周海安

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

0 引 言

周期加肋板結(jié)構(gòu)作為一類重要的工程結(jié)構(gòu)形式，在艦船、機(jī)械、船舶及航空航天等領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛。加肋板結(jié)構(gòu)可以顯著提高艦船及船舶等設(shè)備的力學(xué)性能及有效抵抗航行時(shí)的水流沖擊作用，在船體的上、下層板及船側(cè)外板中加肋板結(jié)構(gòu)的應(yīng)用較為普遍，因而其結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的相關(guān)研究在工程應(yīng)用中具有重要作用，其中包含結(jié)構(gòu)的聲振耦合效應(yīng)。由于加肋板結(jié)構(gòu)聲振領(lǐng)域問(wèn)題的多樣性與復(fù)雜性，其結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)及相關(guān)聲學(xué)性質(zhì)是諸多工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。Lamb[1]，Maidanik[2]和Heckl[3]等對(duì)加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)或聲學(xué)特性進(jìn)行了早期相關(guān)研究。其中，Lamb 分析了點(diǎn)力激勵(lì)下的單周期加肋板的彎曲振動(dòng)；Maidanik 采用統(tǒng)計(jì)計(jì)算法分析了散射場(chǎng)內(nèi)加肋板的振動(dòng)響應(yīng)性質(zhì)，并探討了加強(qiáng)肋對(duì)結(jié)構(gòu)輻射阻抗的影響；Heckl 研究了單周期加肋板結(jié)構(gòu)的板內(nèi)彎曲波的傳播性質(zhì)，并分析了加強(qiáng)肋對(duì)板的阻尼作用以及彎曲波的衰減特性。

在周期結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的相關(guān)研究中，Mercer[4]較早采用傳遞矩陣法對(duì)單周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)性質(zhì)進(jìn)行了分析，Zhong 和Williams[5]則結(jié)合結(jié)構(gòu)的周期特性進(jìn)行分析，令其聲振問(wèn)題的分析求解更加簡(jiǎn)潔精確。Rumerman[5]分析了單周期加肋板的振動(dòng)響應(yīng)及板內(nèi)彎曲波的傳播特性，并在文獻(xiàn)中將周期加強(qiáng)肋的數(shù)學(xué)模型等效成周期線力和線矩。Mead[6-7]和Mace[8-9]基于諧波法，研究了單、雙周期加肋板在諧振力激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)及聲輻射特性。其中，Mead[7]分析了板內(nèi)彎曲波在傳播過(guò)程中由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)及聲輻射而導(dǎo)致的能量衰減損失，然而文獻(xiàn)中所提出的方法沒(méi)有實(shí)現(xiàn)加肋板與水流體的流固耦合作用。此后，基于有限元方法，Mead[10]研究了一維耦合周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)性質(zhì)，此方法在分析不同類型的周期結(jié)構(gòu)時(shí)具有顯著優(yōu)勢(shì)。結(jié)合離散傅里葉變換及結(jié)構(gòu)周期理論，Maxit[11]研究了單周期加肋板結(jié)構(gòu)在點(diǎn)力作用下的振動(dòng)響應(yīng)及輻射聲壓。Zhou 等[12]通過(guò)諧波法和格林函數(shù)分析了雙周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性及遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓。Lee 和Kim[13]則基于諧波法對(duì)單周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)及聲透射特性進(jìn)行了理論分析與計(jì)算。Legault 等[14]采用瑞利—李茲法(Rayleigh-Ritz method)等數(shù)學(xué)方法研究了周期加肋板結(jié)構(gòu)在點(diǎn)激勵(lì)、平面聲波激勵(lì)以及隨機(jī)激勵(lì)狀況下的振動(dòng)響應(yīng)及聲學(xué)特性。金葉青[15]等通過(guò)數(shù)值截?cái)嗟姆椒▽?duì)均勻流中考慮剪切變形的加肋層合板的聲振特性進(jìn)行了研究。此外，Dozio[16]、李凱[17]和周俊平[18]等通過(guò)半解析半數(shù)值的數(shù)學(xué)方法分析了加肋板的自由振動(dòng)或聲輻射特性。

對(duì)于無(wú)窮大模型的周期加肋板結(jié)構(gòu)，考慮到結(jié)構(gòu)的周期特性及流固耦合作用，在分析其相關(guān)聲振問(wèn)題時(shí)，可以在周期單元拓展分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合解析法或半解析法進(jìn)行研究。本文通過(guò)諧波法和單、雙重傅里葉變換相結(jié)合的方法對(duì)諧振激勵(lì)力作用下的周期正交加肋板的振動(dòng)性質(zhì)進(jìn)行理論分析，揭示了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)特性，并分析了加強(qiáng)肋作用對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

無(wú)窮大模型的正交周期加肋板結(jié)構(gòu)的上半空間充滿水流體，下半空間是空氣。在 x軸方向的加強(qiáng)肋沿直線 x=mLx周期分布，在 y軸方向的加強(qiáng)肋沿直線y=nLy周 期 分 布（ m,n=0,±1,···±∞ ）， Lx和 Ly分 別是2 個(gè)軸方向相鄰加強(qiáng)肋間的周期間距，周期加肋板的局部結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。

周期加肋板結(jié)構(gòu)受到隨時(shí)間 t周期變化的諧振激勵(lì)力f(x,y)exp(jωt)的作用，其函數(shù)方程式為

式中：

式中： Pf為激勵(lì)力幅值； ω為圓頻率； θ為激勵(lì)力與加肋板法向 z軸方向的夾角； φ為激勵(lì)力在 x-y平面上的分量與 x軸方向的夾角。

圖1 周期正交加肋板Fig. 1 Othogonally periodical rib-stiffened panel

加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為（為了簡(jiǎn)潔，均省略時(shí)間因子 exp(jωt)）：

式中： Eb, Ib,ρb, sb分別為加強(qiáng)肋的楊氏模量，慣性矩，質(zhì)量密度和橫截面面積。

可壓縮流體中加肋板的輻射聲壓 prad(x,y,z)滿足Helmholtz 方程，并滿足加肋板結(jié)構(gòu)與流體的邊界連續(xù)條件[10]

式中： ρ0為 水流體的質(zhì)量密度； c 為水流體中的聲速。

2 傅里葉變換分析

為便于分析求解方程(3)，這里將采用傅里葉變換。由傅里葉變換的定義可知，對(duì)滿足傅里葉變換條件的任意函數(shù) g(x,y)，其雙重傅里葉變換是

由泊松迭加公式，可得

由式(4)、式(7)和式(8)可得

同理可得

在式（10）～式（11）中

對(duì)式（5）和式（6）進(jìn)行傅里葉變換，整理可得

由諧波分析法可知，雙周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移可表達(dá)為如下方程形式[10]

對(duì)式(14)進(jìn)行傅里葉變換，可得

3 加肋板振動(dòng)方程的求解

對(duì)式（3）進(jìn)行傅里葉變換，并根據(jù)式（10）、式（11）和式（13），可得

由 δ函數(shù)的性質(zhì)，可知

因此，由式（9）和式（19）可得

由式(14)得到周期加肋板結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的周期關(guān)系

根據(jù)式（18）和式（20）間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并結(jié)合式（21），可得

由振動(dòng)位移式(14)可知，加肋板結(jié)構(gòu)沿 x=0直線上的振動(dòng)位移關(guān)于變量 y的單重傅里葉變換是

因此，根據(jù)式（9），式（22）和式（23）可得

同理可得

將式（24）及式（25）代入式（16）中，可以得到方程

根據(jù) δ函數(shù)的性質(zhì)，以及式(15)和(26)，可得

式(27)是未知量 Wmn關(guān)于 m和 n的線性方程組。要求解Wmn，則需要對(duì) m 和 n 進(jìn)行截?cái)啵?m,n=0,±1,···±Q，Q為最大截?cái)嗾麛?shù)項(xiàng)， Q必須保證加肋板振動(dòng)位移的計(jì)算結(jié)果收斂。將 Wmn的值代入方程式(14)中，從而求解得到周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移。

4 算例分析

在算例分析中， 所用到的物理參數(shù)為：ρ=ρb=7 700 kg/m3， ρ0=1 000 kg/m3，c=1 500 m/s，E=Eb=2.01×1011×(1+0.02)j Pa，v=0.3，h=0.005 m，Pf=1 000 N，k0=ω/c。加強(qiáng)肋的橫截面為矩形，其寬度為0.005 08 m，高度為0.0508m，Sb=0.005 08×0.050 8 m2，且 Ib=5.549 8×10-8。通過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)截?cái)囗?xiàng)參數(shù)Q=20時(shí)，振動(dòng)位移的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)收斂，誤差不超過(guò)1 %。

圖2 為薄板在激勵(lì)力頻率為 2 000 Hz，角度分別為θ=φ=π/4 和θ=π/4,φ=π/3 的情況下，在-1 ≤x,y ≤1區(qū)域的振動(dòng)位移。

圖2 薄板的振動(dòng)位移Fig. 2 Vibration displacement of the thin panel

圖3 為 周期 間距分別為L(zhǎng)x=Ly=0.2 和Lx=0.2,Ly=0.1的 加肋板在激勵(lì)力頻率為2 000 Hz，角度分別為θ=φ=π/4 和θ=π/4,φ=π/3的情況下，在-1 ≤x,y ≤1區(qū)域的振動(dòng)位移。

相對(duì)于圖2 中的薄板結(jié)構(gòu)，圖3 中的正交周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移具有顯著的二維周期特性，且由于加強(qiáng)肋的影響，加肋板的局部位置的振動(dòng)位移變化較大。薄板及加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)受激勵(lì)力的幅值和相位角影響。加肋板內(nèi)的振動(dòng)彎曲波傳播角度的變化方向由角度 φ決定，從圖3(a) 和圖3(c) 中可以看出當(dāng)φ=π/4 時(shí)，薄板中的彎曲波的傳播方向與 x 和 y軸成相同的夾角。此外，由于加強(qiáng)肋沿2 個(gè)軸方向的周期間距相等，因此3(a)中加肋板的振動(dòng)位移沿 x 和 y軸方向上是一致對(duì)應(yīng)的。當(dāng)相位角 φ或某一個(gè)坐標(biāo)軸上的加強(qiáng)肋的周期間距發(fā)生變化，如圖3（b）～圖3（d）所示，則加肋板沿 x 和 y軸方向的振動(dòng)位移將不再具有對(duì)稱特性。與角度 φ不同，角度 θ可以改變結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移幅值大小，但不會(huì)改變板內(nèi)彎曲波的傳播方向。

圖4 為薄板和周期間距分別是 Lx=Ly=0.2和Lx=Ly=0.4 的加肋板在諧振力頻率為1 00 ～6 000 Hz的范圍內(nèi)，在不同位置點(diǎn)處的振動(dòng)位移。

圖3 加肋板的振動(dòng)位移Fig. 3 Vibration of the rib-stiffened panel

由圖4 可知，薄板在 (0,0)點(diǎn)的振動(dòng)位移非常小，且在整個(gè)頻域區(qū)間其振動(dòng)位移變化極小。在 (0.2,0.4)和(0.4,0.4)位置點(diǎn)處，薄板的振動(dòng)位移隨頻率的增加其變化較為明顯，板內(nèi)彎曲波可以順利通過(guò)。加強(qiáng)肋在100 ～3 000 Hz 的范圍內(nèi)對(duì)薄板振動(dòng)的影響作用較為顯著。相對(duì)于薄板各點(diǎn)的振動(dòng)，加肋板結(jié)構(gòu)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的振動(dòng)位移波動(dòng)較大。當(dāng)增大加強(qiáng)肋的周期間距之后，加肋板結(jié)構(gòu)的位移曲線在較多頻率位置出現(xiàn)峰值或波谷，表明在一定范圍內(nèi)周期間距的增大將會(huì)導(dǎo)致加強(qiáng)肋在不同頻率處增強(qiáng)對(duì)薄板的振動(dòng)影響效果，并且由于加強(qiáng)肋周期間距的增大，使得加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移的峰值及波谷位置向低頻偏移。在高于 3 000 Hz 的頻率區(qū)間，加強(qiáng)肋對(duì)薄板的振動(dòng)響應(yīng)作用總體上減弱，加肋板振動(dòng)位移的波動(dòng)峰值減小，薄板與加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移曲線趨于一致。

圖4 不同位置點(diǎn)的振動(dòng)位移Fig. 4 Vibration displacements at different points

5 結(jié) 語(yǔ)

研究了流體負(fù)載下的正交周期加肋板結(jié)構(gòu)，在諧振力激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)。根據(jù)薄板和加強(qiáng)肋的邊界位移連續(xù)條件，以及泊松公式及傅里葉變換的應(yīng)用，建立了周期加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移方程。通過(guò)諧波法，將加肋板的振動(dòng)位移表達(dá)為關(guān)于無(wú)窮項(xiàng)諧波分量的迭加函數(shù)形式，并對(duì)諧波分量進(jìn)行有限項(xiàng)數(shù)值截?cái)嘤?jì)算，從而求解得到加肋板的振動(dòng)位移。在算例分析里，研究了加強(qiáng)肋對(duì)薄板振動(dòng)響應(yīng)的影響。計(jì)算結(jié)果表明，在所研究頻率范圍的較低頻域區(qū)間內(nèi)，加強(qiáng)肋對(duì)薄板的振動(dòng)響應(yīng)影響較為顯著，在中高頻域區(qū)間的影響效果明顯減弱。此外，適當(dāng)增大加強(qiáng)肋的周期間距將會(huì)導(dǎo)致加肋板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移在更多頻率位置出現(xiàn)振動(dòng)峰值或波谷。