由 悅,張 雪

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130000)

0 引言

Smitch在對(duì)人類開發(fā)捕獲漁業(yè)生物資源活動(dòng)研究中,把經(jīng)濟(jì)問題和魚類生物資源的數(shù)量問題相結(jié)合,提出了漁業(yè)自反饋模型[1]:

(1)

在漁業(yè)自反饋模型中考慮到產(chǎn)出的一種生物資源,即捕獲的漁業(yè)資源.然而本文在此基礎(chǔ)上考慮到一類具有兩種生物資源產(chǎn)出的種群，如具有產(chǎn)蛋能力的家禽類種群,它們不僅可以滿足人們對(duì)其食肉的要求,而且也可以達(dá)到其蛋類對(duì)市場供應(yīng)的目標(biāo).于是建立了如下的生物數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型:

(2)

其中:

E(t)為t時(shí)刻家禽類種群的密度;

F(t)為t時(shí)刻經(jīng)營者獲得的最大利潤;

r為家禽類種群的內(nèi)稟增長率;

K為環(huán)境的最大容納量;

a為市場對(duì)家禽類種群的購買系數(shù);

p為家禽類種群的市場價(jià)格;

q為家禽類種群產(chǎn)出品的市場價(jià)格;

b為市場對(duì)家禽類種群產(chǎn)出品的購買系數(shù);

α為家禽類種群的產(chǎn)出系數(shù);

c為單位家禽類種群的養(yǎng)殖成本.

其中r,K,a,,p,q,b,α,c均為正常數(shù).下面將對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行定性分析.

1 系統(tǒng)分析

鑒于此模型的生物學(xué)實(shí)際意義,我們在區(qū)域D={(E,F)|E≥0,F≥0}中考慮這個(gè)模型.令

將系統(tǒng)(2)改寫成

(3)

其Jacobi矩陣為:

記

ψ=-(a11+a22),φ=a11a22-a12a21,Δ=ψ2-4φ

而

定理1系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)A(0,0)為鞍點(diǎn).

證明 平衡點(diǎn)A(0,0)的Jacobi矩陣為:

那么

ψ=-(a11+a22)=-(r-c),

φ=a11a22-a12a21=-rc<0,

故平衡點(diǎn)A(0,0)為鞍點(diǎn).

證明 平衡點(diǎn)B(K，0)的Jacobi矩陣為:

那么

ψ=-(a11+a22)=-[-r+(paK+qbαK-c)]=

r-(paK+qbαK-c)=r-[K(pa+qbα)-c]

φ=a11a22-a12a21=-r(paK+qbαK-c)-0=

-r(paK+qbαK-c)=-r[K(pa+qbα)-c]

則

Δ=ψ2-4φ={r-[K(pa+qbα)-c]}2+4r[K(pa+qbα)-c]=

{r+[K(pa+qbα)-c]}2>0.

證明 1)先證正平衡點(diǎn)C(E*,F*)的存在性,唯一性.

由第二個(gè)方程n(E,F)=0得:

將其代入第一個(gè)方程m(E,F)=0得:

引入輔助函數(shù)

且

即

f(0)>0.

又因?yàn)?/p>

即

f(K)<0.

由零點(diǎn)定理可知:至少存在一個(gè)ξ(0，K),使得f(ξ)=0.從而系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)C(E*,F*)[3].

又因?yàn)閒′(F)=a<0,所以f(F)是關(guān)于F的單調(diào)遞減函數(shù),故ξ在區(qū)間(0,K)上是唯一的.

2)再證平衡點(diǎn)C(E*,F*)是局部穩(wěn)定的.

正平衡點(diǎn)C(E*,F*)的Jacobi矩陣為:

整理方程組

可得：

則

即ψ>0.

aE*F*(pa+qbα).

即φ>0.

證明 選取Dulac函數(shù)B(E,F)=E-1F-1,經(jīng)計(jì)算得:

所以

由Dulac判據(jù)[4]知系統(tǒng)(2)不存在位于D內(nèi)的封閉軌線,即在系統(tǒng)(2)中不存在極限環(huán).

證明 由定理3知正平衡點(diǎn)C(E*，F(xiàn)*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的,又由文獻(xiàn)[5]中全局穩(wěn)定性給出的定理2.2及推論2,可知C(E*，F(xiàn)*)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

2 主要結(jié)果的生物經(jīng)濟(jì)學(xué)意義

通過對(duì)系統(tǒng)(2)的定性分析,我們可以得到家禽類種群密度和經(jīng)營者最優(yōu)利益的數(shù)量C(E*,F*)，這一結(jié)果將為經(jīng)營者的正確管理提供有價(jià)值的指導(dǎo)意義.當(dāng)種群密度大于或小于E*時(shí)，經(jīng)營者為了使其獲得的利益最大化，就可以人為地控制種群密度使其接近E*.因?yàn)檫^度擁擠或過度稀疏都不利于種群的生存和繁殖,所以適度合理的種群密度才是使人們從中獲得最大經(jīng)濟(jì)收益的重要因素.此外,通過對(duì)種群密度進(jìn)行人為控制也能夠?qū)崿F(xiàn)種群可持續(xù)發(fā)展的目標(biāo).