張 惠， 丁旺才， 李險(xiǎn)峰

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2. 蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

含間隙和預(yù)緊彈簧的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在齒輪齒條間隙調(diào)整機(jī)構(gòu)[1]、含作動(dòng)器的隔振系統(tǒng)[2-3]及超磁致伸縮激振器[4]等機(jī)械系統(tǒng)中廣泛存在，通過(guò)螺栓調(diào)節(jié)彈簧壓縮量來(lái)調(diào)節(jié)預(yù)緊力大小，預(yù)緊彈簧的存在使系統(tǒng)的非光滑程度增加，系統(tǒng)流形的光滑度為2[5]。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的全局分析主要是為了獲得系統(tǒng)的漸近或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。對(duì)于相空間中存在多個(gè)吸引子的情況，如果隨機(jī)選擇初始條件，除非知道各個(gè)吸引子的吸引域，否則一般情況下不能確切的了解其漸近響應(yīng)。此外，在碰振系統(tǒng)中即使當(dāng)參數(shù)發(fā)生微小的變化，也可能會(huì)導(dǎo)致相空間結(jié)構(gòu)的巨大的變化，比如吸引集的突然出現(xiàn)或消失或者穩(wěn)定性發(fā)生改變，所以需要理解哪些參數(shù)及如何導(dǎo)致這些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變換或者分岔的產(chǎn)生。全局分析在科學(xué)和工程領(lǐng)域，如研究轉(zhuǎn)子軸承、齒輪等機(jī)械系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)全局分析和分岔、氣動(dòng)彈性系統(tǒng)周期的、混沌的顫振的運(yùn)動(dòng)、控制系統(tǒng)的魯棒性等方面具有重要應(yīng)用[6-8]。

對(duì)于全局分析的理論解析方法方面，比較著名的是Melnikov方法[9-10]。此外Parker等[11]敘述了吸引域的概念并呈現(xiàn)了一些動(dòng)力系統(tǒng)中吸引域、軌道邊界即分界線的例子，并提出了計(jì)算和繪制吸引域邊界的方法。Komuro等[12]從同宿、異宿及周期軌道等方面深入分析了雙渦卷電路的全局兩參數(shù)分岔結(jié)構(gòu)。Jiang[13]研究了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)這一含接觸的分段光滑動(dòng)力系統(tǒng)的全局響應(yīng)特性。Zhang等[14]推導(dǎo)了一類碰撞振動(dòng)擬哈密頓系統(tǒng)的全局次諧Melnikov函數(shù)。

由于非線性系統(tǒng)的類型多、求解難度大，目前沒(méi)有統(tǒng)一的解析求解方法，所以數(shù)值方法一直是非線性動(dòng)力系統(tǒng)全局分析的可靠選擇和研究重點(diǎn)。由于逐點(diǎn)數(shù)值直接積分法需要花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間才能得到系統(tǒng)中存在的吸引子及其吸引域，這常使人們無(wú)法忍受，所以Hsu[15-19]提出更高效的胞映射法。Hong等[20-22]等借助于廣義胞映射圖論方法發(fā)現(xiàn)了嵌入在分形吸引域邊界內(nèi)的混沌鞍，混沌鞍碰撞混沌吸引子導(dǎo)致混沌吸引子完全突然消失，產(chǎn)生混沌的邊界激變。馮進(jìn)鈐等[23]基于圖胞映射理論，提出了一種擦邊流形的數(shù)值逼近方法，研究了典型Duffing碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中擦邊誘導(dǎo)激變的全局動(dòng)力學(xué)。Grebogi等[24-26]研究了吸引域邊界的質(zhì)變，即吸引域邊界性質(zhì)的改變。Nusse等[27]將吸引域的邊界點(diǎn)按各自的特點(diǎn)分成了四類，并提出了域擁有域胞及域胞產(chǎn)生和摧毀的充要條件。洪靈等[28]證明Wada域邊界上的混沌鞍導(dǎo)致局部鞍結(jié)分岔具有全局不確定性結(jié)局。張永祥[29]對(duì)典型混雜系統(tǒng)吸引域及邊界的理論描述、流形分析及吸引域算法進(jìn)行了研究。韓清振等[30]應(yīng)用分岔圖研究了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)隨平方非線性剛度系數(shù)及激勵(lì)角頻率變化的全局動(dòng)力學(xué)行為。Hu[31]用平均法研究了含預(yù)緊的對(duì)稱彈性裝置的主共振和穩(wěn)定性，解析得到了穩(wěn)定和不穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域。樂(lè)源等[32]研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性。Gritli等[33]認(rèn)為兩足機(jī)器人通過(guò)斜坡時(shí)的兩足混沌運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生和消除是通過(guò)邊界激變方式而產(chǎn)生的。趙建學(xué)等[34]采用不同控制方法使系統(tǒng)遷移至目標(biāo)軌道，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)吸引子遷移控制。

本文針對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中常見(jiàn)的含間隙和預(yù)緊彈簧分段光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，建立了其動(dòng)力學(xué)模型，分別在不同截面上建立了系統(tǒng)的Poincaré映射；研究了隨關(guān)鍵參數(shù)—激振頻率ω變化時(shí)系統(tǒng)中共存的各個(gè)分支及其發(fā)生分岔的過(guò)程，利用Lyapunov維數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；分析系統(tǒng)共存分支出現(xiàn)及泯滅的原因；利用Poincaré胞映射法在不同Poincaré截面上研究系統(tǒng)共存吸引子及其吸引域；分析由不同類型的鞍結(jié)分支引起吸引域結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)變的機(jī)理。通過(guò)研究系統(tǒng)的吸引子共存及其吸引域結(jié)構(gòu)變化以期為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化及控制提供理論支持。

1 系統(tǒng)描述及其運(yùn)動(dòng)方程

1.1 力學(xué)模型

建立含間隙及預(yù)緊彈簧的分段光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，如圖1所示。左邊是激振器中質(zhì)量為M的力輸出桿，其由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為R1的線性阻尼器連接于支承， 并受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)Fmcos(ΩT+τ)的作用(Fm為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力幅值，ω為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力頻率，τ為初始相位)。右邊是一個(gè)帶有預(yù)壓縮彈簧K2和阻尼系數(shù)為R2的平面(無(wú)質(zhì)量)，用來(lái)緩沖碰撞。取物塊靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，彈簧K2被預(yù)壓縮來(lái)緩沖振動(dòng)，設(shè)彈簧K2的預(yù)壓縮量為D。

圖1 模型圖Fig.1 Model diagram

當(dāng)X<Δ時(shí)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的諧波振子，方程為

(1)

當(dāng)X>Δ時(shí)， 物快與右邊預(yù)緊彈簧發(fā)生接觸，因?yàn)樵诮佑|表面沒(méi)有質(zhì)量，方程為

(2)

取無(wú)量綱量

則系統(tǒng)的無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)微分方程為

(3)

1.2 方程的解

物塊與墻面發(fā)生接觸階段(即x≥δ時(shí))，由初始條件

(4)

(5)

(6)

其中，

η=ζ(1+μr),

b2=(y0+ηa2+A2ωsinτ0-B2ωcosτ0)/ωd2。

Risk assessment of mountain torrent disaster in small watershed of east Yunnan province SU Wen-hao GAN Shu CHEN Ming-yi(28)

物塊與預(yù)緊彈簧沒(méi)有發(fā)生接觸階段，由初始條件

(7)

當(dāng)ζ<1時(shí)，式(3)的通解為

(8)

(9)

其中，

2 系統(tǒng)共存吸引子及其吸引域

2.1 系統(tǒng)共存吸引子產(chǎn)生及湮滅分析

圖2 隨ω變化時(shí)系統(tǒng)中共存的各個(gè)吸引子Fig.2 Theco-existing attractors in the system as changes with ω

隨著激勵(lì)頻率ω的遞增，系統(tǒng)穩(wěn)定的q=2/2周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)周期倍化分岔序列，通過(guò)PD1，PD2(Periodic Doubling)等分岔點(diǎn)后進(jìn)入q=4/4,q=8/8、混沌等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在ω7=2.493 5附近系統(tǒng)經(jīng)邊界激變BC(Boundary Crises)，從混沌運(yùn)動(dòng)中退化出穩(wěn)定的q=2/3周期運(yùn)動(dòng)。從圖2(b)可以了解到當(dāng)系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)形式。我們?cè)匐S勵(lì)頻率ω的遞減來(lái)分析系統(tǒng)中共存的另一分支—A2的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過(guò)程。隨著ω的減小，q=2/3周期運(yùn)動(dòng)在ω3=2.475附近經(jīng)歷“擦邊”分岔GB1(Grazing Bifurcation)，從q=2/3周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為q=7/9周期運(yùn)動(dòng)，碰撞數(shù)in和周期數(shù)en如圖2(c)和圖2(d)所示。隨著ω的進(jìn)一步減小，q=7/9運(yùn)動(dòng)經(jīng)由周期倍化分岔進(jìn)入q=14/18運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。在ω1=2.463附近，q=14/18運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷第二次“擦邊”分岔GB2，擦邊后系統(tǒng)共存吸引子也隨即消失，只保留穩(wěn)定的q=2/2周期運(yùn)動(dòng)。

2.2 系統(tǒng)共存吸引子吸引域演變規(guī)律分析

圖3 ω1=2.463，q=2/2和q=14/18吸引子共存Fig.3 ω1=2.463, q=2/2 and q=14/18 attractors coexist

圖4 ω2=2.473 6，q=2/2和q=7/9吸引子共存Fig.4 ω2=2.473 6, q=2/2 and q=7/9 attractors coexist

圖5 ω3=2.475，q=2/2和q=2/3吸引子共存Fig.5 ω3=2.475, q=2/2 and q=2/3 attractors coexist

圖6 ω5=2.48, q=4/4和q=2/3吸引子共存Fig.6 ω5=2.48, q=4/4 and q=2/3 attractors coexist

圖7 ω6=2.486，q=8/8和q=2/3吸引子共存Fig.7 ω6=2.486, q=8/8 and q=2/3 attractors coexist

圖8 ω7=2.493 5，混沌吸引子和q=2/3吸引子共存Fig.8 ω7=2.493 5, chaos and q=2/3 attractors coexist

3 非光滑系統(tǒng)吸引域結(jié)構(gòu)變化機(jī)理研究

3.1 由“擦邊”運(yùn)動(dòng)誘導(dǎo)出現(xiàn)的平常型鞍點(diǎn)分支

從圖3～圖8中可以了解到：A1分支(即主分支)雖然經(jīng)歷了倍周期分岔，但在倍化分岔序列參數(shù)范圍內(nèi)，各個(gè)吸引子的吸引域在σp和σnPoincaré截面上均沒(méi)有發(fā)生太大的變化。但是隨著ω的減小，從圖5(a)～圖8(a)可以觀察到，在ω∈[2.475,2.48]之間的某個(gè)臨界參數(shù)值處，A2分支中的q=2/3周期運(yùn)動(dòng)的吸引域邊界在σpPoincaré截面上發(fā)生了分形，發(fā)生了光滑—分形質(zhì)變。利用二分法逼近臨界質(zhì)變點(diǎn)，得到臨界質(zhì)變發(fā)生在ω=2.475 52附近。分析得到：A2分支的吸引域之所以發(fā)生了結(jié)構(gòu)質(zhì)變，是因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間中出現(xiàn)了一個(gè)由擦邊運(yùn)動(dòng)所誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔所形成的新分支—A3分支，如圖10所示。其起始于q=5/6周期運(yùn)動(dòng)，分為5片，每一片隨著ω的減小均通過(guò)周期倍化分岔很快的進(jìn)入混沌，所以A3分支只存在于ω∈[2.475 15,2.475 5]這樣很小的一段參數(shù)范圍內(nèi)。在σp和σnPoincaré截面上的吸引子和吸引域如圖9(a)和圖9(b)所示。這一分支的出現(xiàn)使q=2/3周期運(yùn)動(dòng)的吸引域在這一鄰域既發(fā)生了邊界質(zhì)變，即吸引域從光滑變?yōu)榱朔中谓Y(jié)構(gòu)，也發(fā)生了內(nèi)部激變，即n(n=2,3,…)片混沌吸引子與其吸引域邊界發(fā)生相切，這兩種類型的全局分岔。q=5/6周期運(yùn)動(dòng)在σpPoincaré截面上的五個(gè)周期點(diǎn)坐標(biāo)如表1中SN1各值所示。各個(gè)周期點(diǎn)處系統(tǒng)Jacobian的特征值如表2所示，其中Si(i=1,3,4,5)的特征值0<ρ1<1<ρ2，其為平常型鞍點(diǎn)[35]。A3分支的出現(xiàn)使系統(tǒng)在ω=2.475 52時(shí)狀態(tài)空間中存在三個(gè)不同的吸引子，即q=2/3,q=4/4和q=5/6。同時(shí)因?yàn)槲虻姆中谓Y(jié)構(gòu)，使一些吸引子可能不在它們自己的吸引域內(nèi)，這個(gè)特性是不同于光滑系統(tǒng)的吸引域?qū)傩浴Ｋ驭?2.475 52時(shí)由于鞍結(jié)分岔導(dǎo)致了系統(tǒng)吸引域結(jié)構(gòu)的變化。隨后，隨著ω的減小A3分支經(jīng)歷周期倍化分岔進(jìn)入混沌，在ω=2.475 14時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌道與碰撞邊界相切，發(fā)生擦邊分叉，A3分支消失。

圖9 ω=2.475 52,q=2/3,q=4/4,q=5/6吸引子共存Fig.9 ω=2.475 52,q=2/3,q=4/4 and q=5/6 attractors coexist

SN1(ω=2.475 52)SN2(ω=2.483 95)S1(0.303 3,0.338 4)(1.944 6,0.453 6)S2(0.633 3,0.402 5)(2.399 4,0.373 4)S3(2.530 5,0.500 4)(3.295 9,0.190 8)S4(2.588,0.569 7)(2.607,0.295 9)S5(3.772 8,0.026 1)(3.208 1,0.345 1)S6(3.039 5,0.226 7)

表2 SN1各點(diǎn)處Jacobian矩陣特征值

圖10 隨參數(shù)ω變化時(shí)系統(tǒng)共存的吸引子Fig.10 The coexists attractors in the system as the parameter ω changes

3.2 由周期倍化分岔誘導(dǎo)出現(xiàn)的翻轉(zhuǎn)型鞍點(diǎn)分支

通過(guò)進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)：在ω=2.483 95時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)空間中又出現(xiàn)了一個(gè)新的分支—A4分支。A4分支的出現(xiàn)是由于系統(tǒng)中的周期倍化分岔所誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔所形成，隨著ω的增加，其起始于q=6/6周期運(yùn)動(dòng)。在σpPoincaré截面上的六個(gè)周期點(diǎn)坐標(biāo)如表1中SN2各值所示。各個(gè)周期點(diǎn)處系統(tǒng)Jacobian的特征值如表3所示，其中Si(i=1,2)的特征值ρ1<-1<ρ2<0，其為翻轉(zhuǎn)型鞍點(diǎn)。A4分支的出現(xiàn)也使A1分支的吸引域經(jīng)歷了光滑—分形質(zhì)變。當(dāng)ω=2.483 95時(shí)，在σp和σnPoincaré截面上的吸引子和吸引域如圖11(a)和圖11(b)所示。其后隨著ω的增加，A4分支經(jīng)歷周期倍化分岔進(jìn)入混沌，在ω=2.484 68時(shí)混沌吸引子與其吸引域邊界發(fā)生內(nèi)部邊界碰撞，造成A4分支的消失。

表3 SN2各點(diǎn)處Jacobian矩陣特征值

圖11 ω=2.483 95,q=2/2,q=4/4,q=6/6吸引子共存Fig.11 ω=2.483 95,q=2/2,q=4/4 and q=6/6 attractors coexist

而且當(dāng)隨著系統(tǒng)其他主要分岔參數(shù)變化時(shí)(比如間隙δ)，引起系統(tǒng)共存吸引子的產(chǎn)生及泯滅的原因是相同的，引起系統(tǒng)吸引子吸引域發(fā)生質(zhì)變的機(jī)理也是相同的，此處不再贅述，所以上述關(guān)于吸引域質(zhì)變機(jī)理的研究具有普適性。

4 結(jié) 論

本文建立了一類單自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的分段光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型，建立了系統(tǒng)的Poincaré映射；研究了系統(tǒng)隨關(guān)鍵分岔參數(shù)ω變化時(shí)系統(tǒng)吸引子共存情況，利用Lyapunov維數(shù)分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)不同平面上的的Poincaré映射，來(lái)研究系統(tǒng)的碰撞和周期運(yùn)動(dòng)；利用改進(jìn)的胞映射法，研究了系統(tǒng)中共存吸引子的吸引域。研究了由內(nèi)部邊界碰撞和非光滑相切引起的混沌吸引子的產(chǎn)生和摧毀過(guò)程，重點(diǎn)分析了吸引域結(jié)構(gòu)變化情況。得出如下結(jié)論：

(1) 非光滑系統(tǒng)中吸引子可由兩種情況所誘導(dǎo)產(chǎn)生——擦邊分岔二是周期倍化分岔所誘導(dǎo)。

(2) 非光滑系統(tǒng)中吸引子的消失是由兩種情況所形成：一是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌道與碰撞面相切，即由外部邊界碰撞所引起的擦邊分岔所形成；二是由于由周期倍化分支所形成的混沌吸引子與其吸引域邊界碰撞即發(fā)生內(nèi)部邊界激變所形成。

(3) 非光滑系統(tǒng)中吸引域發(fā)生光滑—分形質(zhì)變是由于系統(tǒng)由擦邊分岔所誘導(dǎo)出現(xiàn)的平常型鞍點(diǎn)，及由周期倍化分岔所誘導(dǎo)的翻轉(zhuǎn)型鞍點(diǎn)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形發(fā)生橫截相交，從而造成吸引域分形結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。