陳文娟 孫貴艷 王子璇 姜廣峰

(北京化工大學(xué) 理學(xué)院， 北京 100029)

引 言

1 預(yù)備知識(shí)

在外代數(shù)E上定義一個(gè)K-線(xiàn)性映射?:Ep→Ep-1，且滿(mǎn)足?1=0,?ei=1(i=1,…,n),?(e1…ep)=

對(duì)于給定的超平面p元組S=(Hi1,…,Hip)=(i1,…,ip)，記eS=ei1…eip=ei1…ip,∩S=Hi1∩…∩Hip。若codim (∩S)=|S|，則稱(chēng)p元組S無(wú)關(guān)；若∩S≠Φ且codim (∩S)<|S|，則稱(chēng)p元組S相關(guān)；若p元組S=(H1,…,Hp)是極小相關(guān)的，則S={H1,…,Hp}為一個(gè)極小圈。

2 n-秩輪圖的2-adic Orlik- Solomon代數(shù)

設(shè)Cn為一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的圈，第n+1個(gè)頂點(diǎn)與Cn的每個(gè)頂點(diǎn)相連成n條邊，這樣形成的圖稱(chēng)為n-秩輪圖。在n-秩輪圖G中，G的邊數(shù)(即超平面的個(gè)數(shù))為2n，頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1，極小圈個(gè)數(shù)為n,其中極小圈的集合Cn={c1,c2,…,cn}，當(dāng)n=4、5時(shí)，n-秩輪圖如圖1所示。

圖1 4-秩輪圖和5-秩輪圖Fig.1 4-rank wheel graph and 5-rank wheel graph

證明：不妨設(shè)p=i,則有epq?eijk=±eijkq。在D4,1中，p有n種取法，q有2n-3種取法，而該n(2n-3)個(gè)向量在E4中基的序列各不相同，故有dim (D4,1)=n(2n-3)。引理1得證。

記

D′4,2={epq?eijk|eijk∈Cn,p,q∈[2n]{i,j,k},p,q在同一個(gè)極小圈中}

D″4,2={epq?eijk|eijk∈Cn,p,q∈[2n]{i,j,k},p,q不在同一個(gè)極小圈中}

D4,2={epq?eijk|eijk∈Cn,p,q∈[2n]{i,j,k}}

證明：首先，在D′4,2中，若p,q取自鄰圈，對(duì)于n-秩輪圖，任何一個(gè)極小圈都有2個(gè)鄰圈，則p,q有2n種取法。將n個(gè)圈c1,c2,…,cn兩兩分為n組，有G1={c1,c2},G2={c2,c3},…,Gn={cn,c1},其中第i組Gi={ci,ci+1}如圖2所示。

圖2 第i組Gi的圖示Fig.2 Graph of the group Gi

(1)

圖3 n-秩輪圖中的一個(gè)極小圈和一個(gè)非鄰圈Fig.3 A circuit and its non-adjacent circuit in a n-rank wheel graph

式(1)中劃線(xiàn)的分量可由D4,1中的元素線(xiàn)性表示，剩余的分量最多相差一個(gè)負(fù)號(hào)，故D′4,2中的向量在D4,1中是線(xiàn)性相關(guān)的，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量個(gè)數(shù)為n。

考慮5-秩輪圖，如圖4所示。

圖4 5-秩輪圖Fig.4 5-rank wheel graph

不妨取{i,j,k}∈{(1,2,6),(3,4,8)},p,q∈{(1,2,6),(3,4,8)}，則有

(2)

式(2)對(duì)應(yīng)的6×216矩陣描述如下。

第1行的第1列元素為1，第30列元素為-1，第86列元素為1，其余列元素全為0；

第2行的第5列元素為1，第41列元素為1，第97列元素為-1，其余列元素全為0；

第3行的第11列元素為1，第56列元素為1，第112列元素為-1，其余列元素全為0；

第4行的第1列元素為1，第5列元素為-1，第11列元素為1，其余列元素全為0；

第5行的第30列元素為1，第41列元素為1，第56列元素為-1，其余列元素全為0；

第6行的第86列元素為1，第97列元素為1，第112列元素為-1，其余列元素全為0。

經(jīng)計(jì)算，該矩陣的秩為5,且e26?e348=e34?e126-e38?e126+e48?e126-e12?e348+e16?e348，故該矩陣對(duì)應(yīng)的6個(gè)向量是線(xiàn)性相關(guān)的，極大無(wú)關(guān)組個(gè)數(shù)為5。則對(duì)任意{i,j,k},{p,q,r}∈Cn,p,q∈{(i,j,k),(p,q,r)},有

(3)

式(3)所表示的向量組的秩為5，且有

ejk?epqr=epq?eijk-epr?eijk+eqr?eijk-eij?epqr+eik?epqr

引理2得證。

①若p,q取自鄰圈邊，且epq?eijk=ejkpq-eikpq+eijpq的各個(gè)分量是唯一出現(xiàn)的,則整個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的；

②若p,q取自非鄰圈邊，且epq?eijk=ejkpq-eikpq+eijpq的3個(gè)分量中包含一個(gè)唯一的破圈，即整個(gè)向量都是唯一出現(xiàn)的，則整個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的；

③若p取自鄰圈邊，q取自非鄰圈邊，且epq?eijk=ejkpq-eikpq+eijpq,則總有一個(gè)分量是唯一出現(xiàn)的，故整個(gè)向量是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，即dim (D″4,2)=n(2n2-10n+13)。

引理3得證。

證明：在D4,2中，將p,q細(xì)分為p,q在同一個(gè)極小圈中和p,q不在同一個(gè)極小圈中兩種情況，則有

D4,2=span(D′4,2)∪span(D″4,2)

設(shè)α=span(D′4,2)∩span(D″4,2)，則有

即

由于在D′4,2中，ejkpq、eikpq、eijpq不會(huì)在D″4,2中出現(xiàn)，故λpqijk=0,α=0，從而有

引理4得證。

①p,q∈{i,j,k}時(shí)，epq?eijk=0；

②p∈{i,j,k}、q∈[2n]{i,j,k}時(shí)，結(jié)果見(jiàn)引理1；

③p,q∈[2n]{i,j,k}時(shí)，結(jié)果見(jiàn)引理2和引理3。

引理5得證。

定理1對(duì)于n-秩輪圖，有

定理1得證。

推論1對(duì)于n-秩輪圖，有

推論1得證。

3 一類(lèi)聚合物拓?fù)鋱D的第4個(gè)2-adic Orlik- Solomon代數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)