沈進(jìn)中，姜媛媛，朱洪波

（安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院,安徽淮南232001）

上海交通大學(xué)在2004研究生考試的科目中，高等代數(shù)第5題為：求下面多項(xiàng)式的所有根。

文獻(xiàn)[1]第57頁(yè)的93題恰為此題，并對(duì)其給出解答。作者經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[1]給出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。與此同時(shí)，作者在研讀文獻(xiàn)[2]的過程中，發(fā)現(xiàn)同一個(gè)分塊矩陣可以有兩種計(jì)算其行列式和逆矩陣的方法。但文獻(xiàn)[2]僅僅給出公式，而無(wú)任何證明過程，于是筆者針對(duì)此問題進(jìn)行研究，并得出了若干結(jié)果。

1 主要結(jié)果

為方便閱讀，C表示復(fù)數(shù)域，0表示零矩陣，det(A)表示A的行列式。

引理1設(shè)A∈Cm×m,B∈Cn×n,均為非奇異矩陣,C,D均為階數(shù)適當(dāng)矩陣，則

這樣便完成了證明。

推論1已知矩陣A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，那么有如下結(jié)論：

（1）若A和B都是可逆矩陣，則(B-CA-1D)為可逆當(dāng)且僅當(dāng)(A-DB-1C)可逆。若A，B，(B-CA-1D)都是可矩陣，那么成立

可知 det(A)det(B-CA-1D)=det(B)det(A-DB-1C)，注意到A和B都是可逆，因此 det(B-CA-1D)與det(A-DB-1C)同時(shí)為零，或同時(shí)均不為零。這表明(B-CA-1D)為可逆當(dāng)且僅當(dāng)(A-DB-1C)可逆。

（2）根據(jù)定理1可知，H-1有兩種表示形式，但根據(jù)矩陣的逆具有唯一性知，這兩種形式表示的是同一矩陣，根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)元素相等的原則，立即可得（2）中的三個(gè)等式。

推論2已知矩陣A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，若A和B都是可逆矩陣，則

證明：根據(jù)推論1中的關(guān)于結(jié)論（1）的證明過程立即得推論2。

推論3A∈Cm×m是非奇異矩陣，u,v∈Cn×1，若滿足vHA-1u≠1，則

證明：令A(yù)=A，B=[1]，D=-u，C=vH，根據(jù)推論2中（2）的i的結(jié)論(A-DB-1C)=-1A-1+A-1D(B-CA-1D)-1CA，-1立即可得i

注：在文獻(xiàn)[2]的第10頁(yè)，推論3中結(jié)論稱為Sherman-Morrison公式,但文獻(xiàn)[2]未給出證明。

推論4A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，且A和B都是可逆矩陣，

證明：根據(jù)推論2中（2）的i的結(jié)論,注意將D換成-D,注意將B換成B-1,便得到本推論中結(jié)論。

注：推論4的結(jié)論也稱Woodbury公式[2],但文獻(xiàn)[2]沒給出證明。

2 應(yīng)用舉例

例1文獻(xiàn)[1]第57頁(yè)的93題的求解。問題為求本文引言部分的f(x)的根。

例2取自文獻(xiàn)[3]中47頁(yè)的兩個(gè)線性系統(tǒng)在反饋連接，系統(tǒng)Σ1=(A1,B1,C1)的傳遞函數(shù)為G1(s)，系統(tǒng)Σ2=(A2,B2,C2)的傳遞函數(shù)為G2(s)，系統(tǒng)那么整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

證明：文獻(xiàn)[3]僅僅給出了W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1的證明，但沒有給出W(s)=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)的證明。根據(jù)本文推論2中的結(jié)論（2）的iii:(A-DB-1C)-1DB=-1A-1D(B-CA-1D)，-1令A(yù)=I,D=W1(s),B=I,C=-W2，(s)立即可得W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文詳細(xì)研究了定理1中分塊矩陣H，并給出兩個(gè)H可逆的充分條件，分別給出H的逆矩陣表達(dá)形式，給出完整證明，以此得到了3個(gè)矩陣求逆的公式。這些結(jié)果以推論2的形式給出。特別地，根據(jù)推論3，推論4的結(jié)果，這就給出了兩個(gè)著名的矩陣求逆公式：Sherman-Morrison公式和Woodbury公式完整證明，而文獻(xiàn)[2]并沒有給出這些結(jié)果的證明。作者還查閱其他專著，尚未見這兩個(gè)公式的證明。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]也分析了Sherman-Morrison公式，做了一點(diǎn)推廣，通過對(duì)比可知，本文結(jié)果更一般化，文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]的結(jié)果是本文推論1和推論2的特例。作為應(yīng)用，本文給出了兩個(gè)例子，第一個(gè)例子采用本文結(jié)果，很簡(jiǎn)潔得得到文獻(xiàn)[1]中57頁(yè)第93題的正確結(jié)果，進(jìn)一步驗(yàn)證了文獻(xiàn)[1]中所給的結(jié)果是錯(cuò)誤的。第二個(gè)例子是作者給本科生上現(xiàn)代控制理論課程時(shí)發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[3]在47-48頁(yè)分析求輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣時(shí)，給出了兩個(gè)求解公式，但有一個(gè)公式以“同理可得”的方式給出，作者曾試圖求解，而未能得出?，F(xiàn)用本文的推論2便立即得出，有一種“撥開云霧見明月”之感。這也是寫此論文的一個(gè)初衷。