□ 章勤瓊

小數(shù)的認識是小學階段數(shù)學學習中“數(shù)的認識”的重要內(nèi)容，對學生來說，這是數(shù)系統(tǒng)的一次擴充，更是對十進制系統(tǒng)的完善。一般認為，小數(shù)是分數(shù)的特殊形式——十進分數(shù)。因此，在很多教學安排中都是通過分數(shù)來學習小數(shù)。然而，張奠宙指出，他在讀小學的時候，是先學小數(shù)后學分數(shù)，而那時的教材編排也大多是小數(shù)在分數(shù)前面，“因為小數(shù)比分數(shù)容易，小數(shù)的計數(shù)原則跟整數(shù)一樣是十進制的，有整數(shù)老大哥幫忙，小數(shù)比較容易懂。”[1]

事實上，學生真正認識、理解小數(shù)卻并不簡單。有調(diào)查表明，四年級學生（已經(jīng)學習《小數(shù)的初步認識》），對小數(shù)的認識積累了一定的生活經(jīng)驗，主要是在人民幣和長度單位方面，但僅僅停留在感性認識階段，缺少理性認識。70%左右的學生對小數(shù)的意義的理解已經(jīng)達到事實性理解水平，但還沒有達到概念性理解水平。[2]也就是說，可能會讀會寫會用，但其實并不真正理解小數(shù)作為一種數(shù)的意義。

那么，借助分數(shù)的形式是否有助于學生理解小數(shù)，如何更好地幫助學生認識小數(shù)呢？我們應(yīng)該對其相關(guān)數(shù)學概念進行梳理，進而對教學有進一步的思考。

一、小數(shù)的定義及其與十進分數(shù)的聯(lián)系

從數(shù)的發(fā)展歷程來看，數(shù)的產(chǎn)生是先自然數(shù)（整數(shù)），然后分數(shù)，最后小數(shù)。[3]中國被認為是最早發(fā)明并系統(tǒng)掌握小數(shù)理論的國家。在中國，小數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展與計量學、律歷學、數(shù)學的發(fā)展密不可分。在計量學方面，出于非十進制單位換算的復雜性，度量衡朝著十進制的方向發(fā)展，而為了更精確地表示數(shù)量，度量衡又朝著創(chuàng)造更小單位的方向發(fā)展。在數(shù)學方面，劉徽最早明確了小數(shù)的概念，他在處理開方除不盡問題時，建議采用微數(shù)方法，“微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數(shù)，不足言之也”，這句話前半句就相當于現(xiàn)代數(shù)位表中的十分位、百分位及其含義。[4]

現(xiàn)代數(shù)學中對小數(shù)是這樣定義的：小數(shù)亦稱十進小數(shù)，是實數(shù)的一種特殊的表現(xiàn)形式。所有分數(shù)都可以表示成小數(shù)，根據(jù)十進制的位值原則，把十進分數(shù)仿照整數(shù)的寫法寫成不帶分母的形式，小數(shù)中的圓點叫作小數(shù)點，它是一個小數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分的分界號。而在小學數(shù)學教材中一般這樣呈現(xiàn)：把分母是10、100、1000……的分數(shù)改寫成不帶分母形式的數(shù)，叫作小數(shù)。[5]

從上述定義中可以看出以下兩點：第一，小數(shù)是通過十進分數(shù)來定義的，可以看成是十進分數(shù)的另一種形式。第二，十進制的位值原則是小數(shù)能夠產(chǎn)生的根本性質(zhì)，這也是整數(shù)與小數(shù)能得以溝通的原因。因此，雖然在形式上小數(shù)可以看成是特殊的分數(shù)，但其產(chǎn)生并不一定需要分數(shù)，可以直接將整數(shù)進行“十分”“百分”……得到各位上的小數(shù)。

在現(xiàn)行的數(shù)學教材中，小數(shù)的認識通常分兩個階段進行，分別是“小數(shù)的初步認識”和“小數(shù)的意義與性質(zhì)”。各教材的整體設(shè)計不盡相同，但在第一次“認識小數(shù)”時都把握了共同的原則：（1）基于學生生活經(jīng)驗來學習小數(shù)，在具體的“量”中理解小數(shù)的現(xiàn)實意義，這里“具體的‘量’”主要指錢數(shù)、長度；（2）“規(guī)定”小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表示方法；（3）溝通用“整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)”都能表示同一個“量”。[6]

從各版本教材的共同特點來看，都強調(diào)小數(shù)是十進分數(shù)的另一種表示方法以及溝通整數(shù)、分數(shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系。但需要注意的是，這并不意味著小數(shù)的學習一定要通過分數(shù)。在北師大版教材中，就直接通過溝通整數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)系來認識小數(shù)，分數(shù)的學習在小數(shù)后面。因此，通過分數(shù)認識小數(shù)，是否可以幫助學生更好地理解小數(shù)的意義，需要更進一步的探討。

二、學生在認識小數(shù)中存在的困難

小數(shù)可以看成是特殊的十進分數(shù)，小數(shù)的產(chǎn)生也是以對“1”①這里的“1”是指某個單位，并不一定指具體的數(shù)字1，下同。進行十等分之后產(chǎn)生的。因此，在小數(shù)的認識的教學中，加強小數(shù)與十進分數(shù)的聯(lián)系是毋庸置疑的。正是基于這樣的考慮，不論是“小數(shù)的初步認識”還是“小數(shù)的意義”，很多教材都試圖通過分數(shù)讓學生認識小數(shù)。

以人教版教材為例，在“小數(shù)的初步認識”中，通過“將1米平均分成10份，每份是1分米”后，指出“1分米是1米的”，并進而指出“1分米是米，還可以寫成0.1米；3分米是米，還可以寫成0.3米”。[7]

在“小數(shù)的意義”中，教材在指出將1m平均分成10份后，進行了如圖1中1dmm和0.1m的對應(yīng)。

圖1

在下面將1m平均分成100份和1000份分別得到兩位小數(shù)和三位小數(shù)的時候，采用了完全一樣的方式。[8]教材的這種安排遵循小數(shù)是特殊的分數(shù)這一性質(zhì)，通過米米這樣的十進分數(shù)來認識小數(shù)0.1米和0.3米，符合“數(shù)”發(fā)展的進程。[9]

但像這樣數(shù)學的發(fā)生發(fā)展順序是否同樣符合學生的認知發(fā)展呢？教材中通過十進分數(shù)來認識小數(shù)是基于一個前提的，即學生已經(jīng)認識并理解了分數(shù)。從教材知識點安排順序來看，這一點似乎沒有問題。然而，在三年級上冊分數(shù)的學習之后，學生對分數(shù)形成的都是類似“把一塊月餅平均分成2份，每份是這塊月餅的”這樣的認識，這是“部分與整體關(guān)系”的意義。事實上，分數(shù)本身有多種不同意義，[10]學生在這里所學習的分數(shù)并不是作為一個“數(shù)”的意義。

圖2

如圖2所示，對于圖中物體的長度，學生能用小數(shù)正確表達出0.3米，但用分數(shù)表達的時候卻寫成了米。說明米這樣的表達形式對于學生來說是困難的，因為學生是以“部分與整體的關(guān)系”的意義來理解，認為圖中平均分成了6份，分母應(yīng)該是6。難以理解分母為什么是10，而且學生也從來沒有學習過如米元這樣在分數(shù)后面加上單位的形式。因此，通過米這樣的分數(shù)的形式來認識小數(shù)0.3米，從學生知識結(jié)構(gòu)發(fā)展的順序上來說，并不是順向的。

圖3

第二種情況，認為平均分成幾份就是零點幾。如圖4所示，學生在表示0.3米的時候，畫出了，認為0.3是需要將1平均分成3份。

圖4

認識小數(shù)的教學，重點在于位值計數(shù)，也就是需要做好十進制從自然數(shù)向小數(shù)的過渡，即建立小數(shù)與“十進”“十分”的聯(lián)系。但建立兩者的聯(lián)系，并不意味著一定要通過分母為10的分數(shù)來認識理解小數(shù)。由于分數(shù)具有多種不同的意義，學生對其理解存在困難。同時國內(nèi)大多數(shù)教材第一次呈現(xiàn)分數(shù)時是關(guān)于“部分與整體關(guān)系”這一層面的，并不是作為一個從自然數(shù)擴充而來的“數(shù)”。因此，想要通過分數(shù)的形式來認識小數(shù)，這對學生認識并理解小數(shù)意義和建構(gòu)自然數(shù)與小數(shù)整體的十進制觀念，并無實質(zhì)性幫助。

三、兩點教學建議

第一，淡化通過形式上的分數(shù)來理解小數(shù)，強調(diào)從“數(shù)”的產(chǎn)生的角度來認識小數(shù)。雖然小數(shù)可以看成是分母為10的特殊形式的分數(shù)，但小數(shù)的產(chǎn)生并不需要借助分數(shù)，將“1”按照整十進行累加，可以得到所有的自然數(shù)。那么，將“1”按照十等分進行細分，就可以得到小數(shù)，十進制的這種擴展對于學生的認知結(jié)構(gòu)來說是一種完善。因此，在教學中需要強調(diào)兩點，將“1”平均分成十份是前提，如果沒有十等分，就不會產(chǎn)生小數(shù)。其次，進行十等分后，其中的幾份就是零點幾。有了這樣的認識，學生就可能不會出現(xiàn)圖3與圖4這兩種迷思。

第二，通過多種表征讓學生積累“十分”產(chǎn)生小數(shù)的經(jīng)驗，促進對小數(shù)意義的理解。學生在生活中已經(jīng)有很多認、讀、寫的經(jīng)驗，但不能僅停留在這個層次，需要從意義上認識小數(shù)，特別是小數(shù)和自然數(shù)的關(guān)系，盡量把通過“十分”構(gòu)建“小數(shù)”的數(shù)學思想方法用學生易懂的方式表示出來。[12]這就需要在教學中借助多種表征，讓學生更多經(jīng)歷十等分產(chǎn)生分數(shù)的過程。譬如，可以通過長度、錢幣等現(xiàn)實模型，也可以通過畫圖表征以及在數(shù)字線上建構(gòu)小數(shù)等多種方式，并注重它們之間的聯(lián)系以及學生經(jīng)驗的積累。