申江紅,高 麗,張明麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

Euler函數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)重要的函數(shù)，Euler函數(shù)方程的可解性也是數(shù)論方向的重要研究領(lǐng)域之一[1]，近期文獻(xiàn)[2-10]討論了k的不同取值下二元?dú)W拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性的問(wèn)題；文獻(xiàn)[11-13]分別討論了當(dāng)k=3,4,5時(shí)，三元?dú)W拉方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數(shù)解；對(duì)于文獻(xiàn)[14]，張四保討論了方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)的可解性.本文基于楊張媛[15]討論的三元變系數(shù)歐拉方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整數(shù)解，討論了一個(gè)包含勾股數(shù)及完全數(shù)的三元變系數(shù)Euler函數(shù)方程的可解性，并證明了下例方程有39組正整數(shù)解

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14.

(1)

1 引理

顯然，若(m,n)=1,則有φ(mn)=φ(m)+φ(n).

引理3[8]當(dāng)n≥2時(shí)，有φ(n)

引理4 在Euler函數(shù)方程φ(abc)=k+lφ(c)中，若φ(ab)≥k+l+1,則該方程無(wú)正整數(shù)解.

因此φ(abc)=k+lφ(c)不成立.

2 定理及其證明

定理Euler函數(shù)方程(1)有且僅有39組正整數(shù)解.具體如下:

(a,b,c)=(9,1,12),(7,1,17),(9,1,17),(7,1,32),(7,1,34),(7,2,17),(7,1,40,)(9,1,32),(9,1,34),(9,2,17),(7,1,48),(9,1,40),(16,1,4),(20,1,4),(16,1,6),(24,1,4),(30,1,4),(20,1,6),(20,2,3),(19,1,5),(27,1,5),(19,1,8),(19,1,10),(19,2,5),(38,1,5),(27,1,8),(19,1,12),(27,2,5),(27,1,10),(34,1,5),(13,4,3),(13,3,4).(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(5,6,3),(5,3,6),(5,8,3),(8,5,3).

證明對(duì)于歐拉函數(shù)方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6，

由引理3，所以

φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6≥φ(a)φ(b)φ(c),

(2)

即φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)-6≥(φ(a)φ(b)-5)φ(c)≥φ(a)φ(b)-5,

故有

(φ(a)-4)(φ(b)-3)≤11.

(3)

下面根據(jù)φ(a)、φ(b)的不同的取值分7種情況進(jìn)行討論.

情形1 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)<0時(shí)，則有φ(a)≥6,φ(b)=1,2或者φ(a)=1,2,φ(b)≥4.

1) 當(dāng)φ(a)≥6,φ(b)=1時(shí)，此時(shí)φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-2≥φ(a)φ(b),即

(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤13.

(4)

①當(dāng)φ(a)=6,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤16,即φ(c)=1,2,4,6,8,10,12,14,16.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=21為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=26(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=5,8,10,12,此時(shí)(1)式有解(a,b,c)=(9,1,12).

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(abc)=46，abc=47,94.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=7,9，14,18，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=8時(shí)，φ(abc)=56，abc=87,116,174.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=15,16,20,24,30，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=10時(shí)，φ(abc)=66，abc=67,134.

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=11,22，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=12時(shí)，φ(abc)=76(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=14(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=16時(shí)，φ(abc)=96，

abc=97，119,153,194,195,208,224,238,260,280,288,306,312,336,360,390,420，

由于a=7,9,14,18;b=1,2;c=17,32,34,40,48,60，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式有解：

(a,b,c)=(7,1,17),(9,1,17),(7,1,32),(7,1,34),(7,2,17),(7,1,40,)(9,1,32),(9,1,34),(9,2,17),(7,1,48),(9,1,40).

②當(dāng)φ(a)=8,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤6,即φ(c)=1,2,4,6.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=27為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=32,abc=51,64,68,80,96,102,120，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=3,4,6，此時(shí)(1)式有解(a,b,c)=(16,1,4),

(20,1,4),(16,1,6),(24,1,4),(30,1,4),(20,1,6),(20,2,3).

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=42，abc=43，49,86,98，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(abc)=52，abc=53，

由于a=15,16,20,24,30;b=1,2;c=7,9,14,18，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

③當(dāng)φ(a)=10,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=33為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=38(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=48，abc=104,105,112,130,140,144,156,168,180,210，

由于a=11,22;b=1,2;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

④當(dāng)φ(a)=12,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=39為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=44,abc=69,92,138，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=1,2;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=54，abc=81,106,162，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=1,2;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑤當(dāng)φ(a)=14(不存在)，φ(b)=1時(shí)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑥當(dāng)φ(a)=16,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=61為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=56,abc=87，116,174，

由于a=17,32,34,40,48,60;b=1,2;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=66，abc=67,134，

由于a=17,32,34,40,48,60;b=1,2;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑦當(dāng)φ(a)=18,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=57為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=62(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=72，

abc=73,91,95,111,117,135,146,148,152,182,190,216,222,228,234,252,270，

由于a=19，27,38,54;b=1,2;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式有解：(a,b,c)=(19,1,5),(27,1,5),(19,1,8),(19,1,10),(19,2,5),(38,1,5),(27,1,8),(19,1,12),(27,2,5),(27,1,10),(34,1,5).

⑧當(dāng)φ(a)≥20,φ(b)=1時(shí)，帶入(4)式得φ(c)≤2,即φ(c)=1,2.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=3φ(a)+3為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=3φ(a)+8≥2φ(a),即：φ(a)≥-8與前提φ(a)≥20矛盾，時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)≥6,φ(b)=2時(shí)，此時(shí)φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)+2≥φ(a)φ(b),即

(φ(a)-5)(φ(c)-3)≤17.

(5)

①當(dāng)φ(a)=6,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤20,即

φ(c)=1,2,4,6,8,10,12,14,16，10,20.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=25為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=30，abc=31,62.

由于此時(shí)a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=3,4,6,經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=40，abc=41,55,75,82,88,100，110,132,150.

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(abc)=50(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=8時(shí)，φ(abc)=60，abc=61,77,93,99,122,124,154,186,198，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=15,16,20,24,30，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=10時(shí)，φ(abc)=70，abc=71,142.

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=11,22，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=12時(shí)，φ(abc)=80，abc=123,164,165,176,200,220,246,264,300,330，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=13,21,26，28,36,42，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=14(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=16時(shí)，φ(abc)=100，abc=101,125,202,250，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=17,32,34,40,48,60，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=18時(shí)，φ(abc)=110，abc=121,242，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=19,27,38,54，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=20時(shí)，φ(abc)=120，

abc=143,155，175,183,225,231,244,248,286,308,310,350,366,372,396,450,462，

由于a=7,9,14,18;b=3,4,6;c=25,33,44,50,66，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

②當(dāng)φ(a)=8,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤8,即φ(c)=1,2,4,6，8.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=31為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=36,abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=46，abc=47,94.

由于a=15,16,20,24,30;b=3，4，6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=6時(shí)，φ(abc)=56，abc=87,116,174.

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=7,9,14,18，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=8時(shí)，φ(abc)=66，abc=67,134.，

由于a=15,16,20,24,30;b=3,4,6;c=15,16,20,34,30，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

③當(dāng)φ(a)=10,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤6,即φ(c)=1,2,4，6.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=37為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=42，abc=43,49,86,98.

由于a=11,22;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=52，abc=53.

由于a=11,22;b=3,4,6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

④當(dāng)φ(a)=12,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=43為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=48,abc=104,105,112,130,140,144,156,168,180,210.

由于a=13,21,26,28,36,42;b=3,4,6;c=3,4,6，此時(shí)(1)式有解：

(a,b,c)=(13,4,3),(13,3,4).

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=58，abc=59,118，

由于a=13,21,26,28,36,42;b=3,4,6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑤當(dāng)φ(a)=14(不存在)，φ(b)=2時(shí)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑥當(dāng)φ(a)=16,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=55為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=60,abc=61,77,93,99,122,124,154,186,198.

由于a=17,32,34,40,48,60;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=70，abc=71,142.

由于a=17,32,34,40,48,60;b=3,4,6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑦當(dāng)φ(a)=18,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=61為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=66,abc=67,134.

由于a=19，27,38,54;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=76(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑧當(dāng)φ(a)=20,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2，4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=67為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=72,

abc=73,91,95,111,117,135,146,148,152,182,190,216,222,228,234,252,270，

由于a=25,33,44,50,66;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=82,abc=83,166，

由于a=25,33,44,50,66;b=3,4,6;c=5,8,10,12經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑨當(dāng)φ(a)=22,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2，4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=73為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=78,abc=78,158，

由于a=23,46;b=3,4,6;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=88,abc=89,115,178,184,230,276，

由于a=23，46;b=3,4,6;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

⑩當(dāng)φ(a)≥24,φ(b)=2時(shí)，帶入(5)式得φ(c)≤2,即φ(c)=1,2..

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=3φ(a)+7為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=3φ(a)+12≥4φ(a),即：φ(a)≤12與前提φ(a)≥24矛盾，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3) 當(dāng)φ(a)=1，φ(b)≥4時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)-3即φ(abc)為奇數(shù)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

4)當(dāng)φ(a)=2,φ(b)≥4時(shí)，此時(shí)φ(abc)=3φ(a)+5φ(c)-6≥2φ(a)φ(b) (6)

①當(dāng)φ(a)=2,φ(b)=4時(shí)，帶入(6)式得φ(c)≤4,即φ(c)=1,2,4.

當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=21為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=26(不存在)，驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=36，abc=37,57,63,74,76,108,114,126.

由于a=3,4,6;b=5,8,10,12;c=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

2現(xiàn)令φ(b)=2n(n=3,4,5...),有8n+5φ(c)≥4φ(c),即：φ(c)≤2，得φ(c)=1,2.

此時(shí)：當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+5為奇數(shù)，此時(shí)(1)式不成立.

當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+10≥4φ(b)，即φ(b)取任意值不等式都成，與前提φ(b)≥6矛盾，故此處對(duì)φ(b)≥8的情況不再討論.

情形2 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=0時(shí)，則有φ(a)任意取值,φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4,φ(b)任意取值.

1) 當(dāng)φ(a)=4,φ(b)任意取值，有φ(abc)=4φ(b)+5φ(c)+6≥4φ(b)φ(c).

①當(dāng)φ(c)=1時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+11為奇數(shù)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

②當(dāng)φ(c)=2時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+16≥8φ(b),即：φ(b)≤4,得φ(b)=1,2,4，

當(dāng)φ(b)=1時(shí)，φ(abc)=20,abc=25,33,44,50,66.

由于a=5,8,，10,12;b=1,2;c=3,4,6,此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(b)=2時(shí)，φ(abc)=24，abc=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.

由于a=5,8,10,12;b=3,4,6;c=3,4,6,此時(shí)(1)式有解:

(a,b,c)=(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(5,6,3),(5,3,6).

當(dāng)φ(b)=4時(shí)，φ(abc)=32，abc=51,64,68,80,96,102,120.

由于a=5,8,10,12;b=5,8,10,12;c=3,4,6，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式有解：(a,b,c)=(5,8,3),(8,5,3).

③當(dāng)φ(c)=4時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+26≥16φ(b)，得φ(b)=1,2.

當(dāng)φ(b)=1時(shí)，φ(abc)=30，即abc=31,62.

由于a=5,8,10,12;b=1,2;c=5,8，10,12，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)(1)式無(wú)解.

當(dāng)φ(b)=2時(shí)，φ(abc)=34(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

④當(dāng)φ(c)≥6時(shí)，φ(abc)=4φ(b)+36≥24φ(b)，得φ(b)≤1,即φ(b)=1.

當(dāng)φ(b)=1時(shí)，φ(abc)=5φ(c)+10≥4φ(c)，得φ(c)≥-10與φ(c)≥6矛盾，此時(shí)(1)式無(wú)解，往后不再討論.

情形3 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=1時(shí)，則有φ(a)=5(不存在),φ(b)=4,此時(shí)(1)式無(wú)解.

情形4 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=2時(shí)，對(duì)2 得所有因子進(jìn)行討論：

1) 當(dāng)φ(a)-4=1，φ(b)-3=2,得：φ(a)=5(不存在),φ(b)=5(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)-4=2，φ(b)-3=1，得：φ(a)=6,φ(b)=4.

此時(shí)φ(abc)=28+5φ(c)≥24φ(c),得φ(c)=1.則φ(abc)=33(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

情形5 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=4時(shí)，對(duì)4得所有因子進(jìn)行討論，得

1) 當(dāng)φ(a)-4=1，φ(b)-3=4,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=7(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)-4=2，φ(b)-3=2，得：φ(a)=6，φ(b)=5(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3) 當(dāng)φ(a)-4=4，φ(b)-3=1，得：φ(a)=8，φ(b)=4，

此時(shí)φ(abc)=34+5φ(c)≥32φ(c),得φ(c)=1.則φ(abc)=39(不存在)，此時(shí)(1) 式無(wú)解.

情形6 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=6時(shí)，對(duì)6得所有因子進(jìn)行討論，得

1) 當(dāng)φ(a)-4=1，φ(b)-3=6,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=7(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)-4=2，φ(b)-3=3，得：φ(a)=6，φ(b)=6，

此時(shí)φ(abc)=36+5φ(c)≥36φ(c),得φ(c)=1.則φ(abc)=41(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3) 當(dāng)φ(a)-4=3，φ(b)-3=2，得：φ(a)=7(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

4) 當(dāng)φ(a)-4=6，φ(b)-3=1，得：φ(a)=10，φ(b)=4，

此時(shí)φ(abc)=40+5φ(c)≥40φ(c),得φ(c)=1.則φ(abc)=45(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

情形7 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=8時(shí)，對(duì)8得所有因子進(jìn)行討論，得

1) 當(dāng)φ(a)-4=1，φ(b)-3=8,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=11(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)-4=2，φ(b)-3=4，得：φ(a)=6，φ(b)=7(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3) 當(dāng)φ(a)-4=4，φ(b)-3=2，得：φ(a)=8，φ(b)=5(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

4) 當(dāng)φ(a)-4=8，φ(b)-3=1，得：φ(a)=12，φ(b)=4，

此時(shí)φ(abc)=46+5φ(c)≥48φ(c),得φ(c)=1.則φ(abc)=51(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

情形8 當(dāng)(φ(a)-4)(φ(b)-3)=10時(shí)，對(duì)10得所有因子進(jìn)行討論，得

1) 當(dāng)φ(a)-4=1，φ(b)-3=10,得：φ(a)=5(不存在)，φ(b)=13(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(a)-4=2，φ(b)-3=5，得：φ(a)=6，φ(b)=8，

此時(shí)φ(abc)=44+5φ(c)≥48φ(c),得φ(c)=1,則φ(abc)=49(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3) 當(dāng)φ(a)-4=5，φ(b)-3=2，得：φ(a)=9(不存在)，φ(b)=5(不存在)，此時(shí)(1)式無(wú)解.

4) 當(dāng)φ(a)-4=10，φ(b)-3=1，得：φ(a)=14(不存在)，φ(b)=4，此時(shí)(1)式無(wú)解.

3 結(jié)論

Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一類極其重要的函數(shù)，有關(guān)此類方程的解的研究也是數(shù)論方向的活躍課題之一.本文給出了一個(gè)含勾股數(shù)及完全數(shù)的三元變系數(shù)Euler函數(shù)方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-6的所有解.