孫恩慧，楊 威，汪 巍，李 博，郭敬民

（中海石油（中國）有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津 300452）

水平井的產(chǎn)能是確定水平井合理工作制度的重要參數(shù)，目前，水平井廣泛用來開采底水油藏，如何預(yù)測底水油藏水平井產(chǎn)能顯得格外重要。很多學(xué)者提出了水平井的產(chǎn)能預(yù)測公式[1-14]，主要基于單相流體地下穩(wěn)定滲流理論的基礎(chǔ)之上，對于底水油藏，當(dāng)油井產(chǎn)水后，滲流出現(xiàn)了油水兩相流動，產(chǎn)水對水平井產(chǎn)能產(chǎn)生很大的影響，該因素的影響不能忽略。一些學(xué)者研究了產(chǎn)水對水平井產(chǎn)能的影響[15-20]，主要依靠油水相對滲透率比與含水飽和度指數(shù)式的線性關(guān)系，結(jié)合Darcy 方程，得到預(yù)測底水油藏水平井產(chǎn)能公式，但生產(chǎn)進入高含水期開發(fā)階段，油水相對滲透率比與含水飽和度指數(shù)式不再呈線性關(guān)系，因此，推導(dǎo)的水平井產(chǎn)量公式不合適預(yù)測高含水期的水平井產(chǎn)能。

本文以水平井油水兩相的滲流原理為基礎(chǔ)，把水平井滲流區(qū)域分為水平平面和垂直平面2 個區(qū)域，運用保角變換原理，結(jié)合高含水期新的油水相滲表征關(guān)系，獲得高含水期下油水兩相水平井產(chǎn)能公式，可為水平井的產(chǎn)能預(yù)測及動態(tài)分析提供新的研究思路。

1 底水油藏水平井油水兩相產(chǎn)能公式的推導(dǎo)及求解

1.1 底水油藏水平井油水兩相產(chǎn)能公式的推導(dǎo)

假設(shè)一口水平井位于均質(zhì)、等厚的底水油藏中，流動符合達(dá)西定律，油水互不相溶，忽略重力及毛管力的影響。

文獻[16，17]中將水平井的滲流區(qū)域分成兩個區(qū)域：（1）流體在水平平面上的橢圓滲流；（2）流體在垂直平面上的徑向滲流。再利用水電模擬原理，獲得油水兩相水平井產(chǎn)能公式。

1.1.1 水平平面滲流區(qū)域 假設(shè)滲流橢圓長半軸為a，短半軸為b，水平井長度為L，引入儒柯夫斯基變換，把長半軸為a，短半軸為b 的橢圓形區(qū)域轉(zhuǎn)化為半徑為的圓形區(qū)域，將線段轉(zhuǎn)化為單位圓周（見圖1）。

圖1 水平平面保角變換關(guān)系Fig.1 Horizontal plane conformal transformation figure

根據(jù)文獻[16]，得到水平井在水平平面的產(chǎn)油量為：

式中：Qoh-水平井在水平平面的產(chǎn)油量，m3/s；fw-含水率，%；Kh-儲層水平滲透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地層壓力和井底流壓下的油水兩相擬壓力函數(shù)：ψi=；pi-地層壓力，MPa；pwf-井底流壓，MPa；Kro-油相滲透率；Krw-水相滲透率；Bo-油的體積系數(shù)；Bw-水的體積系數(shù)；μo-原油的黏度，mPa·s；μw-水的黏度，mPa·s；a-長半軸的長度，其中；reh-泄油半徑，m。

圖2 垂直平面保角變換關(guān)系Fig.2 Vertical plane conformal transformation figure

根據(jù)文獻[16]，水平井在垂直平面的產(chǎn)油量為：

式中：Qov-水平井在垂直平面的產(chǎn)油量，m3/s；fw-含水率，%；Kv-儲層垂直滲透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地層壓力和井底流壓下的油水兩相擬壓力函數(shù)；L-水平井長度，m；rw-井筒半徑，m。

應(yīng)用電模擬概念，得到油水兩相條件下水平井的產(chǎn)油量為：

轉(zhuǎn)為礦場實際單位：

式中:Qo-水平井產(chǎn)油量，m3/d；β-儲層各向異性系數(shù)，β=。

公式（4）即為底水油藏油水兩相的水平井產(chǎn)能公式。

1.2 產(chǎn)能公式的求解

由式（4）看出，要計算油水兩相水平井產(chǎn)能公式，關(guān)鍵是擬壓力函數(shù)ψi和ψwf的求解。由ψi和ψwf的計算公式dp 可知，假設(shè)不考慮Bo（P）的變化，水的各參數(shù)變化很小，可以忽略，此時只需要知道Kro、Krw與壓力P 的關(guān)系式，便可通過數(shù)值積分得到ψi和ψwf。

根據(jù)理論達(dá)西穩(wěn)態(tài)公式有：

水平井進入高含水期，含水飽和度大于0.8 后，傳統(tǒng)的油水相對滲透率比與含水飽和度半對數(shù)曲線不再呈線性關(guān)系（見圖3）。

圖3 特高含水期相對滲透率比與含水飽和度關(guān)系Fig.3 The relation between relative permeability ratio and water saturation in the high water cut stage

筆者對傳統(tǒng)的公式修正，定義新的油水相滲表征的公式如下：

式中：Kro-油相的相對滲透率；Krw-水相的相對滲透率；a、b、c-常數(shù)。

針對公式（6），令：

根據(jù)最小二乘法原理，當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)a、b、c 能使R 最小，即系數(shù)使數(shù)據(jù)點的誤差平方和最小時，它們的值為原方程的解。根據(jù)這個原理，可建立如下偏微分方程組：

根據(jù)公式（9）求出a、b、c 的值。

把公式（6）代入式（5），得到：

擬壓力函數(shù)ψi和ψwf求解步驟如下：（1）根據(jù)式（10），μw、a、b、c、fw是常量，當(dāng)壓力高于飽和壓力時，原油黏度μo與壓力P 呈線性關(guān)系，進而獲得Sw關(guān)于壓力P 的函數(shù)；（2）根據(jù)油藏相滲曲線，油水兩相的相對滲透率Kro、Krw可以表示為含水飽和度Sw的函數(shù)；（3）結(jié)合（1）和（2）的計算結(jié)果，Kro、Krw表示為壓力P 的函數(shù)；（4）把Kro（P）、Krw（P）代入擬壓力ψi和ψwf的表達(dá)式，通過數(shù)值積分求出擬壓力函數(shù)ψi和ψwf。上述求解步驟如下關(guān)系鏈：P→μo（P）→Sw（P）→Kro（P）、Krw（P）→ψ（P）。

2 實際計算與分析

渤海地區(qū)BZ 油藏為北東走向背斜構(gòu)造，構(gòu)造幅度低，圈閉幅度30 m，油藏儲層埋藏淺，海拔深度-950 m～-940 m，巖性較疏松，沉積為曲流河沉積，儲層儲集空間以原生擴大粒間孔為主，油藏類型為典型的底水油藏，探明地質(zhì)儲量為2 416.84×104m3，油藏平均厚度為10 m，儲層平均孔隙度32.7 %，儲層平均滲透率2 600 mD，為高孔高滲儲層，原始地層壓力Pi=9.4 MPa，飽和壓力Pb=4.7 MPa，水體能量充足，油藏各向異性系數(shù)β=3，原油體積系數(shù)Bo=1.058，井筒半徑rw=0.1 m，泄油半徑reh=500 m，水的黏度μw=0.5 mPa·s，水的體積系數(shù)Bw=1.0，油藏采用水平井生產(chǎn)。BZ 油藏于2008 年投產(chǎn)，目前，該油藏共有生產(chǎn)井5 口，綜合含水93 %。通過高壓物性實驗數(shù)據(jù)，得到不同壓力下BZ 油藏的黏度數(shù)據(jù)（見圖4）。

圖4 BZ 油藏的μo與P 的關(guān)系曲線Fig.4 Relative curve of μoand P of BZ reservoir

從圖4 中可知，BZ 油藏的黏度μo與壓力P 呈線性關(guān)系，即μo=8.22P+72.76。

BZ 油藏相對滲透率曲線（見圖5）。由圖5 可知，采用二次多項式擬合，相關(guān)系數(shù)為0.999，準(zhǔn)確性較高，分別得到0.274Sw+0.024。

根據(jù)公式（10），根據(jù)BZ 油藏相對滲透率散點回歸出a=-43.6，b=-77.6，c=115.8，采用新的油水相滲表征公式（見圖6），此時擬合程度高，為0.976。

把μo的關(guān)系式以及a、b、c 的值代入公式（10），得到Sw（P）關(guān)于P 的函數(shù)關(guān)系，即：

把Sw（P）代入Kro、Krw關(guān)系式中，可分別得到公式如下：

將上式Kro（P）、Krw（P）以及μo（P）代入公式（4）中，得到如下公式：

上述公式為計算底水油藏油水兩相水平井產(chǎn)能公式，通過數(shù)值積分方法，可對公式求解。

利用筆者推導(dǎo)的公式對BZ 油藏5 口水平井產(chǎn)能計算，與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對比（見表1）。由表1 可以看出，本文公式計算出5 口水平井的產(chǎn)能與實際的產(chǎn)量相對誤差最小，僅為6.2 %，利用Borisov 公式、Joshi 公式、Renard-Dupuy 公式、Giger 公式、陳元千公式以及趙春森公式計算出的產(chǎn)量與實際產(chǎn)量的相對誤差為-29 %～-9.1 %，這是因為水平井產(chǎn)水后，滲流由單相滲流轉(zhuǎn)為油水兩相滲流，含水對水平井產(chǎn)能影響很大，而常規(guī)水平井產(chǎn)能公式?jīng)]有考慮產(chǎn)水對水平井產(chǎn)能的影響，趙春森公式考慮含水對水平井產(chǎn)能影響很大，但采用傳統(tǒng)的油水相滲關(guān)系，不適用高含水期水平井產(chǎn)能的預(yù)測，本文考慮到水平井進入高含水期，隨著含水飽和度的增加，油相由連續(xù)相變非連續(xù)相，導(dǎo)致油水相對滲流能力會發(fā)生較大變化，導(dǎo)致此時含水對水平井產(chǎn)能影響很大。因此，本文公式在計算高含水期水平井油水兩相產(chǎn)能預(yù)測方面具有較高的準(zhǔn)確性與實用性。

圖5 BZ 油藏的相對滲透率曲線Fig.5 Relative permeability curve of BZ reservoir

圖6 新的相滲表征曲線與傳統(tǒng)相滲表征曲線對比圖Fig.6 Comparison between the new permeability curve and the traditional permeability curve

表1 各種方法計算水平井產(chǎn)量的結(jié)果對比Tab.1 Comparison of productivity calculated

3 結(jié)論

（1）通過最小二乘法原理，得到高含水期下新的油水相滲表征公式，結(jié)合水平井產(chǎn)能預(yù)測公式，提出了一種預(yù)測高含水期水平井油水兩相產(chǎn)能公式的方法。

（2）通過實例分析，與常規(guī)的水平井產(chǎn)能公式計算結(jié)果相比，利用本文公式計算出結(jié)果與水平井實際產(chǎn)量的相對誤差最小，僅為6.2 %，對高含水期下水平井的產(chǎn)能預(yù)測具有一定的實用性。