張道成

(中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì),河北 秦皇島 066200)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,載體姿態(tài)的測(cè)量得到了越來(lái)越多的應(yīng)用,不僅廣泛地應(yīng)用在民用中,而且在軍事技術(shù)上也得到了很好的應(yīng)用。世界上不少研究機(jī)構(gòu)或者公司都對(duì)其開(kāi)展了深入的研究。美國(guó)宇航局(NASA)于20世紀(jì)90年代末開(kāi)展了GPS/INS組合用于航天飛機(jī)姿態(tài)測(cè)量的研究,精度要求為0.5°/m。美國(guó)斯坦福大學(xué)于20世紀(jì)90年代末在實(shí)驗(yàn)室也得到了0.25°/m-0.5°/m的精度[1],茅文深針對(duì)雙頻姿態(tài)測(cè)量算法和組合測(cè)姿開(kāi)展了研究[2]。

在短基線載波相位雙差觀測(cè)模型中,主要考慮兩組未知數(shù),分別是基線矢量和雙差整周模糊度。本文主要對(duì)模糊度中的最小二乘去相關(guān)平差法(LAMBDA)[3]開(kāi)展研究。

1 參數(shù)估計(jì)模型和準(zhǔn)則

已知雙差載波相位線性觀測(cè)方程的最小二乘目標(biāo)函數(shù)為

(1)

為n維整數(shù)空間,R3為3維實(shí)數(shù)空間。式(1)的最小化問(wèn)題可以看成帶有整數(shù)約束的最小二乘問(wèn)題。

上述最小二乘估計(jì)[4]的二次型目標(biāo)函數(shù)可以分解為下列形式

(2)

從上面分析可以看出最小二乘解可以分為三部分,第一步求解無(wú)約束的實(shí)數(shù)解,即根據(jù)式(1),去掉N∈Zn的約束,直接通過(guò)加權(quán)最小二乘獲取實(shí)數(shù)解和對(duì)應(yīng)的方差-協(xié)方差矩陣,計(jì)算結(jié)果如下

(3)

(4)

(5)

2 LAMBDA算法實(shí)現(xiàn)步驟

針對(duì)上面的模糊度固定問(wèn)題,Delft科技大學(xué)的P.J.G Teunissen博士提出了一種快速有效的模糊度固定方法——最小二乘降相關(guān)平差法(LAMBDA),它主要有兩部分:模糊度條件搜索和模糊度去相關(guān)處理(又稱整數(shù)Z變換)。

2.1 模糊度整數(shù)最小二乘搜索

對(duì)于式(4)的整數(shù)最小二乘問(wèn)題目前沒(méi)有統(tǒng)一的解析求解方法,目前都是通過(guò)離散搜索的方法來(lái)得以實(shí)現(xiàn)。具體實(shí)現(xiàn)為利用式(4)來(lái)構(gòu)造一個(gè)n維的實(shí)數(shù)橢球搜索范圍Rn,進(jìn)行搜索。這個(gè)模糊度搜索橢球可以定義為

(6)

搜索空間χ2的確定,合適的χ2可以保證最優(yōu)值在搜索區(qū)域內(nèi)又可以保證搜索效率,所以它在搜索過(guò)程中起著重要的作用。下面介紹LAMBDA算法中χ2的確定方法。

當(dāng)期望得到的模糊度候選值個(gè)數(shù)小于等于n+1時(shí),χ2的取值方法是取浮點(diǎn)解的最近整數(shù)按照式(4)的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算得到的值。即先由浮點(diǎn)解的最近整數(shù)求的1個(gè)二次型的值,然后分別讓其中一個(gè)浮點(diǎn)解取次整數(shù),其他浮點(diǎn)解不變,可以得到n個(gè)二次型的值,這樣一共得到n+1個(gè)二次型的值。如果從這n+1個(gè)數(shù)值中選取次最小的值作為χ2,這樣確定的模糊度搜索橢球大小可保證至少2個(gè),至多幾個(gè)候選模糊度;同理,取第i個(gè)最小的二次型的值可以保證搜索橢球內(nèi)至少有i個(gè)候選模糊度。

當(dāng)期望得到的模糊度候選值個(gè)數(shù)大于n+1時(shí),χ2的取值方法是通過(guò)計(jì)算橢球體積大小來(lái)確定,具體計(jì)算如下:

橢球區(qū)域的體積公式為

(7)

式中,Vn為體積函數(shù)

(8)

當(dāng)n≥3時(shí),體積函數(shù)可以通過(guò)Vn=2πVn-2/n等式進(jìn)行循環(huán)計(jì)算,其中V1=2,V2=π。

對(duì)于確定的方差-協(xié)方差矩陣,有下列表達(dá)式

(9)

所以由式(7)得到χ2的表達(dá)式

(10)

相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明體積En的大小也大致確定了橢球區(qū)域內(nèi)所包含的候選值的數(shù)量,即En與候選值模糊度個(gè)數(shù)k有近似關(guān)系k=int(En)[5],當(dāng)k≥10時(shí),該式較準(zhǔn)確;但當(dāng)k<10時(shí),該式誤差比較大。

2.2 模糊度去相關(guān)處理

由于模糊度浮點(diǎn)解之間存在著很大的相關(guān)性,使得式(6)進(jìn)行模糊度搜索時(shí)效率非常低,為了避免這種情況,LAMBDA算法中加入了對(duì)模糊度浮點(diǎn)解進(jìn)行去相關(guān)處理的方法,其基本思想為利用一個(gè)整數(shù)變換矩陣Z對(duì)模糊度以及它的協(xié)方差矩陣進(jìn)行線性變換,使變換后的模糊度和其協(xié)方差矩陣相關(guān)性變?nèi)?具體體現(xiàn)在由式(7)構(gòu)成的搜索橢球空間規(guī)則化,從而使搜索效率提高。

2.2.1 模糊度搜索停滯現(xiàn)象

理論和數(shù)值分析均表明,存在著突變,為了從理論上解釋突變現(xiàn)象,以二維模糊度的方差-協(xié)方差矩陣為例進(jìn)行闡述。同時(shí),這個(gè)二維矩陣的結(jié)構(gòu)和n維的模糊度方差-協(xié)方差矩陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似。

(11)

假設(shè)

(12)

注意到式(11)被分解成兩個(gè)秩分別為1和2的矩陣和的形式。式(12)存在的目的是使秩為2的矩陣中的元素遠(yuǎn)小于秩為1的矩陣中的元素。

(13)

(14)

同樣,n維模糊度方差-協(xié)方差矩陣也可以寫成兩個(gè)矩陣和的形式。第一個(gè)矩陣的秩為n,同時(shí)由于載波相位觀測(cè)值的精度較高,所以對(duì)應(yīng)的元素值都很小。第二個(gè)矩陣的秩為3,原因是模糊度值為實(shí)數(shù)值時(shí),估計(jì)得到的基線精度較低,所以對(duì)應(yīng)的元素值都很大。由于這種結(jié)構(gòu)的原因,實(shí)際上的模糊度條件方差的變化范圍在第三個(gè)之后都顯得很大的突變性。圖1是文獻(xiàn)[6]為例計(jì)算得到的各個(gè)模糊度的條件方差的分布圖。

圖1 12維條件方差取值范圍

很顯然,前3個(gè)和后9個(gè)模糊度條件方差之間有很大的突變,所以消除模糊度條件方差的這種突變性對(duì)于搜索效率非常重要,下面介紹的整數(shù)Z變換就是為降低這種條件方差的突變性而提出的。

2.2.2 模糊度去相關(guān)(整數(shù)Z變換)

(15)

(16)

(17)

由于D為對(duì)角矩陣,所以變換后的模糊度完全不相關(guān),但是實(shí)際中,由于模糊度的整數(shù)特性,不可能完全去相關(guān),即取Z=int(L-1),這樣D就不是對(duì)角矩陣,但非對(duì)角元素經(jīng)過(guò)這樣變換后一般都變得很小,有時(shí)還要經(jīng)過(guò)多次這樣的變換得到Z矩陣。

3 仿真分析

1) 模糊度去相關(guān)前后搜索空間的比較

這里我們采用二維模糊度作為例子,數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)[4]中第100頁(yè)的相關(guān)數(shù)據(jù)。

(18)

經(jīng)過(guò)高斯整數(shù)變換后的模糊度和對(duì)應(yīng)協(xié)方差矩陣為:

(19)

顯然,去相關(guān)后的模糊度對(duì)應(yīng)的方差明顯比變換前小,而且兩者之間相關(guān)性也減弱。具體結(jié)果見(jiàn)圖2。

其中,圖2a為變換前的搜索空間,圖2b為變換后的搜索空間,可以看出,變換前的空間被壓縮的很狹長(zhǎng),N1和N2要經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)搜索時(shí)間才能遍歷所有可能整數(shù),而對(duì)搜索空間圖2b顯然更容易搜索。所以整數(shù)Z變換極大提高了搜索效率。

2) 模糊度去相關(guān)前后條件方差比較

采取12維模糊度協(xié)方差矩陣,具體條件方差見(jiàn)圖3。

從圖3中可以看出,去相關(guān)后的模糊度條件方差很小并且都在同一數(shù)量級(jí),很好的平滑了原始模糊度條件方差突變現(xiàn)象,從而提高了搜索效率。

圖2 變換前后搜索區(qū)間比較

圖3 去相關(guān)前后模糊度條件方差比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)模糊度解算算法中的LAMBDA算法進(jìn)行了詳細(xì)的分析和研究,分析了參數(shù)估計(jì)模型和準(zhǔn)則,該模型中包括基線向量和模糊度向量?jī)山M未知參數(shù)。由于模糊度的整數(shù)特性,使得模糊度的整數(shù)解沒(méi)有統(tǒng)一的解析公式,只能通過(guò)有效的搜索方法來(lái)得到。LAMBDA算法提出了一種序貫條件最小二乘整數(shù)搜索,然而由于模糊度間的強(qiáng)相關(guān)性使得搜索橢球空間極其狹長(zhǎng),導(dǎo)致搜索效率很低,甚至?xí)霈F(xiàn)停滯現(xiàn)象,所以LAMBDA算法還提供了降低模糊度相關(guān)性的整數(shù)Z變換,文中給出了整數(shù)高斯Z變換的實(shí)現(xiàn)步驟,通過(guò)Z變換后的模糊度搜索效率大大提高從而達(dá)到實(shí)時(shí)求解的目的。