周方敏

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1概論

一般說(shuō)來(lái),曲線C:f(x,y)=0將平面分成3個(gè)不交的部分,分別是{(x,y)|f(x,y)＞0},{(x,y)|f(x,y)=0}和{(x,y)|f(x,y)＜0}.由不等式組

已知函數(shù)表達(dá)式求作函數(shù)圖像,這一知識(shí)點(diǎn)在各類數(shù)學(xué)教材中都有充分介紹,學(xué)生也得到了充分訓(xùn)練；但是對(duì)于已知“區(qū)域表達(dá)式”(區(qū)域的參數(shù)方程)求作區(qū)域圖像,和從區(qū)域圖像寫(xiě)出區(qū)域的參數(shù)方程,各類數(shù)學(xué)書(shū)籍幾乎沒(méi)有涉及,包括國(guó)內(nèi)流行的微積分教材[1]和國(guó)際著名的微積分教材[2-5].尤其是極坐標(biāo)系下重積分的計(jì)算,大部分教材只注重講述數(shù)學(xué)原理部分,但對(duì)于基本計(jì)算方法(主要是極坐標(biāo)系下區(qū)域圖像與區(qū)域方程之間的轉(zhuǎn)換)缺乏具體介紹.而區(qū)域的參數(shù)方程與區(qū)域圖像之間的過(guò)渡正是重積分計(jì)算的關(guān)鍵之處,各類數(shù)學(xué)書(shū)籍對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的疏漏是導(dǎo)致重積分難學(xué)的一個(gè)重要原因[6-7].

筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),對(duì)此知識(shí)點(diǎn)作一歸納總結(jié),旨在輔助二重積分計(jì)算的教學(xué),對(duì)于一般的區(qū)域及其參數(shù)方程不做系統(tǒng)深入的研究.本文只討論邊界為封閉的簡(jiǎn)單凸曲線的單連通區(qū)域,其他類型復(fù)雜的區(qū)域可以分割成這種最簡(jiǎn)單的區(qū)域.對(duì)于重積分(不包括反常積分)的計(jì)算而言,積分區(qū)域是否包含邊界并不重要,因此,除非特別指出,對(duì)于平面點(diǎn)集D，本文將所有包含D的內(nèi)部且含于D的閉包的點(diǎn)集看作是相同的.

確定的平面區(qū)域D可以分解為由單個(gè)不等式所確定的平面區(qū)域的交，所以根據(jù)不等式組(1)作出D的圖像并不困難.

另一方面,根據(jù)平面區(qū)域的圖像求其參數(shù)方程(區(qū)域參數(shù)化),學(xué)生比較難以掌握,各類數(shù)學(xué)書(shū)籍也疏于介紹.本文介紹一種易于掌握的“可視化”方法,原理是利用“平行于”坐標(biāo)軸的曲線網(wǎng)分割區(qū)域.簡(jiǎn)而言之,先取一“平行于”坐標(biāo)軸的動(dòng)曲線(直角坐標(biāo)系下是直線,極坐標(biāo)系下是圓或射線),保持該曲線與區(qū)域相交并將該曲線沿坐標(biāo)軸方向“平移”,考察在平移過(guò)程中動(dòng)曲線的2個(gè)臨界位置(得到一對(duì)邊界)和含于區(qū)域內(nèi)部的曲線段端點(diǎn)的軌跡(另外一對(duì)邊界),將4個(gè)邊界的方程求出可得區(qū)域的參數(shù)方程.在每個(gè)坐標(biāo)系下,動(dòng)曲線都有2種取法,所以每個(gè)平面區(qū)域都有2個(gè)參數(shù)方程,分別對(duì)應(yīng)2種不同的積分次序.

以上方法同樣適用于將三維空間區(qū)域參數(shù)化.三維空間有3種坐標(biāo)系,但區(qū)域參數(shù)化的方法相同.步驟是：首先取一個(gè)“平行于”坐標(biāo)面的曲面,保持與區(qū)域相交并讓它沿坐標(biāo)面方向“平移”,得到的2個(gè)臨界位置即區(qū)域的一對(duì)邊界,該動(dòng)曲面截區(qū)域所得的平面區(qū)域可用上面的方法再參數(shù)化,綜合起來(lái)可得空間區(qū)域的參數(shù)方程.

可見(jiàn),本文提供的方法可以統(tǒng)一處理所有情況下區(qū)域的參數(shù)化問(wèn)題,而現(xiàn)行微積分教材對(duì)此問(wèn)題的處理方法講述得都很隱晦.

2 直角坐標(biāo)系下平面區(qū)域的圖像與參數(shù)方程

例2在平面上作出點(diǎn)集D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤x2}的圖像.

圖1 例2的圖像

分析這是比較典型的積分區(qū)域.點(diǎn)集表達(dá)式中有4個(gè)不等式,分別對(duì)應(yīng)區(qū)域的4個(gè)邊界.作圖步驟如下：

1)先作出曲線x=0,x=2,y=0,y=x2的圖像；2)分別確定 0≤x,x≤2,0≤y,y≤x2所表示的4個(gè)區(qū)域；3)取4個(gè)區(qū)域的交集即為所求的圖像,見(jiàn)圖1.

實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的區(qū)域一般都告知由若干條曲線圍成,這時(shí)需要寫(xiě)出區(qū)域的參數(shù)方程,只有參數(shù)方程才可用于計(jì)算二重積分.平面區(qū)域都有4個(gè)邊界；都有2個(gè)參數(shù)方程（分別看作X型區(qū)域和Y型區(qū)域）.

例3[8]142如圖2,設(shè)區(qū)域D由拋物線y2=x和y=x-2圍成,求D的參數(shù)方程.

圖2 例3的圖像

分析區(qū)域D可以寫(xiě)成{(x,y)|y2≤x≤y+2},但這不是區(qū)域的參數(shù)

例1 直線y=ax+b將平面分成3個(gè)部分,這3個(gè)部分的方程分別是y=ax+b,y＞ax+b和y＜ax+b.類似地,拋物線y=ax2+bx+c和圓x2+y2=1也將平面分成3個(gè)部分,只需要將方程中的等號(hào)換成大于號(hào)和小于號(hào)即可得到另外2個(gè)部分的方程.

這一知識(shí)點(diǎn)在中學(xué)其實(shí)已有介紹,但是沒(méi)有繼續(xù)深入介紹下去.方程,無(wú)法用于二重積分的計(jì)算.這里介紹一個(gè)易于掌握的“可視化”的方法.首先作出函數(shù)y2=x和y=x-2的圖像,將圍成的區(qū)域用陰影標(biāo)記,注意2條曲線的交點(diǎn)為(1,-1)和(4,2).

方法1將其看作X型區(qū)域：

1)作1條水平直線,上下移動(dòng)此直線并保持與區(qū)域相交；

2)該直線能達(dá)到的最高位置即區(qū)域的上邊界：y=2；

3)該直線能達(dá)到的最低位置即區(qū)域的上邊界：y=-1；

4)含于區(qū)域內(nèi)部的線段的左端點(diǎn)的軌跡為區(qū)域的左邊界：x=y2；5)含于區(qū)域內(nèi)部的線段的右端點(diǎn)的軌跡為區(qū)域的右邊界：x=y+2.由此得區(qū)域的參數(shù)方程為

方法2將其看作Y型區(qū)域：

1)作1條豎直直線,左右移動(dòng)此直線并保持與區(qū)域相交；

2)該直線能達(dá)到的最左位置即區(qū)域的左邊界：x=0；

3)該直線能達(dá)到的最右位置即區(qū)域的右邊界：x=4；

4)含于區(qū)域內(nèi)部的線段的上端點(diǎn)的軌跡為區(qū)域的上邊界：y=x1/2；

由此得區(qū)域的參數(shù)方程為

交換積分次序是計(jì)算重積分的一個(gè)重要技巧,利用區(qū)域的2個(gè)不同的參數(shù)方程可以交換積分次序.

例4交換積分次序這是將D看作X型區(qū)域得到的方程,我們只需將D看作Y型區(qū)域并將區(qū)域表達(dá)式寫(xiě)出即可.過(guò)程為利用例2的方法將D的圖像作出，再根據(jù)例3的方法將D的另一參數(shù)方程寫(xiě)出(具體方程見(jiàn)例3),所以

解由積分表達(dá)式可知積分區(qū)域的方程為

3 極坐標(biāo)系下平面區(qū)域的參數(shù)化

極坐標(biāo)下平面區(qū)域的圖像與參數(shù)方程的互化與平面區(qū)域的情況類似.相應(yīng)的動(dòng)曲線可以取為端點(diǎn)為原點(diǎn)的射線,其運(yùn)動(dòng)為以原點(diǎn)為中心轉(zhuǎn)動(dòng)；或者取為以原點(diǎn)為圓心的圓,其運(yùn)動(dòng)取為半徑的增大.這里默認(rèn)的極坐標(biāo)系以原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸.

例5求區(qū)域在極坐標(biāo)系下的參數(shù)方程；

方法11)過(guò)原點(diǎn)作1條射線,以原點(diǎn)為中心轉(zhuǎn)動(dòng)此直線并保持與區(qū)域相交.

2)該直線能達(dá)到的“最小角度”是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=-π/2；

3)該直線能達(dá)到的“最大角度”是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=π/2；

4)含于區(qū)域內(nèi)部的線段的1個(gè)端點(diǎn)的軌跡是區(qū)域的1個(gè)邊界：r=0；

5)含于區(qū)域內(nèi)部的線段的另外1個(gè)端點(diǎn)的軌跡是區(qū)域的1個(gè)邊界：r=2cosθ.由此得區(qū)域的參數(shù)方程為

方法2 1)以原點(diǎn)的圓心作1個(gè)圓,保持與區(qū)域相交，將圓的半徑逐漸增大；

2)該圓半徑能取的最小值是區(qū)域的1個(gè)邊界：r=0；

3)該圓半徑能取的最小值是區(qū)域的1個(gè)邊界：r=2；

4)含于區(qū)域內(nèi)部的圓弧的1個(gè)端點(diǎn)的軌跡是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=arccos(r/2)；

5)含于區(qū)域內(nèi)部的圓弧的1個(gè)端點(diǎn)的軌跡是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=-arccos(r/2).由此得區(qū)域的參數(shù)方程為

對(duì)于方法2,常見(jiàn)的教材均未作介紹,一則因?yàn)榇朔椒ǔＩ婕胺慈呛瘮?shù),不便于計(jì)算；二則因?yàn)椴槐匾?因?yàn)槿绻麑⒎椒?中的結(jié)果視為直角坐標(biāo)系下的結(jié)果,使用直角坐標(biāo)系下的方法可以得到方法2所得的結(jié)果(即交換積分次序).這里為完整起見(jiàn),仍將其列出.

4 空間區(qū)域的參數(shù)化

空間區(qū)域的參數(shù)方程的求法與平面區(qū)域的情況也類似,只是更復(fù)雜一點(diǎn).每個(gè)空間區(qū)域都有3組邊界,因此有3!=6種不同的參數(shù)方程.空間有直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系3種坐標(biāo)系.本文的方法對(duì)這3種坐標(biāo)系均適用.對(duì)于球面坐標(biāo)系,采取在直角坐標(biāo)系下建立極坐標(biāo)系的方法,即直角坐標(biāo)系下點(diǎn)(x,y,z)與相應(yīng)的極坐標(biāo)系下的點(diǎn)(r,θ,φ)滿足關(guān)系

例6[8]159設(shè)空間區(qū)域Ω由3個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1圍成,求Ω的參數(shù)方程.

解 1)作1個(gè)水平平面,將其上下移動(dòng)并保持與區(qū)域相交；

2)該平面能達(dá)到的最高位置即區(qū)域的上邊界：z=1；

3)該平面能達(dá)到的最低位置即區(qū)域的下邊界：z=0；

4)該平面截區(qū)域Ω所得的(含參量的)平面區(qū)域?yàn)镈z={(x,y)|x+2y＜1-z,x＞0,y＞0}(確切地說(shuō)是所截區(qū)域在xoy面上的投影).利用例3的方法可得Dz的參數(shù)方程為Dz={(x,y)|0≤x≤1-z,0≤y≤1-2y-z}.綜上得區(qū)域的參數(shù)方程為

4)該平面截區(qū)域Ω所得的(含參量的)平面區(qū)域?yàn)?確切地說(shuō)是所截區(qū)域在xoy面上的投影).利用例5的方法可得Dz在極坐標(biāo)下的參數(shù)方程為

綜上得區(qū)域的參數(shù)方程為

例7[8]161設(shè)空間區(qū)域Ω由曲面z=x2+y2與平面z=4圍成,求Ω在柱面坐標(biāo)系下的參數(shù)方程.

解 1)作一水平平面,將其上下移動(dòng)并保持與區(qū)域相交；

2)該平面能達(dá)到的最高位置即區(qū)域的上邊界：z=4；

3)該平面能達(dá)到的最低位置即區(qū)域的下邊界：z=0；

例8求空間區(qū)域Ω={(x,y,z)|(x-1)2+y2+z2≤1}在球面坐標(biāo)系下的參數(shù)方程.

解 1)作經(jīng)過(guò)z軸的半平面,將其繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)并保持與區(qū)域相交；

2)該半平面能達(dá)到的“最小角度”是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=0；

3)該半平面能達(dá)到的“最大角度”是區(qū)域的1個(gè)邊界：θ=π；

4)該半平面截區(qū)域Ω所得的(含參量的)平面區(qū)域?yàn)镈θ={(r,φ)|r≤2sinφcosθ},利用例5的方法可得Dθ的參數(shù)方程為Dθ={(r,φ)|-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.

綜上得區(qū)域的參數(shù)方程為Ω={(r,θ,φ)|0≤θ≤π,-π/2≤φ≤π/2,0≤r≤2sinφcosθ}.