宋慧慧，龍憲軍，何 光

(1.重慶工商大學(xué) 國家智能制造服務(wù)國際科技合作基地,重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067；3.重慶工商大學(xué) 經(jīng)濟社會應(yīng)用統(tǒng)計重慶市重點實驗室，重慶 400067)

0 引 言

對傳統(tǒng)的投資組合理論的研究是基于充分的歷史數(shù)據(jù)，用一些預(yù)測的方法準(zhǔn)確預(yù)測未來收益，預(yù)測的收益為隨機變量。1952年，哈里·馬科維茨[1]首先提出了均值-方差模型來研究投資組合，為國內(nèi)外學(xué)者對投資組合的深入研究奠定了基礎(chǔ)。以往的投資分析模型，主要以概率論的方法來處理投資中的不確定性，但金融市場有許多不確定性，例如受國家政策、突發(fā)事件、國際因素的影響使已有的證券或股票的歷史數(shù)據(jù)失去了原有的參考價值。特別是對一些新興股票來說，壓根就沒有或者有很少的數(shù)據(jù)可供參考,因此原有的方法處理這類問題就非常的困難。2007年，劉寶碇[2]提出的不確定理論是處理這類問題強有力的工具。

劉建軍[3]研究了具有不確定收益的新的投資組合優(yōu)化模型，并設(shè)計出新的混合智能算法來解決這一新的優(yōu)化問題。但是在計算收益時，并沒有把投資需要的額外費用，如專家咨詢費和股票交易費考慮在內(nèi)，可能對結(jié)果有一定的影響。張曉斌和韓穎[4]研究了不確定風(fēng)險環(huán)境下的投資組合決策模型，模型考慮了專家咨詢費用以及交易費用，但在具體處理時將其假設(shè)為一個常數(shù)，而在實際股票的交易過程中，交易費用往往不是一個常數(shù)。因此，分別將線性交易費用和非線性交易費用引入到模型中，分析它對投資模型的影響。通過數(shù)值驗證了新模型的可行性。

1 不確定理論的相關(guān)定理

首先回顧一些基礎(chǔ)知識：

定理1 若ε為一線性不確定變量，且服從線性不確定分布L(a,b)，其中a，b都為實數(shù)，且a

φ-1(α)=(1-α)a+αb

定理2 若ε為一之字形不確定變量，且服從之字形不確定分布(Zigzag分布)，標(biāo)記為Z(a,b,c)，其中a,b,c均為實數(shù)，且滿足a

定理3若ε為一不確定變量，且服從正態(tài)不確定分布N(e,σ)，其中e和σ是實數(shù)且σ>0，則N(e,σ)的逆分布為

定理4[5]假設(shè)一個系統(tǒng)包含不確定變量ε1,ε2,…,εn，并且系統(tǒng)中有一個損失函數(shù)L，使得某些特定損失發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)L(ε1,ε2,…,εn)≤0，那么風(fēng)險指標(biāo)為

Risk=M{L(ε1,ε2,…,εn)≤0}

定理5[6]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴(yán)格遞增，相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴(yán)格遞減，那么不確定變量ε=f(ε1,ε2,…,εn)的期望為

定理6[6]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xm嚴(yán)格遞增，相對于xm+1,xm+2,…,xn嚴(yán)格遞減，若某種特定的損失發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)L(x1,x2,…,xn)≤0，那么風(fēng)險指標(biāo)為Risk=α，其中α是方程(1)的根

(1)

定理7[5]假設(shè)ε1,ε2,…,εn是n個獨立的不確定變量，且有正則的不確定分布，分別是φ1,φ2,…,φn，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)相對于x1,x2,…,xn嚴(yán)格遞增，那么不確定變量ε=f(ε1,ε2,…,εn)有逆分布，且逆分布為

2 具有線性交易費用的不確定收益的投資組合模型的建立

在投資組合的研究中，為了簡化模型便于求解，大部分往往會忽略股票或證券中的交易費用。而在實際的金融市場中，投資交易需要手續(xù)費、印花稅等一些額外的交易費用，若忽略了交易費用的投資組合往往會對實際收益影響很大，可能會使投資失效。隨著投資組合不斷地發(fā)展，專家學(xué)者也越來越重視交易費用對模型的影響，并逐漸把交易費用規(guī)范為交易費用函數(shù)。交易費用函數(shù)有兩種形式，線性交易函數(shù)和非線性交易函數(shù)。1996年，Yoshimoto[7]研究了帶有V型交易費用函數(shù)形式的投資組合模型，V型交易費用函數(shù)為

假定投資者的初始投資為0，考慮到中國的金融市場不允許賣空，則投資比例xi不能為負(fù)，則此時V型交易費用函數(shù)就可以變?yōu)閱挝痪€性函數(shù)，則線性交易費用函數(shù)為:c(xi)=kxi，i=1,2,…,n。假設(shè)投資者用c萬元進(jìn)行投資，通過咨詢股票專家后，將購買股票A1,A2,…,An，其中專家咨詢費為m萬元，第i種股票的投資額為xi，εi表示第i種股票的收益率，且εi是獨立的不確定變量，且有正則的不確定分布Φi，β表示所能承受的最大風(fēng)險指數(shù)，則損失函數(shù)表示為

則具有線性交易費用函數(shù)的投資組合模型為

(2)

則由定理5和定理6將模型式(2)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題為

3 具有非線性交易費用的不確定收益的投資組合模型的建立

(3)

同理，由定理5和定理6可以將模型(2)轉(zhuǎn)化為如下模型：

4 數(shù)值實例分析

假設(shè)某投資人選擇4支新股票進(jìn)行投資，xi(i=1,2,3,4)表示對第i支股票的投資金額，投資前投資者向3位股票專家咨詢并提出4支股票的收益率(權(quán)重相同)如表1。

表1 專家給出的股票收益率的分布

則第i支股票的收益率為

由定理1,2,3及定理7可求出收益率的逆分布，分別為

可以計算出目標(biāo)函數(shù)中的收益系數(shù)為0.340,0.300,0.265,0.365，我國股票交易市場的交易費用主要是傭金(不超過3‰)和印花稅(一般為1‰)[9]，所以設(shè)定線性交易費用中的系數(shù)k=0.002 5，專家咨詢費m=2萬元。而對于非線性交易費用，系數(shù)a,b會隨著交易時期不同而變化，所以借鑒鄭希陽[10]確定系數(shù)的方法-通過二次擬合和遺傳算法隨機尋優(yōu)，設(shè)定a=-0.000 1,b=0.005，假設(shè)投資者將用100萬進(jìn)行投資，即c=100，且對每支股票的投資額不低于10萬元且不高于50萬元，當(dāng)β=0.32時，利用MATLABR2016a分別計算出具有線性交易費用的模型的最優(yōu)解為(30.32,10,49.68,10)，目標(biāo)函數(shù)值為27.87；具有非線性交易費用的模型的最優(yōu)解為(31.85,10,48.15,10)，目標(biāo)函數(shù)值為28.09；而不具有交易費用的模型的最優(yōu)解為(30.21,10,49.78,10)，目標(biāo)函數(shù)值為28.11。由此可見，股票的交易費用對投資組合模型有一定的影響。

假設(shè)投資者嚴(yán)格控制投資風(fēng)險β在0.32～0.34之間，下面利用MatlabR2016a，當(dāng)β在0.32～0.34之間變化時，計算出2種具有交易費用模型以及無交易費用的模型對應(yīng)的最大收益期望和4種股票的投資金額，如表2,表3,表4所示。并比較分析3種模型的收益風(fēng)險關(guān)系圖，如圖1。由表2,表3,表4可以看出，隨著風(fēng)險的增加，收益也逐漸增加，符合“高風(fēng)險，高收益”的一般規(guī)律，從圖1也可以看出，3種投資組合模型風(fēng)險和收益呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，且具有線性交易費用和具有非線性交易費用的模型的圖像比無交易費用的模型更加平緩，所以具有交易費用的投資組合模型具有更好的穩(wěn)定性，值得更加深入的研究。

表2 具有線性交易費用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

表3 具有非線性交易費用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

表4 不具有交易費用模型的最大風(fēng)險指數(shù)與最大收益期望關(guān)系

圖1 收益風(fēng)險相關(guān)關(guān)系圖

5 總 結(jié)

研究了具有不確定收益的投資組合模型，并將線性交易費用函數(shù)和非線性交易費用函數(shù)考慮在模型中，用不確定的相關(guān)理論及軟件MatlabR2016a求解各個模型的最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)值，并將模型進(jìn)行了靈敏度分析，表明模型符合隨著風(fēng)險的增加，收益也逐漸增加的一般規(guī)律，同時表明具有線性交易費用和非線性交易費用的兩種投資組合模型比無交易費用的投資組合模型有更好的穩(wěn)定性。下一步將繼續(xù)探究當(dāng)交易費用函數(shù)中的參數(shù)發(fā)生改變對模型的影響以及線性交易費用和非線性交易費用的區(qū)別和聯(lián)系。