-y|.

(A2): |f(x,t)|2+|g1(x,t)|2+|g2(x,t)|2≤ K(1+|x|2).

由引理1知, 方程(5)可以寫成以下等價形式

(6)

定義5 稱隨機過程x(t) 是系統(tǒng)(6)的一個解, 如果x(t) 滿足:

(1)對所有的t∈ [t0,T], x(t) 是連續(xù)的;

(2)x(t) 為 Ft-適應(yīng)的;

(3)對所有 t∈[t0,T], 方程(6)成立.

2 解的存在唯一性

在本節(jié)中, 將在對過程ξ(t)的兩類假設(shè)下分別給出系統(tǒng)(6)的解的存在唯一性. 首先給出以下假設(shè).

(A3): 過程ξ(t) 是Ft-適應(yīng)且分段連續(xù)的, 存在參數(shù)c0,d0>0, 使得對?t≥ t0, 有

E|ξ(t)|2≤d0ec0t.

定理1 若假設(shè)(A1)、(A2)和(A3)成立, 則系統(tǒng)(6)在[t0,T] 上存在唯一解x(t).

證明存在性.設(shè)x(0)(t)=x0, 令

由初等不等式(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)和施瓦茲不等式得

E|x(1)(t)-x(0)(t)|2=

(7)

進一步地, 令

由施瓦茲不等式及(A1), 得

E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2≤

g2(x(k-1)(s),s))(t-s)α-1ds|2≤

f(x(k-1)(s),s)|2ds+

g1(x(k-1)(s),s)|2ds+

g2(x(k-1)(s),s)|2ds≤

(8)

由式(7)得

E|x(2)(t)-x(1)(t)|2≤

由歸納法, 得

E|x(k+1)(t)-x(k)(t)|2≤

由式(8)的證明, 不難看出

從而

即{x(k)(t)} 在[t0,T]上是均方收斂序列.另一方面

由Borel-Cantelli引理和切比雪夫不等式得, 存在x(t), 使得

從而有

存在性得證.

由施瓦茲不等式, 得

令u(t)=E|xt-yt|2, 則由上面不等式得函數(shù)u滿足

其中,

u(0)=E|x0-y0|2,

由Gronwall不等式, 得

u(t)≤u0eht.

若x0=y0, 則u0=0 且對于所有t≥t0, 有u(t)=0. 從而P{|xt-yt|=0,t∈Q∩[t0,T]}=1.

由xt,yt的連續(xù)性得

P{|xt-yt|=0,t∈ [t0,T]}=1.

證畢.

接下來, 考慮當ξ(t)滿足一個比(A3)更一般的條件時系統(tǒng)(6)解的存在唯一性.

(A3′): 過程ξ(t) 是Ft-適應(yīng)且分段連續(xù)的, 滿足

定理2 若假設(shè)(A1)、(A2)和(A3′)成立,則系統(tǒng)(6)在[t0,T] 上有唯一解x(t).

證明存在性. 設(shè)x(0)(t)=x0, 對k≥0, 令

由(A2)知, 存在一個常數(shù)d>0, 使得|f(0,t)|+|g1(0,t)|+|g2(0,t)|

|x(1)(t)-x0|=

|x(k+1)(t)-x(k)(t)|≤

由于x(t) 在t∈[t0,T] 上是連續(xù)的,ξ(t) 是 Ft-適應(yīng)的, 則 x(0)(t) 和x(1)(t) 是Ft-適應(yīng)的.由遞歸過程知x(k)(t) 是Ft-適應(yīng)的, 因此x(t)也是Ft-適應(yīng)的. 存在性得證.

這里ε是任意正數(shù).由Gronwall不等式, 得

證畢.

4 結(jié)束語

本文考慮了由二階矩過程驅(qū)動的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng), 在Lipschitz條件和線性增長條件下, 證明了二階矩過程驅(qū)動的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng)解的存在唯一性問題. 在接下來的研究中, 將考慮由二階矩過程驅(qū)動的隨機分數(shù)階非線性系統(tǒng)解的穩(wěn)定性問題.