張 瀟，呂麗軍

(上海大學 精密儀器系，上海 200444)

引言

魚眼鏡頭的視場角一般可以達到180°甚至270°[1]，能同時獲取很大視場范圍的場景圖像。由于魚眼鏡頭系統(tǒng)大視場成像光束以很大斜入角照射在光學元件表面，偏離近軸成像，導致嚴重的像差。非球面光學元件可以有效地消除像差，提高成像質(zhì)量[2]。常用的確定非球面的方法是無像差法，但該方法為了實現(xiàn)穩(wěn)定的高精度測量，對人員要求和操作環(huán)境要求較高。利用三坐標測量儀獲得坐標，然后進行最小二乘曲面擬合[3]，從而降低了對人員和環(huán)境的要求，但計算量很大。研究如何選擇系統(tǒng)中哪個光學面為非球面及確定非球面面型是十分有意義的。

對于魚眼鏡頭光學系統(tǒng)，大視場物點發(fā)出的光束以很大的入射角度入射到前組負彎月形透鏡的表面，其成像具有平面對稱的特性。賽德爾像差理論不再適合此類系統(tǒng)的分析[4-8]。非球面的光路計算考慮通過迭代逼近真實光路情況[9]，缺陷在于很難提出一個適合于各種場合逼近精度的數(shù)值判據(jù)。目前，LU等應(yīng)用波像差的方法發(fā)展了平面對稱光學系統(tǒng)的像差理論[10]，并基于此理論發(fā)展了超大視場光學系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計方法，最近，進一步發(fā)展了適用于超大視場光學系統(tǒng)的六階波像差理論[11]，可對大孔徑魚眼鏡頭系統(tǒng)進行像差分析計算。本文在這些工作的基礎(chǔ)上，推導了二次圓錐曲面的面型系數(shù)，建立了五階像差的評價函數(shù)，針對一個全球面魚眼鏡頭，應(yīng)用六階波像差理論，分析各光學面的波像差分布以及它們隨非球面系數(shù)的變化趨勢，從而選定應(yīng)用非球面的光學表面，并使用自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法(ANRCGA)[12]對其進行優(yōu)化。

本文簡要介紹了六階波像差理論，推導了適用于該理論的面型系數(shù)公式，分析其與波像差的關(guān)系，并建立基于五階像差的評價函數(shù)，以便以數(shù)值方式評價優(yōu)化設(shè)計。提出了如何為魚眼鏡頭光學系統(tǒng)選擇合適的光學面為非球面的方法，對所提出的方法進行數(shù)值驗證，并對結(jié)果進行比較分析。

1 波像差理論

1.1 平面對稱光學系統(tǒng)的像差計算

對由g個光學面組成的平面對稱光學系統(tǒng)，系統(tǒng)的波像差是各光學面的波像差之和，即：

(1)

式中：W(k)、nk和wij0(k)分別表示第k個光學面的波像差、折射率和波像差系數(shù)；xk和yk表示光線入射在第k個光學面上的孔徑坐標。若將最后一個光學面上光線的孔徑坐標(xg,yg)作為參考坐標，上式也可寫成[11]：

(2)

式中：nk/g=nk/ng；Ak/g和gk/g分別為在第k和第g光學面之間x、y坐標的線性傳遞系數(shù)。

波像差理論研究超大視場光學系統(tǒng)時，在全視場范圍內(nèi)取多個視場物點，分別計算各視場物點的波像差，然后求和來反映光學系統(tǒng)在整個視場范圍的成像性能[10]。因此，對像差的貢獻占主導地位的波像差是球差波像差Wsph、彗差波像差Wcoma和場曲波像差Wcurv。其中場曲是通過光學面的出射波陣面和參考波陣面的幾何關(guān)系得出的[13]，計算公式如下：

Wsph=W400x4+W220x2y2+W040y4+W600x6+

W420x4y2+W240x2y4+W060y6

(3)

Wcoma=W300x3+W120xy2+W500x5+

W320x3y2+W140xy4

(4)

(5)

一般魚眼鏡頭后光組的光瞳尺寸比前光組的大很多，因此，Wsph和Wcoma的主要貢獻來自于后光組光學面。另外，大視場物點發(fā)出的光束以較大的斜入射角入射到前組光學面上，所以場曲的主要貢獻來自于前光組的光學面。

通過對波像差關(guān)于子午和弧矢方向分別求導，得到光線在像面上的五階像差(x′,y′)表達式為

(6)

式中dij0和hij0為像差系數(shù)[11]。

從上述表達式可以發(fā)現(xiàn)，波像差和像差都受到面型系數(shù)ci,j的影響，因此可以通過cij控制波像差，提高成像質(zhì)量。魚眼鏡頭光學系統(tǒng)的孔徑一般較大，參考文獻[10]所述四階精度不夠精確，還需推導適用于六階波像差理論的面型系數(shù)。

1.2 二次圓錐曲面的面型系數(shù)

圖1 主光線經(jīng)過二次圓錐曲面反射時坐標系統(tǒng)xyz的原點(主光線和光學面的交點)坐標Fig.1 Origin (intersection of chief ray and optical surface) coordinates of xyz coordinate system when chief ray is reflected by quadratic conical surface

如圖1所示，在以光學面和光軸的交點O′為坐標原點的坐標系x′y′z′，繞z′軸旋轉(zhuǎn)的二次圓錐曲面方程為

x′2+y′2=a1z′+a2z′2,a1=2R0

(7)

式中：R0是二次圓錐曲面在O′點處的曲率半徑；a2是二次圓錐曲面的非球面系數(shù)，當a2=-1時該曲面為球面，當a2≠-1時為非球面。

波像差理論中描述面型時采用以光線與光學面交點O為原點的坐標系xyz，因此將常規(guī)的二次圓錐曲面方程式(1)轉(zhuǎn)換到坐標系xyz中，x軸為原點O沿光學面的切線，y軸為原點O沿光學面的法線，y軸的斜率為tanθ。根據(jù)圖1所示，坐標系x′y′z′和坐標系xyz的轉(zhuǎn)化關(guān)系為

(8)

將(8)式帶入(7)式，并作泰勒級數(shù)展開，就可以得到適用于六階波像差理論的二次圓錐曲面方程：

z=c2,0x2+c0,2y2+c3.0x3+c1,2xy2+c4,0x4+

c0,4y4+c2,2x2y2+c5,0x5+c3,2x3y2+c1,4xy4+

c6,0x6+c4,2x4y2+c2,4x2y4+c0,6y6

(9)

式中ci,j為各階對應(yīng)的面型系數(shù)，具體表達式如下：

c2,0=-a21B3c0,2=-1Bc3,0=-4Aa21x?0B6c1,2=-4Ax?0B4c4,0=-a21(a21C2+16A2X?20)B9c0,4=-C3B5c2,2=-2(a21C2+8A2x?20)B7c5,0=-4Aa21x?0(3a21C2+16A2x?20)B12c1,4=-12AC2x?0B8c3,2=-8Ax?0(3a21C2+8A2x?20)B10c6,0=-2a21[a41C4+16A2x?20(3a21C2+8A2x?20)]B12c4,2=-2[3a41C4+32A2x?20(3a21C2+4A2x?20)]B13C2,4=-6C2(a21C2+16A2x?20)B11c0,6=-2C2B9

雖然波像差表達式中各項參數(shù)都受到面型系數(shù)ci,j的影響，但是每一個光學面的面型影響成像質(zhì)量的程度不一樣。從以上公式可知，ci,j受a1和非球面系數(shù)a2影響，a1=2R0，所以a2是影響ci,j的主要因素，通過a2改變ci,j，進而影響波像差。

2 利用非球面優(yōu)化魚眼鏡頭

2.1 評價函數(shù)的定義

為了對魚眼鏡頭光學系統(tǒng)進行數(shù)值評價，在視場范圍內(nèi)取k個視場物點，基于它們在像面上的像差點列圖分布，定義魚眼鏡頭光學系統(tǒng)的像差評價函數(shù)為

(10)

其中，

式中：εi表示不同視場角的權(quán)重因子；Wq和L分別為光束在最后光學面上沿子午(x)和弧矢(y)方向的投影長度；x′和y′為光線在像面上的像差，可由(6)式計算得到。(10)式中積分域采用橢圓是因為孔徑光闌一般采用圓形孔，但光束在子午和弧矢平面內(nèi)的焦點位置不一樣，從而造成光束截面一般呈橢圓形。

2.2 應(yīng)用非球面的優(yōu)化思路

利用非球面優(yōu)化魚眼鏡頭的基本思路是，找到系統(tǒng)中對成像質(zhì)量影響最大的光學面，利用非球面系數(shù)a2減小其波像差。對于一個光學系統(tǒng)來說，光學面的波像差越大，其各類光學參量對加工制造的精度要求越高[14]。因此選擇波像差最大的光學面為非球面，在減小波像差、提高成像質(zhì)量的同時，也有助于增大非球面的可允許公差范圍，降低非球面的制造難度。

對魚眼鏡頭系統(tǒng)各視場的物點而言，主要影響成像質(zhì)量的是各光學面的球差波像差Wsph和彗差波像差Wcoma及前光組的場曲波像差Wcurv。大孔徑時各光學面的Wsph和Wcoma對像差的貢獻遠大于Wcurv，分析波像差分布，選擇波像差較大的光學面為非球面。若幾個光學面的波像差均較大，則需進一步結(jié)合系統(tǒng)總的波像差情況，分析各光學面Wsph和Wcoma隨非球面系數(shù)a2的變化趨勢。假設(shè)系統(tǒng)總的球差和彗差波像差符號相反，應(yīng)該選擇Wsph和Wcoma隨a2的變化趨勢相反的光學面；若系統(tǒng)總的球差和彗差波像差符號相同，則應(yīng)選擇Wsph和Wcoma隨a2變化相同的光學面。另外，如果有多個光學面符合上述條件，則選擇隨a2變化最迅速的光學面，以減小加工難度。小孔徑時，Wcurv對像差的貢獻大于各光學面的Wsph和Wcoma。結(jié)合之前的研究[15]，本文認為選擇第1和第3光學面為非球面可以有效校正場曲。

確定非球面后，利用評價函數(shù)式(9)和自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法(ANRCGA)[12]，得到評價函數(shù)最優(yōu)時的非球面系數(shù)值及相應(yīng)的光學系統(tǒng)參數(shù)。

3 數(shù)值驗證

3.1 魚眼鏡頭實例

應(yīng)用上述方法，對專利文獻[16]中的魚眼鏡頭進行優(yōu)化設(shè)計，其光路如圖2所示，工作波段為可見光，最大半視場角ω0=80°。分別進行如下5種情況的分析比對：1) 對專利設(shè)計進行全球面優(yōu)化設(shè)計；2) 取較大孔徑(F#3.3)時后光組的非球面設(shè)計；3) 取較小孔徑(F#7.6)時后光組的非球面設(shè)計；4) 取較大孔徑(F#3.3)時，前光組第1、3光學面的非球面優(yōu)化；5)取較小孔徑(F#7.6)時，前光組第1、3光學面的非球面優(yōu)化。表1為上述5種情況優(yōu)化后的光學參數(shù)，其中：rk表示光學面的曲率半徑;dk表示鏡片間距。表2為5種設(shè)計對應(yīng)的非球面所在光學面及系統(tǒng)接收孔徑。

圖2 魚眼鏡頭光學系統(tǒng)光路圖Fig. 2 Optical path of fisheye lens

表1 魚眼鏡頭Design x的光學參量 mm

表2 Design x的非球面所在光學面及a2

根據(jù)以上所述，由(3)式計算專利原始設(shè)計0°，10°，…，80°共9個視場的波像差Wcurv、Wsph和Wcoma，取ω0=80°時波像差的分布，如圖3所示。其中圖3 (a)和圖3(c)分別為F#3.3和F#7.6時各光學面波像差分布情況，圖3(b)為系統(tǒng)的前組場曲波像差?！苉為系統(tǒng)總的球差波像差∑Wsph和彗差波像差∑Wcoma。由于系統(tǒng)前5個光學面的Wsph和Wcoma均小于0.01，圖3中未列出。

圖4(a)、(b)和(c)分別為當?shù)?7、18和21面為非球面時，該光學面的Wsph和Wcoma隨非球面系數(shù)a2的變化趨勢。

圖3 魚眼鏡頭的波像差分布Fig. 3 Wave aberration distribution of fisheye lens

圖4 Wsph和Wcoma隨第k個光學面a2的變化趨勢圖Fig. 4 Changing trend of the k-th surface’s Wsph和 Wcoma with aspherical coefficient

根據(jù)圖3和圖4可知：

1) 第8、9、17、18和21光學面的波像差比較突出，但是第8和第9面曲率半徑相似且空氣間隔很小，兩者的波像差大小基本相同，符號相反，可以相互抵消，不納入非球面的考慮范圍。

2) 由于系統(tǒng)的∑Wsph和∑Wcoma同號，從優(yōu)化角度考慮，要求光學面Wsph和Wcoma隨 變化趨勢相同。在第17、18和19面中，只有第17面符合條件。

3) 當大孔徑F#3.3時，Wcurv相對較小，應(yīng)優(yōu)先校正Wsph和Wcoma，選擇第17面為非球面；當小孔徑F#7.6時，Wcurv的作用顯著，應(yīng)優(yōu)先校正前光組場曲，選擇第1和3面為非球面。

3.2 優(yōu)化與討論

確定待優(yōu)化的光學面后，對5種情況依次應(yīng)用(9)式計算出對應(yīng)的評價函數(shù)，令εi=1，將該光學面的非球面系數(shù)a2遍歷[-4,4](涵蓋了常見的易于加工的非球面類型[17])，變化步距為0.01。選擇使評價函數(shù)達到最小時的a2為相應(yīng)的非球面系數(shù)初值。

基于評價函數(shù)，將(9)式中60°、70°和80°這3個視場角的權(quán)重因子εi取為5，其他權(quán)重因子εi取為1。然后應(yīng)用自適應(yīng)歸一化實數(shù)編碼遺傳算法(ANRCGA)[12]分別對5種情況進行全局優(yōu)化。種群數(shù)為300，每一代種群規(guī)模為100，交叉概率為0.85。采取粗、精兩輪優(yōu)化，粗優(yōu)20次，各光學參量的優(yōu)化搜索范圍為其初值的±50%；從中選擇評價函數(shù)最小的5次作為精優(yōu)的初值，搜索范圍取初值的±20%，所有視場的物點均為無限遠。圖5為優(yōu)化后5種設(shè)計在ω0=0°，ω0=40°和ω0=80°時的點列圖，圖中坐標為Image width，單位為μm。表3為它們的評價函數(shù)Q，圖6為Design 2和Design5的波像差分布。

圖5 不同視場角時最后成像面上的孔徑光線像差(最右側(cè)一列參數(shù)表示視場角)Fig. 5 Aperture ray aberrations on final image plane at different field angles (The far right column parameter means field angles)

圖6 Design 2和Design 5波像差分布圖Fig. 6 Wave aberration distribution of Design 2 and 5

表3 魚眼鏡頭的評價函數(shù)值

分析圖5和表3可以得出如下結(jié)論：

1) 4種非球面優(yōu)化設(shè)計比全球面優(yōu)化設(shè)計Design 1的點列圖的范圍減小1/2，評價函數(shù)值提高了約1個數(shù)量級，說明ANRCGA算法可用于魚眼鏡頭的非球面優(yōu)化，且效果良好。

2) 小孔徑時的Design 4和Design 5比大孔徑時的Design 2和Design 3的評價函數(shù)值小。說明本文建立的評價函數(shù)可以準確反映魚眼鏡頭光學系統(tǒng)的成像質(zhì)量。

3) Design 2的結(jié)果優(yōu)于Design 3，說明在大孔徑系統(tǒng)中，按照各光學面的波像差分布，選擇波像差較大且對非球面系數(shù)敏感的光學面為非球面，可以有效校正系統(tǒng)的波像差，并改善鏡頭成像質(zhì)量。

4) Design 5的結(jié)果優(yōu)于Design 4，說明隨著孔徑的減小，各光學面的Wsph和Wcoma減小，Wcurv的作用顯著。此時Design 4優(yōu)化Wsph和Wcoma的效果不如Design 5優(yōu)化前光組Wcurv，因此在小孔徑光學系統(tǒng)中應(yīng)該優(yōu)先校正場曲波像差。

5) 當孔徑較大時，Design 2優(yōu)化效果顯著；孔徑較小時，Design 5優(yōu)化效果顯著。比較圖6與圖4可以看出，經(jīng)非球面優(yōu)化后Design 2的Wsph和Wcoma大幅降低，Design 5的Wcurv大幅降低，說明本文提出的優(yōu)化方法有效。

4 結(jié)論

推導了適用于六階波像差理論的面型方程，分析了波像差與光學面面型的關(guān)系，提出了一種有效選擇非球面的方法。對驗證實例系統(tǒng)來說，當系統(tǒng)的F#7.6，前組的場曲波像差較大時，選擇對場曲波像差影響較大的第1和3光學面為非球面；當系統(tǒng)的F#3.3，各光學面的球差和彗差波像差較大，根據(jù)系統(tǒng)的波像差分布情況，選擇波像差較大，且隨a2的變化趨勢有助于系統(tǒng)兩類總的波像差減小的光學面(第17面)為非球面。通過實例證明，本文提出的方法可以快速選出非球面，對利用非球面優(yōu)化魚眼鏡頭有借鑒意義。