王翼　張鳳登　吉妍　范鑫怡　張文婷

摘? 要： 詳細介紹了“磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)”的結(jié)構(gòu)和工作原理，建立了磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)的物理模型，在物理模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，以此為依據(jù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性，并在Matlab/Simulink環(huán)境下建立了系統(tǒng)仿真模型以研究控制系統(tǒng)動態(tài)特性。為了實現(xiàn)對磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)的快速穩(wěn)定控制，提出了極點配置算法與最優(yōu)控制算法兩種控制方法來設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，并通過實驗仿真分析了控制器和觀測器的設(shè)計合理性。實驗表明，極點配置法可通過改變期望極點來快速改變磁懸浮系統(tǒng)的響應(yīng)性能，而最優(yōu)控制法可通過改變Q、R矩陣來改變磁懸浮系統(tǒng)響應(yīng)性能，兩者均可有效控制磁懸浮實驗系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞： 磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng);極點配置;最優(yōu)控制;Simulink仿真;狀態(tài)反饋控制

中圖分類號： TP391.9 ???文獻標(biāo)識碼： A??? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.07.001

本文著錄格式：王翼，張鳳登，吉妍，等. 基于極點配置與最優(yōu)控制的磁懸浮系統(tǒng)控制器[J]. 軟件，2019，40（7）：01-07+88

【Abstract】： The structure and working principle of the "magnetic suspension ball experimental system" are introduced in detail. The physical model of the magnetic suspension ball experimental system is established. The system state space expression is derived based on the physical model， and the system mathematical model is established. The stability， controllability and observability of the system are established. The system simulation model is established in the Matlab/Simulink environment to study the dynamic characteristics of the control system. In order to realize the fast and stable control of the magnetic suspension ball experimental system， two control methods， the pole placement algorithm and the optimal control algorithm， are proposed to design the state feedback controller. The design rationality of the controller and the observer is analyzed through experimental simulation. Experiments show that the pole placement method can quickly change the response performance of the magnetic levitation system by changing the desired pole. The optimal control method can change the response performance of the magnetic levitation system by changing the Q and R matrices， and both can effectively control the magnetic levitation experimental system.

【Key words】： Magnetic suspension ball experimental system; Pole placement; Optimal control; Simulink simulation; State feedback control

0? 引言

磁懸浮技術(shù)是集電磁學(xué)、控制工程、信號處理、機械學(xué)、動力學(xué)等多門學(xué)科于一體的新型高科技技術(shù)^[1]。磁懸浮技術(shù)因其無接觸、無摩擦等特點而具有能耗低、污染小、噪聲小等優(yōu)點，因此在各領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用^[2]。但由于磁懸浮系統(tǒng)本質(zhì)上是不穩(wěn)定的，所以為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須加入反饋控制環(huán)節(jié)使其構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。而“磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)”作為一種磁懸浮技術(shù)研究裝置，因其實時控制要求度高的特點，是許多控制算法實施、檢驗的對象^[3]。本文以“磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)”為研究對象，采用極點配置法和最優(yōu)控制法兩種控制方法來設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，并通過Matlab/Simulink仿真結(jié)合根軌跡法研究系統(tǒng)處于不同控制狀態(tài)下的特性^[4]。

1 ?磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)的工作原理

磁懸浮實驗系統(tǒng)主要由LED光源、電磁鐵、光電位置傳感器、電源、放大及補償裝置、數(shù)據(jù)采集卡和控制對象（鋼球）等元件組成，如圖1所示。

電磁鐵繞阻中通以一定的電流會產(chǎn)生電磁力F，控制電磁鐵繞阻中的電流i，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力mg相平衡，鋼球就可以懸浮在空中而處于平衡狀態(tài)。為了得到一個穩(wěn)定的平衡系統(tǒng)，必須實現(xiàn)閉環(huán)控制，使整個系統(tǒng)穩(wěn)定且具有一定的抗干擾能力。本系統(tǒng)中采用光源和光電位置傳感器組成的無接觸測量裝置檢測鋼球與電磁鐵之間的距離x的變化，為了提高控制的效果，還可以檢測距離變化的速率。電磁鐵中控制電流的大小作為磁懸浮球控制對象的輸入量。磁懸浮實驗系統(tǒng)中各參數(shù)（各參數(shù)均采用國際單位制單位）物理意義如表1所示。

2 ?磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)建模

2.1 ?系統(tǒng)方程的描述

為了用狀態(tài)空間法分析或設(shè)計一個自動控制系統(tǒng)，首先需要建立其數(shù)學(xué)模型，即描述系統(tǒng)運動規(guī)律的狀態(tài)空間表達式。本系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是以小球的動力學(xué)方程和電學(xué)、力學(xué)關(guān)聯(lián)方程為基礎(chǔ)建立起來的。

利用MATLAB創(chuàng)建線性二次型最優(yōu)控制Simulink型，結(jié)構(gòu)與極點配置模型相同，更改矩陣K，得到系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖5。

由圖5和表4可以看出最優(yōu)控制法在保證Q陣不變情況下，可以通過改變輸入變量矩陣R，來改變系統(tǒng)性能指標(biāo)。本實驗系統(tǒng)中對輸入變量u（t）無約束，故可任意改變輸入信號加權(quán)陣R。且由圖表可得，當(dāng)R越小，系統(tǒng)上升時間越長、調(diào)節(jié)時間越長、終值越小即放大倍數(shù)越小、無超調(diào)量即無振蕩^[15]，故可以根據(jù)實際系統(tǒng)需求，依此結(jié)論在保證狀態(tài)變量Q陣不變的情況下，可通過調(diào)節(jié)輸入變量矩陣R來達到規(guī)定系統(tǒng)性能指標(biāo)。綜合考量，取上升時間最小K₅曲線即輸入變量矩陣R = 1代表的控制系統(tǒng)性能較優(yōu)。

4.3 ?極點配置與線性二次型最優(yōu)控制比較

由上述圖表可以看出，應(yīng)用極點配置法設(shè)計磁懸浮控制系統(tǒng)時由于虛部不為零，故會產(chǎn)生振蕩，即超調(diào)量不為零，為了增加控制系統(tǒng)的快速響應(yīng)，滿足最優(yōu)衰減比4∶1，期望極點的負實部應(yīng)適當(dāng)取小、虛部絕對值應(yīng)適當(dāng)取大。而應(yīng)用最優(yōu)控制法設(shè)計控制系統(tǒng)則可實現(xiàn)超調(diào)量始終為零，不會產(chǎn)生振蕩，這與我們設(shè)計線性二次型最優(yōu)控制器，降低控制作用成本，即系統(tǒng)響應(yīng)越快，振蕩越少越好的目的是相符合的。取兩種控制方法響應(yīng)較優(yōu)的K₃、K₅所代表響應(yīng)曲線圖比較如圖6。

由圖6可以看出，對于磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)，采用極點配置法和線性二次型最優(yōu)控制法設(shè)計反饋控制器均可改變系統(tǒng)動態(tài)性能，實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定^[16]。但相比較而言，采用極點配置法系統(tǒng)衰減比接近4∶1，響應(yīng)上升時間較最優(yōu)控制更短，即響應(yīng)越快，控制作用明顯;而采用最優(yōu)控制法的系統(tǒng)響應(yīng)上升時間更長，且超調(diào)量為零，無振蕩過程，即控制所損耗能量較低。

綜上，本質(zhì)上兩種控制方法都是依靠改變狀態(tài)反饋矩陣K來改變系統(tǒng)性能，只不過極點配置法是從系統(tǒng)傳遞函數(shù)角度出發(fā)通過改變極點來改變系統(tǒng)性能，而線性二次型最優(yōu)控制則是從能量觀點出發(fā)通過改變變量矩陣改變系統(tǒng)性能。依據(jù)兩種控制方法設(shè)計控制系統(tǒng)所具有的不同動態(tài)性能的特點，對實時響應(yīng)有快速響應(yīng)要求的控制系統(tǒng)建議采用極點配置法設(shè)計狀態(tài)反饋控制器^[17];而對于輸入量無約束，響應(yīng)無快速響應(yīng)要求的系統(tǒng)，或者性能指標(biāo)包含能量函數(shù)、被控量只能較緩慢變化的物理量，例如：溫度，則建議采用線性二次型最優(yōu)控制法設(shè)計狀態(tài)反饋控制器。

5? 結(jié)論

本文借助磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)研究了采用極點配置法和線性二次型最優(yōu)控制控制法設(shè)計控制系統(tǒng)對系統(tǒng)動態(tài)特性影響。建立了磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)的物理模型、數(shù)學(xué)模型，并采用軟件MATLAB/Simulink進行實驗仿真得到不同反饋矩陣下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。實驗表明，兩種控制方法均能有效改變系統(tǒng)動態(tài)性能，實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定控制。但相較而言，極點配置可快速提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度，因此可根據(jù)實際要求設(shè)置期望極點，加快系統(tǒng)響應(yīng)，常應(yīng)用于對實時響應(yīng)要求高的控制系統(tǒng);而線性二次型最優(yōu)控制則響應(yīng)較為緩慢，但能減少系統(tǒng)振蕩過程，從而降低系統(tǒng)控制能量損耗。除此之外，由于線性二次型最優(yōu)控制的最優(yōu)性是相對的，所以可根據(jù)系統(tǒng)控制本身成本來選取適當(dāng)輸入變量矩陣R來降低系統(tǒng)控制成本的同時，取得理想的控制效果。

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