崔培玲， 張國璽， 劉志遠(yuǎn)， 許 涵， 韓邦成

(北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191)

磁懸浮控制力矩陀螺是超靜衛(wèi)星平臺姿態(tài)控制的理想慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)[1-3]，而磁懸浮轉(zhuǎn)子(Magnetically Suspended Rotor, MSR)系統(tǒng)則是磁懸浮控制力矩陀螺的主要組成部分。在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量不平衡[4]和傳感器誤差[5]會在磁軸承勵磁線圈中產(chǎn)生諧波電流，從而造成諧波振動[6-7]。這種振動會通過陀螺基座傳遞到衛(wèi)星平臺，進(jìn)而對平臺上高精度的成像裝置產(chǎn)生不利影響[8]。因此，對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中諧波電流的抑制具有重要意義。

基于內(nèi)模原理的重復(fù)控制(Repetitive Control, RC)[9]，是一種能有效地消除周期性干擾信號，實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差的控制方法。通過將干擾信號的內(nèi)部模型嵌入到一個(gè)穩(wěn)定的反饋系統(tǒng)中，在基波和高次諧波頻率處產(chǎn)生無窮增益，從而達(dá)到抑制諧波的目的。目前RC已被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，如電力電子變換器[10]，電機(jī)驅(qū)動器[11]以及各種類型的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)[12-14]。為抑制磁懸浮電機(jī)主軸由于自身不平衡力和電機(jī)不平衡磁力產(chǎn)生的振動，Zhang等提出了一種復(fù)合重復(fù)控制方法，既可以抑制掉主軸本身由于不平衡力產(chǎn)生的振動，又可以消除電機(jī)控制電流中的諧波成分，取得了很好的實(shí)驗(yàn)效果。

然而，RC在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性。一方面，重復(fù)控制器長度N由系統(tǒng)采樣頻率和外界周期性干擾信號基頻的比值確定，在數(shù)字域中實(shí)現(xiàn)時(shí)，其物理意義為寄存器延時(shí)單元的個(gè)數(shù)。因此離散RC控制器的長度必須保證為整數(shù)。然而在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)采樣頻率往往固定不變，周期性干擾信號的基頻卻可能處于任意頻率段，這樣采樣頻率和基頻的比值就會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)。當(dāng)該比值為分?jǐn)?shù)時(shí)，現(xiàn)有的傳統(tǒng)重復(fù)控制器(Conventional RC, CRC)往往會對分?jǐn)?shù)就近取整近似作為控制器長度，但這樣會導(dǎo)致控制器對干擾信號的抑制性能嚴(yán)重下降[15]。為了解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)[16]根據(jù)基波頻率實(shí)時(shí)改變采樣率以保證兩者的比值為整數(shù)。然而這種方法大大增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜度和計(jì)算負(fù)擔(dān)，特別是當(dāng)諧波頻率在較大頻帶范圍內(nèi)變化時(shí)，此問題更加突出。文獻(xiàn)[17-18]則通過將控制器延時(shí)的分?jǐn)?shù)部分用拉格朗日插值多項(xiàng)式組成的有限脈沖響應(yīng)濾波器(Finite-Impulse-Response, FIR)近似代替，取得了良好的近似效果。這種方法對控制器計(jì)算能力要求不高，適用于大多數(shù)的控制系統(tǒng)。

另一方面，在系統(tǒng)帶寬范圍內(nèi)，CRC均等地抑制所有諧波頻率點(diǎn)處的諧波分量。然而在實(shí)際系統(tǒng)中，諧波通常只集中在一些特定的諧波頻率點(diǎn)處而非整個(gè)頻帶。例如，在磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，諧波分量通常并不均勻分布，低頻諧波分量往往表現(xiàn)為主導(dǎo)諧波。因此僅抑制特定頻率處的諧波分量，或者僅針對某些頻率處的主導(dǎo)諧波分量，就能達(dá)到預(yù)期的控制目的。同時(shí)，由于控制系統(tǒng)采樣頻率一般很高，干擾信號基頻相對較低，導(dǎo)致CRC控制器長度一般很長，其輸出更新所需要的時(shí)間就會很長，導(dǎo)致其動態(tài)響應(yīng)相對很慢，不能很好地滿足控制系統(tǒng)快響應(yīng)的要求。

諧振控制[19]，以及基于離散傅里葉變換的RC[20]等控制方法可以對主導(dǎo)諧波進(jìn)行選擇性抑制，從而加速收斂過程。然而，這些控制器的設(shè)計(jì)比較復(fù)雜,計(jì)算負(fù)擔(dān)也相對很大。文獻(xiàn)[21-22]提出了一種并行結(jié)構(gòu)的重復(fù)控制策略，以實(shí)現(xiàn)選擇性諧波抑制，加速動態(tài)收斂過程，同時(shí)其計(jì)算量相較于CRC沒有增加。但是以電力電子系統(tǒng)中為應(yīng)用背景提出的這種控制策略，不能直接應(yīng)用于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。首先，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的精確模型未知，并且由于系統(tǒng)的不確定性和強(qiáng)未知干擾，使系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的相位補(bǔ)償器不能參考Lu等研究中的電力電子系統(tǒng)一般取作逆系統(tǒng)。其次，當(dāng)重復(fù)控制器插入到原閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有的不穩(wěn)定性，控制系統(tǒng)易失穩(wěn)甚至陷入崩潰。因此，需要設(shè)計(jì)合適的系統(tǒng)補(bǔ)償器保持整個(gè)系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定。同時(shí)，Lu等僅通過在頻域內(nèi)進(jìn)行極點(diǎn)配置給出了并行結(jié)構(gòu)重復(fù)控制的傳遞函數(shù)，繼而通過極點(diǎn)位置說明這種結(jié)構(gòu)在相應(yīng)的頻率處可以產(chǎn)生無窮增益，由此消除對應(yīng)頻率處的諧波分量，而并沒有對時(shí)域周期信號進(jìn)行理論分析，從而給出其信號內(nèi)模。

基于上述分析，本文提出了一種通用選擇性分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器(Universal Selective Fractional Repetitive Controller, USFRC)，對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的諧波電流進(jìn)行選擇性抑制。相較于傳統(tǒng)重復(fù)控制器，這種控制器的動態(tài)響應(yīng)明顯加快，同時(shí)沒有增加額外的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)復(fù)雜性，并且可以根據(jù)實(shí)際控制需求靈活變換為現(xiàn)有各種形式的RC控制器。

本文首先建立了kn+i階離散周期序列的信號發(fā)生器，它能補(bǔ)償kn+i階周期諧波信號；其次，給出了USFRC控制器一般形式及其在MSR系統(tǒng)中的穩(wěn)定判據(jù)；然后，針對MSR系統(tǒng)和穩(wěn)定性判據(jù)，給出了一種相位補(bǔ)償策略；最后，對該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

本文中所用的符號均是標(biāo)準(zhǔn)符號。為了簡化，H(z)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejωTs用H(ω)代替。

1 通用選擇性分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器

1.1 kn+i階序列的內(nèi)模

對于一個(gè)周期為N∈的離散時(shí)間序列x(m)∈，如果它只包含kn+i次諧波分量，其中N=T0/Ts，T0為其基波周期，Ts為系統(tǒng)采樣周期；k,n和i∈，0≤i

定理1周期序列x(m)是一個(gè)kn+i階諧波序列的充要條件是等式e±j2πi/nx(m)=x(m±N/n)成立。證明：

1) 充分性。對于只包含kn+i次諧波分量的離散周期序列x(m)，可表示為如下的傅里葉級數(shù)形式

(1)

式中：cl為傅里葉級數(shù)系數(shù)，進(jìn)一步可表示為

(2)

由于x(m)只包含kn+i次諧波分量，則當(dāng)l=kn+i時(shí)，cl≠0；l≠kn+i時(shí)，cl=0。則有

(3)

2) 必要性。假設(shè)離散周期序列x(m)滿足

(4)

證畢。

假設(shè)有一周期序列x1(m)滿足

(5)

令σi=ej2πi/n，根據(jù)定理1，有

(6)

則x(m)可以重寫為

(7)

式(7)經(jīng)z變換得

(8)

如果x1(m)只包含kn+i次諧波分量，根據(jù)定理1，可以得到x1(m)=σix1(m-N/n)，經(jīng)z變換可得

X1(z)=σiz-N/nX1(z)

(9)

因此

(10)

式中：Gkn+i(z)為kn+i階諧波序列內(nèi)模的脈沖傳遞函數(shù)，其極點(diǎn)位于j(kn+i)ω0，ω0=2πT0為基波角頻率。

注意到，當(dāng)n和i取不同值時(shí)，Gkn+i(z)可以得到不同的內(nèi)模。例如，當(dāng)n=1，i=0時(shí)，Gkn+i(z)為傳統(tǒng)RC內(nèi)模；當(dāng)n=2，i=1時(shí)，為奇次RC內(nèi)模[23]；當(dāng)n=2，i=0時(shí)，為偶次RC內(nèi)模[24]；當(dāng)n=6，i=1時(shí)，為6k+1 RC內(nèi)模；以此類推。很明顯，本文提出的kn+i階RC內(nèi)模Gkn+i(z)是各種現(xiàn)有RC內(nèi)模的一種通用形式。

圖1為kn+i階諧波信號內(nèi)模結(jié)構(gòu)框圖。

圖1 kn+i階諧波序列內(nèi)模Gkn+i(z)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The diagram of the internal model Gkn+i(z) of the kn+i order harmonic sequence

值得注意的是，如圖1所示，數(shù)字控制器Gkn+i(z)是由N/n個(gè)寄存器延時(shí)單元來實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)N/n是整數(shù)，也即一個(gè)信號周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)N可由n整除時(shí)，控制器Gkn+i(z)可以完全抑制kn+i次諧波分量。然而在實(shí)際MSR系統(tǒng)中，采樣頻率往往固定不變，若使得N/n為整數(shù)，和諧波周期密切相關(guān)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速就會被限制在某些特定區(qū)域。否則，N/n就會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，進(jìn)而導(dǎo)致其抑制精度降低。同時(shí)，在這種情況下，系統(tǒng)原有的穩(wěn)定性有可能會被破壞。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于轉(zhuǎn)速會在較大范圍內(nèi)變化，N/n通常都會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)情況。為保證控制器的抑制性能不發(fā)生嚴(yán)重下降，需要對分?jǐn)?shù)部分做出適當(dāng)處理。目前主要有兩類方法：一類方法，如Kimura等所述，通過實(shí)時(shí)改變系統(tǒng)采樣周期使得N/n為整數(shù)，但是該方法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜程度和計(jì)算成本都會顯著增加，尤其當(dāng)轉(zhuǎn)速在大范圍內(nèi)變化時(shí)；另一類方法，通過利用拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)成的FIR濾波器來近似分?jǐn)?shù)部分，這種方法計(jì)算成本有限，近似程度較高，可很好的解決分?jǐn)?shù)部分帶來的系統(tǒng)性能下降的問題，適用于有限計(jì)算能力情況下的工程應(yīng)用。

一般地，本文中N/n看作分?jǐn)?shù)，采用由拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)成的FIR濾波器實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)部分的近似。

1.2 通用選擇性分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器

圖1為一種理想狀況下的kn+i階重復(fù)控制器內(nèi)模，由于Gkn+i(z)在單位圓上產(chǎn)生的無窮極點(diǎn)，導(dǎo)致控制器本身具有潛在的不穩(wěn)定性。同時(shí)系統(tǒng)模型和參數(shù)的不確定性以及高頻擾動分量等諸多因素可能導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，通常采用濾波器來提高整個(gè)系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的穩(wěn)定性。此外，還引入內(nèi)?？刂圃鲆嬲{(diào)節(jié)系統(tǒng)魯棒性和瞬態(tài)響應(yīng)。

圖2中從i(z)～ic(z)的USFRC控制器的傳遞函數(shù)可以表示為

CUSFRC(z)=[k0G0(z)+…+kiGi(z)+…+krGr(z)]C(z)

(11)

分?jǐn)?shù)階部分z-A可由拉格朗日插值多項(xiàng)式構(gòu)成的FIR濾波器H(z)近似。具體地

(12)

圖2 通用選擇性分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 The block diagram of the proposed USFRC

1.3 穩(wěn)定性分析

本文所研究的MSR系統(tǒng)的控制框圖如圖3所示，USFRC控制器通過插入方式連接到磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的反饋回路中。圖中，Gc(z)為反饋控制器，保證了初始閉環(huán)MSR系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一般為PID控制器；Gw(z)和Gp(z)分別為功率放大器和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；ks為位移傳感器的增益；r(z)為給定的轉(zhuǎn)子位置參考信號；xd(z)為等效的轉(zhuǎn)子質(zhì)量不平衡和傳感器諧波干擾信號；i(z)為功率放大器輸出的控制電流信號，其中包含不必要的諧波成分；ic(z)為經(jīng)過USFRC控制器處理后的電流信號。

如圖3所示，系統(tǒng)函數(shù)可以定義為

(13)

定義C(z)的頻率特性為C(ω)=Ac(ω)ejθc(ω)，其中Ac(ω)為幅值，θc(ω)為相角。同樣地，F(xiàn)(ω)=Af(ω)ejθf(ω)，其中Af(ω)為幅值，θf(ω)為相角；Q(ω)=Aq(ω)ejθq(ω)，其中Aq(ω)為幅值，θq(ω)為相角。根據(jù)上述定義，記M(ω)=Ac(ω)Af(ω)Aq(ω)和θ(ω)=θc(ω)+θf(ω)+LωTs，可以得到

圖3 USFRC-MSR控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Plug-in USFRC-controlled MSR system

(14)

基于上述變量定義，可以得到如下穩(wěn)定性判據(jù)：

(15)

以及

90°<θ(ω)<270°

(16)

證明：

圖3所示的閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(17)

其中，

(18)

FIR濾波器H(z)可以表示為

(19)

令z=|z|ejωTs，|z|=a，可以得到

(20)

(21)

如果(bcosθi-1)≥0，有

(22)

如果(bcosθi-1)<0，?|z|=a≥1，有

(23)

由此，?|z|=a≥1，可以得到

(24)

因此

(25)

則系統(tǒng)閉環(huán)特征方程可以寫為

(26)

假設(shè)式(26)中虛部為零，由cosθ(ω)<0，有

(27)

由式(27)可知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(z)所有極點(diǎn)pi(i=0,1,2,…,r)均位于單位圓內(nèi)。由于ki以及M(ω)在實(shí)際控制系統(tǒng)中均為正值，因此如果條件式(15)成立，則條件式(16)一定成立。

2 仿真結(jié)果和分析

2.1 仿真參數(shù)

本文利用Cui等研究中的磁懸浮轉(zhuǎn)子控制系統(tǒng)模型作為算例驗(yàn)證USFRC控制算法的可行性和有效性。其中控制器Gc(z)，Gp(z)以及Gw(z)可由下列Gc(s)，Gp(s)以及Gw(s)的表達(dá)式經(jīng)過Tustin變換離散化得到，離散時(shí)間為系統(tǒng)采樣時(shí)間Ts

仿真參數(shù)如表1所示。

表1 磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

2.2 相位補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

圖4所示為系統(tǒng)函數(shù)F(z)的伯德圖，系統(tǒng)初始相位θf(ω)∈(-90°,270°)。根據(jù)相位穩(wěn)定條件式(16)，需要合理設(shè)計(jì)相位補(bǔ)償器以使得系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖4 系統(tǒng)函數(shù)F(z)的伯德圖Fig.4 Phase bode plot of F(z)

相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)可分為兩部分：C(z)以及L(z)。C(z)補(bǔ)償系統(tǒng)的中低頻相位，L(z)補(bǔ)償系統(tǒng)高頻部分的相位滯后。本文中考慮轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為60 Hz，主導(dǎo)諧波電流一般出現(xiàn)在1次、2次、3次、5次以及7次諧波頻率處?？紤]到系統(tǒng)不確定性以及噪聲的影響，系統(tǒng)截止頻率ωc設(shè)計(jì)為6 230 rad/s (1 000 Hz)，因此只需要考慮系統(tǒng)函數(shù)F(z)在(0, 1 000) Hz內(nèi)的相位特性。

從圖4可以看出，當(dāng)頻率為6 230 rad/s時(shí)，系統(tǒng)相位大約是-90°，為了滿足相位穩(wěn)定條件式(16)，需要滿足

180°

(28)

即

2.5

(29)

由于L為整數(shù)，本文中L取值為4。同時(shí)，根據(jù)Cui等的研究可以得到下列補(bǔ)償器C(z)

(30)

圖5給出了經(jīng)過相位補(bǔ)償后的系統(tǒng)函數(shù)與原始系統(tǒng)函數(shù)的相位伯德圖。在頻率范圍ω∈(0,ωc)內(nèi)，由圖5可得補(bǔ)償后的系統(tǒng)相位θ(ω)∈(138.8°,216.7°)，因此有min|cosθ(ω)|=0.76。圖6給出了相位補(bǔ)償后的系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。從圖中可以得到，max{F(ω)C(ω)}=max{M(ω)}=1.6 dB。

圖5 相位-頻率響應(yīng)Fig.5 Phase-frequency diagram

進(jìn)一步地，考慮到系統(tǒng)魯棒性，定義系統(tǒng)模型的不確定度為Δ(z)，且滿足|Δ(z)|≤ρ，其中ρ為一個(gè)正的常數(shù)。假設(shè)Δ(z)是穩(wěn)定的，則根據(jù)文獻(xiàn)[25]，穩(wěn)定條件式(15)可以重寫為

(31)

圖6 相位補(bǔ)償后系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)Fig.6 Magnitude-frequency diagram of C(z)L(z)F(z)

2.3 仿真結(jié)果和分析

仿真中，設(shè)置諧波電流基波頻率f0為60 Hz。圖7為磁懸浮轉(zhuǎn)子仿真系統(tǒng)產(chǎn)生的諧波電流時(shí)域圖，圖8為其頻域圖。

圖7 無RC控制器時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的諧波電流(時(shí)域)Fig.7 The current under the initial closed-loop system without RC controller (time-domain)

圖8 無RC控制器時(shí)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的諧波電流(頻域)Fig.8 The current under the initial closed-loop system without RC controller (frequency-domain)

從圖8可以看出，在頻率范圍ω∈(0,ωc)內(nèi)，相較于其他頻率點(diǎn)處的諧波分量，1次、2次、3次、5次以及7次諧波分量有更大的幅值，約占控制電流諧波成分的99%。因此8k+i次諧波分量為主導(dǎo)諧波，其中n=8，且主導(dǎo)諧波最高階次r=7。為抑制上述主導(dǎo)諧波，由圖2可知，至少需要5個(gè)內(nèi)?？刂破鞑⒙?lián)。在仿真中，分別選取i為1，2，3，5和7構(gòu)成USFRC控制器。

為了驗(yàn)證本文所提出的USFRC控制器的有效性，將USFRC與Xu等研究中的重復(fù)控制器進(jìn)行了對比。由圖7可知諧波信號1次諧波的幅值是最大的，其次是2次和3次諧波，幅值相對較小的是5次和7次諧波。一般地，控制增益越大，其對應(yīng)內(nèi)?？刂破鲃討B(tài)性能越好。因此，為了使系統(tǒng)穩(wěn)定以及獲得更好的收斂性能，由前所述，支路增益應(yīng)滿足k1+k2+k3+k5+k7≤0.86，k1>k2≥k3>k7≥k5。仿真中，實(shí)際選取增益和k1+k2+k3+k5+k7=0.8。

圖9給出了諧波電流在時(shí)域內(nèi)的瞬態(tài)響應(yīng)。具體地，圖9(a)為加入Xu等研究中所述傳統(tǒng)重復(fù)控制器后電流的瞬態(tài)響應(yīng)，當(dāng)諧波電流收斂到6 mA附近時(shí)，其收斂時(shí)間為0.5 s；圖9(b)和圖9(c)為加入本文提出的USFRC控制算法后電流的瞬態(tài)響應(yīng)，其中圖9(b)中USFRC控制器的支路增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=1∶1∶1∶1∶1，其收斂時(shí)間為0.28 s；圖9(c)中USFRF控制器的支路增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=12 ∶3 ∶3 ∶1 ∶1，其收斂時(shí)間為0.2 s。

圖9 不同控制器的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.9 The transient response of different controllers

由圖9可以看出，USFRC控制器相較于傳統(tǒng)的重復(fù)控制器有更快的收斂速率。進(jìn)一步，通過對比圖9(b)和圖9(c)，說明了根據(jù)諧波電流中各次諧波的幅值大小相應(yīng)地選擇合適的增益可以加快控制器諧波收斂速率。

圖10給出了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的諧波電流的頻譜圖。如圖10(a)所示，當(dāng)加入Xu等研究中的重復(fù)控制器時(shí)，相較于圖8，諧波電流中1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值明顯下降，下降幅度分別為98.8%(從-26.37～-64.6 dB)，96.6%(從-46.96～-76.36 dB)，96.4%(從-50.17～-79.22 dB)，86.6%(從-56.56～-73.99 dB)以及91.1%(從-55～-76.02 dB)。

圖10(b)為加入增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=1 ∶1 ∶1 ∶1 ∶1的USFRC控制器后諧波電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻譜圖。其中，1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值下降幅度分別為99.4%(從-26.37～-71.41 dB)，96.9%(從-46.96～-77.03 dB)，97%(從-50.17～-80.55 dB)，90.6%(從-56.56～-77.12dB)以及94.6%(從-55～-80.39 dB)。

圖10(c)為加入增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=12 ∶3 ∶3 ∶1 ∶1的USFRC控制器后諧波電流穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻譜圖。其中，1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值分別下降了99.6%(從-26.37～-74.72 dB)，97.1%(從-46.96～-77.67 dB)，97%(從-50.17～-80.72 dB)，92.8%(從-56.56～-79.45 dB)以及96.6%(從-55～-84.48 dB)。

圖10 不同控制器的抑制精度Fig.10 The suppression precision of different controllers

從圖10可以看出，通用選擇分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器USFRC控制器可以達(dá)到較高的收斂精度。進(jìn)一步，對比圖10(b)和圖10(c)，說明了控制增益的不同選取不會影響控制器最終的收斂精度。

由以上結(jié)果可知，針對MSR系統(tǒng)，本文提出的通用選擇分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制器USFRC控制器可以加快瞬態(tài)響應(yīng)，同時(shí)可以達(dá)到較高的抑制精度。這種控制器通過建立各個(gè)主導(dǎo)諧波的信號內(nèi)模，采用多個(gè)控制器并聯(lián)的形式在主導(dǎo)諧波處提供無窮增益控制實(shí)現(xiàn)了快速高精度抑制主導(dǎo)諧波。

3 結(jié) 論

本文對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中主導(dǎo)諧波的快速高效抑制進(jìn)行了研究，建立了kn+i階離散周期序列的內(nèi)模，提出了一種針對低次主導(dǎo)諧波的通用選擇分?jǐn)?shù)階重復(fù)控制USFRC。這種控制策略采用并行結(jié)構(gòu)獨(dú)立抑制各次主導(dǎo)諧波，加快了瞬態(tài)響應(yīng)；為了保證轉(zhuǎn)子在任意轉(zhuǎn)速下的高精度諧波抑制，引入FIR濾波器實(shí)現(xiàn)了頻率的自適應(yīng)。同時(shí)，本文給出了USFRC控制器的穩(wěn)定性判據(jù)。仿真驗(yàn)證對比結(jié)果表明，采用USFRC控制器可以實(shí)現(xiàn)快速高精度的諧波抑制效果。