陳 鵬, 涂亞慶, 李 明, 張海濤

(陸軍勤務(wù)學(xué)院 軍事物流系，重慶 401311)

實(shí)信號(hào)的頻率估計(jì)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信與儀表裝置等領(lǐng)域，具有重要的理論研究意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[1-2]。例如，線性調(diào)頻連續(xù)波(Linear Frequency Modulation Continuous Wave, LFMCW)雷達(dá)就是通過(guò)估計(jì)采樣信號(hào)的頻率來(lái)測(cè)量目標(biāo)距離。因此，提高采樣信號(hào)的頻率估計(jì)精度有利于改善LFMCW雷達(dá)的測(cè)距精度[3]。

目前，針對(duì)實(shí)信號(hào)的頻率估計(jì)算法得到了廣泛研究，主要可分為時(shí)域法和頻域法兩類(lèi)。時(shí)域法主要是基于信號(hào)自相關(guān)的頻率估計(jì)算法，如擴(kuò)展自相關(guān)法、相頻匹配法等。頻域法主要是基于DFT(Discrete Fourier Transform)的頻譜分析法，如極大似然法，加窗插值法等。

文獻(xiàn)[4]提出一種基于擴(kuò)展自相關(guān)的頻率估計(jì)算法，該算法采用粗估計(jì)和精估計(jì)兩步法估計(jì)頻率。首先對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行兩次自相關(guān)計(jì)算，得到頻率粗估計(jì)值，然后根據(jù)最小二乘法構(gòu)造誤差函數(shù)，通過(guò)最小化誤差函數(shù)得到頻率精確估計(jì)值。該算法提高了頻率估計(jì)精度，但受信號(hào)非整周期采樣影響，且在中高信噪比時(shí)，估計(jì)精度較低。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5]提出一種相頻匹配頻率估計(jì)算法，首先利用兩步自相關(guān)法進(jìn)行頻率粗估計(jì)，消除信號(hào)非整周期采樣的影響，然后生成參考信號(hào)，并利用柯西不等式構(gòu)造誤差函數(shù)，通過(guò)最小化誤差函數(shù)實(shí)現(xiàn)頻率精估計(jì)。該算法克服了信號(hào)非整周期采樣的影響，但運(yùn)算量大，實(shí)時(shí)性差，不利于實(shí)際應(yīng)用。

時(shí)域法易受信號(hào)非整周期采樣影響，抗干擾性不強(qiáng)，或計(jì)算量較大，實(shí)時(shí)性較差。而頻域法容易借助硬件實(shí)現(xiàn)，計(jì)算速度快，且具有更好的抗噪性，受到了廣泛的研究[6]。

在高斯白噪聲背景下，極大似然法通過(guò)尋找信號(hào)周期圖上最大值點(diǎn)來(lái)計(jì)算信號(hào)頻率[7]。該算法在處理復(fù)信號(hào)時(shí)，其估計(jì)效果最好，但計(jì)算量大，不利于實(shí)際應(yīng)用。當(dāng)處理實(shí)信號(hào)時(shí)，受信號(hào)中負(fù)頻率成分的影響，在中高信噪比條件下的頻率估計(jì)精度降低。文獻(xiàn)[8]通過(guò)加窗來(lái)抑制實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分的影響，并采用頻譜插值來(lái)減少信號(hào)頻譜泄露，降低了負(fù)頻率的影響，但當(dāng)信號(hào)頻率較低時(shí)，受窗函數(shù)主瓣干涉的影響，頻率估計(jì)精度較低，存在估計(jì)偏差。文獻(xiàn)[9]提出一種濾除負(fù)頻率成分的頻率估計(jì)算法，通過(guò)粗估計(jì)信號(hào)頻率生成參考信號(hào)，并與采樣信號(hào)相乘實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，以濾除直流分量的形式降低負(fù)頻率的影響，并采用高精度的復(fù)信號(hào)頻率估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)，該算法計(jì)算量低，精度較好，但在低頻與高信噪比時(shí)，頻率估計(jì)精度較低。

針對(duì)頻域法易受實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分影響的問(wèn)題，本文在頻譜分析法的基礎(chǔ)上，提出一種實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換頻率估計(jì)算法，給出算法原理和計(jì)算的具體流程，并進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 頻域法分析

1.1 信號(hào)模型

采樣信號(hào)模型如式(1)所示。

x(n)=acos(ωn+θ)+z(n)n=0, 1, …,N-1

(1)

式中：ω=2πf/fs為信號(hào)圓周頻率，f與fs分別為信號(hào)的模擬頻率和采樣頻率，由采樣定理可知fs>2f，則ω∈(0,π)，rad；a>0和θ∈(-π,π)分別為采樣信號(hào)的幅度和初相位；N為信號(hào)長(zhǎng)度；z(n)為均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲；采樣信號(hào)的信噪比為SNR=a2/2σ2。

在頻譜分析中，采樣信號(hào)頻率可用式(2)表示

ω(k0+δ)ωs

(2)

式中：ωs為頻率分辨率，ωs=2π/N；k0為信號(hào)頻譜中能量最大值點(diǎn)，k0=[ωN/2π]；[t]為取最接近于t的整數(shù)；δ為頻率偏差，-0.5≤δ≤0.5。

1.2 存在問(wèn)題分析

根據(jù)歐拉公式

acos(ωn+θ)=Aeiωn+A*e-iωn

(3)

式中：A為復(fù)幅值，A=0.5aeiθ;A*=0.5ae-iθ,A與A*互為共軛。

從式(3)可以看出：無(wú)噪實(shí)正弦信號(hào)含有正頻率和負(fù)頻率兩種頻率成分。由于二者相互影響疊加，使得頻率估計(jì)時(shí)存在偏差。

對(duì)x(n)進(jìn)行DTFT計(jì)算

(4)

當(dāng)ω=kωs時(shí)，即δ=0，|X+|取得最大值，受負(fù)頻率成分的疊加影響，|X|不能取得最大值。因此，用頻域法估計(jì)頻率存在偏差。當(dāng)ω≠kωs時(shí)，即δ≠0，|X+|不能取得最大值，受負(fù)頻率成分的影響，|X|也不能取得最大值，因此頻率估計(jì)存在偏差，且實(shí)際應(yīng)用中δ常常不為0。

對(duì)于各類(lèi)頻率估計(jì)算法的性能，可用統(tǒng)計(jì)信號(hào)的無(wú)偏估計(jì)下限(克拉美羅下限(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB))來(lái)檢驗(yàn)[10]。單頻實(shí)信號(hào)的頻率估計(jì)下限為

(5)

2 實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換頻率估計(jì)算法

為消除實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分的影響，本文提出一種基于迭代插值的實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換頻率估計(jì)算法。下面分別從算法原理和具體算法兩方面進(jìn)行介紹。

2.1 算法原理

所提算法的核心思想是將實(shí)信號(hào)轉(zhuǎn)換為復(fù)信號(hào)，再對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行處理，以消除實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分的影響，其原理如圖1所示。

首先，將采樣信號(hào)進(jìn)行90°相移，生成正交分量。然后，將采樣信號(hào)與其正交分量合成為復(fù)信號(hào)，實(shí)現(xiàn)實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換，以減少實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分對(duì)頻率估計(jì)的影響。

圖 1 算法原理Fig.1 Algorithm schematic diagram

最后，采用迭代插值估計(jì)算法對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行頻率精估計(jì)，重新生成采樣信號(hào)的正交分量和復(fù)信號(hào)。再對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行處理，以極大程度地消除實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分對(duì)頻率估計(jì)的影響，最終得到頻率的精確估計(jì)值。

2.2 頻率估計(jì)算法

2.2.1 頻率粗估計(jì)

首先，利用FFT算法對(duì)采樣信號(hào)x0(n)進(jìn)行預(yù)處理，得到頻率粗估計(jì)值。

(6)

(7)

(8)

2.2.2 頻率精估計(jì)

采用復(fù)信號(hào)中的AM迭代算法思想[11]，利用式(9)～式(15)完成信號(hào)的頻率精估計(jì)。

(9)

(10)

(11)

利用式(12)與式(13)對(duì)合成的復(fù)信號(hào)進(jìn)行頻譜兩點(diǎn)插值，求取信號(hào)頻率偏差。

(12)

(13)

根據(jù)頻率偏差，利用式(14)計(jì)算信號(hào)頻率值。

(14)

2.3 算法流程

綜上所述，基于迭代插值的實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換頻率估計(jì)算法的計(jì)算流程如下：

步驟1利用式(6)與式(7)對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行頻率粗估計(jì)，并利用式(8)生成參考信號(hào)；

步驟2利用式(9)實(shí)現(xiàn)采樣信號(hào)90°相移，得到其正交分量，并利用式(10)實(shí)現(xiàn)實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換，得到復(fù)信號(hào)；

步驟3利用式(12)和式(13)計(jì)算信號(hào)頻率偏差，利用式(14)得到較精確的頻率估計(jì)值；

步驟4重復(fù)步驟2和步驟3，得到精確的頻率估計(jì)值。

3 計(jì)算驗(yàn)證

不失一般性，在仿真時(shí)，實(shí)信號(hào)的幅度設(shè)為1，初相位θ∈(-π,π)隨機(jī)取值，每組實(shí)驗(yàn)各進(jìn)行1 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。RCSD法與本文算法均屬于迭代插值算法，均采取2次迭代，即I=2。

3.1 不同信噪比

為說(shuō)明所提算法在不同信噪比下的頻率估計(jì)性能，設(shè)N=64，ω=2π/9，在SNR由0 dB以步長(zhǎng)2 dB遞增到70 dB的條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同信噪比下的頻率估計(jì)結(jié)果Fig.2 Frequency estimation results on different SNRs

從圖2中可以看出：EA法在低信噪比時(shí)的估計(jì)精度較好，當(dāng)SNR>10 dB時(shí)，估計(jì)效果逐漸飽和，估計(jì)精度最差。SINW法在中低信噪比下的估計(jì)精度較好，但與CRLB存在約4 dB的偏差，當(dāng)SNR>50 dB時(shí)，估計(jì)精度逐漸飽和；MPHD法在低信噪比下的估計(jì)精度較差，當(dāng)SNR>8 dB時(shí)，其估計(jì)精度隨信噪比的增加而提高，與CRLB存在約1 dB的偏差；RCSD法在低信噪比下具有較高的估計(jì)精度，接近CRLB，優(yōu)于MPHD法，但當(dāng)SNR>44 dB時(shí)，其估計(jì)效果逐漸趨于飽和；本文算法在整個(gè)信噪比范圍內(nèi)均具有高精度估計(jì)性能，始終接近于CRLB，優(yōu)于EA法、SINW法以及MPHD法，當(dāng)SNR<40 dB時(shí)，本文算法與RCSD法具有相當(dāng)?shù)墓烙?jì)性能，當(dāng)SNR>40 dB時(shí)，本文算法優(yōu)于RCSD法，且隨著信噪比的增加，本文算法的優(yōu)勢(shì)更加明顯。

3.2 不同信號(hào)頻率

為說(shuō)明所提算法在不同頻率下的頻率估計(jì)性能，設(shè)N=64,SNR= 40 dB，在頻率由0.04π以步長(zhǎng)0.02π遞增到π的條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

從圖3中可以看出：EA法受信號(hào)非整周期采樣影響嚴(yán)重，估計(jì)效果呈波動(dòng)狀態(tài)，差于其他幾種算法；SINW法在0.04π～0.84π頻率范圍內(nèi)的估計(jì)效果大致相當(dāng)，優(yōu)于EA法，與CRLB存在約3.5 dB的偏差，當(dāng)頻率大于0.84π時(shí)，其估計(jì)精度隨頻率增加而逐漸降低；MPHD法在頻率為0.04π～0.9π時(shí)，估計(jì)精度較高，優(yōu)于EA法和SINW法，與CRLB存在約1 dB的偏差，當(dāng)頻率大于0.9π時(shí)，估計(jì)精度降低；RCSD法在頻率范圍為0.18π～0.82π時(shí)的估計(jì)精度均優(yōu)于MPHD法，當(dāng)頻率低于0.18π或高于0.82π時(shí)，RCSD法的估計(jì)精度低于MPHD法與本文算法；本文算法在0.04π～0.9π內(nèi)的估計(jì)精度最高，優(yōu)于其他幾種算法，更加接近CRLB，當(dāng)頻率大于0.9π時(shí)的估計(jì)精度略低于MPHD法。

圖3 不同頻率下的頻率估計(jì)結(jié)果Fig.3 Frequency estimation results on different frequencies

3.3 不同頻率偏差

為說(shuō)明所提算法在不同頻率偏差下的頻率估計(jì)性能，設(shè)N=128,SNR=40 dB，k0=4，在δ由-0.5以步長(zhǎng)0.025遞增到0.5的條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出：EA法、SINW法與RSCD法的估計(jì)結(jié)果受頻率偏差影響較大，呈波動(dòng)狀態(tài)，EA法在δ=±0.25時(shí)，估計(jì)效果最好；SINW法在δ=±0.5和δ=0.1時(shí)，估計(jì)效果最好；RCSD法優(yōu)于EA法與SINW法；MPHD法與本文算法的性能優(yōu)于其他幾種算法，更接近CRLB，當(dāng)頻率偏差為-0.25≤δ≤0.25時(shí)，MPHD法優(yōu)于本文算法，當(dāng)頻率偏差為-0.5≤δ≤-0.25與0.25≤δ≤0.5時(shí)，本文算法優(yōu)于MPHD法。

圖4 不同頻率偏差下的頻率估計(jì)結(jié)果Fig.4 Frequency estimation results on different frequency offsets

3.4 不同信號(hào)長(zhǎng)度

為說(shuō)明所提算法在不同信號(hào)長(zhǎng)度下的頻率估計(jì)性能，設(shè)SNR=40 dB，ω=0.146π，在N由32以步長(zhǎng)8遞增到256的條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同信號(hào)長(zhǎng)度下的頻率估計(jì)結(jié)果Fig.5 Frequency estimation results on different signal lengths

從圖5中可以看出：EA法受信號(hào)非整周期采樣的影響，估計(jì)效果差于其他方法，且呈周期性波動(dòng)；SINW法優(yōu)于EA法，與CRLB存在約3.5 dB的偏差；MPHD法的估計(jì)精度隨信號(hào)長(zhǎng)度增加而提高，且沒(méi)有明顯波動(dòng)，接近于CRLB；RCSD法在N>64時(shí)的估計(jì)精度均優(yōu)于MPHD法，當(dāng)信號(hào)較短時(shí)，其估計(jì)性能有所下降；本文算法在信號(hào)較長(zhǎng)時(shí)，其估計(jì)性能與RCSD法相當(dāng)，優(yōu)于其他幾種算法，在信號(hào)較短時(shí)，本文算法的估計(jì)性能具有明顯的優(yōu)勢(shì)，優(yōu)于其他算法，提升了算法的實(shí)時(shí)性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為檢驗(yàn)所提算法的實(shí)際測(cè)量效果，利用項(xiàng)目組自研的LFMCW雷達(dá)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了測(cè)距實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)，雷達(dá)各參數(shù)設(shè)置如表1所示，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖6所示。

表1 雷達(dá)參數(shù)設(shè)置值

圖6 測(cè)距實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.6 Ranging experiment field

根據(jù)LFMCW雷達(dá)測(cè)距原理，測(cè)量距離可由式(15)進(jìn)行計(jì)算。

R=ωfsCT/4πB

(15)

式中：R,fs,C,T,B分別為測(cè)量距離、采樣頻率、電磁波傳播速度、調(diào)頻周期和調(diào)頻帶寬。

設(shè)實(shí)驗(yàn)的測(cè)距范圍為5～10 m，間隔1 m，利用DEVONL80手持激光測(cè)距儀和田島L-50U玻璃纖維標(biāo)尺來(lái)測(cè)量實(shí)際距離。為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，和仿真實(shí)驗(yàn)中較好的兩種方法，即MPHD法和RSCD法進(jìn)行了比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。從實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：運(yùn)用本文所提算法的測(cè)量結(jié)果比運(yùn)用MPHD法和RSCD法的測(cè)量結(jié)果更接近實(shí)際距離，與仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。本文所提算法的平均絕對(duì)誤差為0.022 m，MPHD法和RSCD法的平均絕對(duì)誤差分別為0.041 m和0.034 m。因此，本文所提算法具有更低的測(cè)量誤差，比MPHD法和RSCD法更有效，改善了LFMCW雷達(dá)的測(cè)距性能。

表2 測(cè)距結(jié)果

5 結(jié) 論

為消除實(shí)信號(hào)中負(fù)頻率成分對(duì)頻率估計(jì)性能的影響，本文提出了一種基于迭代插值的實(shí)復(fù)轉(zhuǎn)換頻率估計(jì)算法，該算法通過(guò)將實(shí)信號(hào)轉(zhuǎn)換為復(fù)信號(hào)的形式，并對(duì)復(fù)信號(hào)進(jìn)行迭代插值得到頻率估計(jì)值。

計(jì)算驗(yàn)證表明：本文所提算法有效的消除了負(fù)頻率成分對(duì)頻率估計(jì)的影響，其頻率估計(jì)性能在不同的條件下均優(yōu)于其他算法，或與目前最優(yōu)秀的算法具有相當(dāng)?shù)男阅?。特別地，當(dāng)信號(hào)頻率較低時(shí)，優(yōu)勢(shì)更加明顯，并提升了算法的實(shí)時(shí)性，改善了算法的抗噪性，提高了估計(jì)精度，使得頻率估計(jì)值的均方誤差更接近于克拉美羅下限。并在LFMCW雷達(dá)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了測(cè)距實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文算法的有效性，優(yōu)于MPHD法和RCSD法。