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        非球面透鏡表面特性理論分析

        2012-07-05 08:41:28許金凱丁戧于化東王志超
        關鍵詞:分析

        許金凱,丁戧,于化東,王志超

        (長春理工大學 制導與對抗技術研究所,長春 130022)

        非球面透鏡作為一個重要的光學元件,在光系統(tǒng)中占有著重要的地位[1-3]。一個非球面透鏡在光系統(tǒng)中起到的作用要優(yōu)于3-4個球面透鏡[4],主要是因為球面透鏡在光系統(tǒng)中存在球差,比如橫向偏差、軸向偏差和角度偏差,從而限制了球面透鏡在光學系統(tǒng)中的應用。而非球面透鏡具有消除球差的能力,從而大大的提高了非球面透鏡在光系統(tǒng)中的使用范圍。

        對非球面透鏡的研究主要在兩個方面。1.采用光學設計軟件(比如CODE V和ZEMAX)對非球面透鏡進行設計,從而解決非球面透鏡中的光線傳輸和成像問題[5];2.采用針對非球面的制備過程進行研究[6]。

        國外在非球面表面擬合度方面進行了比較深入的研究,對非球面擬合方法研究較少。Héctor提出了一個適合于圓錐非球面曲線算法[7];ZHANG基于線性最小二乘法提出了非球面參數(shù)計算算法[8];Gugsa等通過改變圓錐常數(shù)k的值,利用最小二乘法的最值法來得到標準表面的最佳輪廓[9]。以上方法只考慮單一標準曲面表面,且在測量非球面時,圓錐常數(shù)k的估算會因為多項式系數(shù)的不同而產(chǎn)生偏差[10]。

        在本文中,通過理論分析,建立了非球面表面特性函數(shù),并且以K9玻璃為例,討論了非球面表面特性函數(shù),并對其擬合誤差進行分析。

        1 理論分析

        圖1為非球面透鏡的分析示意圖,光線通過一個非球面透鏡兩次折射后,聚焦到O點。其中Q點和P點分別為非球面透鏡的曲面和平面上的兩點,即光線折射的兩點。假設非球面透鏡的折射率為n1,透鏡的左邊和右邊的介質折射率分別為n0和n2。光線的入射角為φ,經(jīng)過第一次和第二次折射后,折射角分別為 δ和θ。根據(jù)Snell定律,我們可以得到在P點和Q點的折射方程分別為:

        圖1 非球面透鏡表面特性計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of surface profile calculation of a aspherical lens

        在柱坐標系下,Q點和P點的坐標可以表示為Q(X,Z)和P(ρ,z),由于非球面透鏡的第二個表面為平面,因此,P點坐標可以表示成如下函數(shù)形式:

        在非球面透鏡的第一面上的Q點,其坐標也可以表示成如下函數(shù)形式:

        其中 fB為非球面透鏡的后焦距,L為非球面表面特性函數(shù)。

        通過對方程(5)和(6)進行求導,我們可以得到以下方程:

        利用三角函數(shù)關系,我們有

        由于Z和X是θ的函數(shù),因此方程(9)可改寫為:

        將方程7和8代入到方程(10)中,并且令

        其中A,L和B都是θ的函數(shù)。

        在方程(11)兩邊乘以未知函數(shù)F(F為θ的函數(shù)),

        通過對方程(12)的左邊進行積分,并經(jīng)過位置變換后,可以得到

        將方程(13)代入帶方程(12)中,則有

        因此我們可以非球面表面特性函數(shù)

        將方程(1)兩邊同時對θ求導得

        將方程(2)和(16)代入到函數(shù)A、B中,則有:

        在方程(1)中,我們將δ表示成為θ的函數(shù):

        因此函數(shù)A和B可以進一步表示為

        將方程(13)、(17)和(18)代入到方程(15)中,我們最終可以完全得到非球面表面特性函數(shù)。

        2 結果與討論

        我們以K9玻璃為例,折射率為n1=1.5163,并且假設非球面透鏡兩邊的介質都為空氣,折射率為n0=n2=1,非球面透鏡的厚度和后焦距都為50mm,最大折射角為θ=450。經(jīng)過分析后,繪制出如圖2所示的非球面透鏡的表面特性曲線。

        圖2 非球面透鏡表面透鏡計算圖Fig.2 Calculating diagram of surface profile calculation of an aspherical lens

        式中,R是曲率半徑,k是二次曲面常數(shù),Ci是非球面形變常數(shù)。設置了如表1所示的參數(shù)。圖3為非球面透鏡的擬合誤差曲線,從曲線中我們可以看出非球面透鏡表面特性的擬合誤差小于±30nm。

        表1 非球面透鏡表面特性公式擬合數(shù)據(jù)Tab.1 Fitting dates of the surface profile to a aspheric lens formula

        圖3 非球面透鏡表面特性公式擬合誤差Fig.3 Fitting error of the aspherical surface profile formula

        3 結論

        本文通過對非球面透鏡的進行設計的基礎上,建立了非球面透鏡表面特性函數(shù)。以K9玻璃為例,繪制出了非球面透鏡的表面特性曲線。通過對非球面透鏡的表面特性曲線進行分析,認為其擬合誤差小于±30nm,表明了該非球面透鏡的特性函數(shù)方程具有較高的精確性,在對非球面透鏡的設計和制備過程中具有重要的參考價值。

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        [2]Yeon Hwang,T.Kuriyagawa,Sun-Kyu Lee.Wheel curve generation of aspheric microgrinding in parallel grinding method[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,2006(46):1929-1933.

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