張 剛， 李紅威

(1. 重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,重慶 400065；2. 重慶郵電大學(xué) 信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400065)

強(qiáng)噪聲背景下的微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)一直是信號(hào)檢測(cè)與處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，它在機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷、應(yīng)急救援和地震預(yù)測(cè)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。微弱信號(hào)檢測(cè)的本質(zhì)為提高有用信號(hào)信噪比，因此檢測(cè)技術(shù)主要集中為抑制含噪信號(hào)中的噪聲提升信噪比，如濾波法、取樣積分法、小波降噪、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和變分模態(tài)分解[1]。但該類(lèi)方法檢測(cè)粒度大且易損壞有用信號(hào)，造成檢測(cè)效果欠佳；而隨機(jī)共振在檢測(cè)微弱信號(hào)時(shí)利用噪聲能量不損害待測(cè)信號(hào)成為目前研究的熱點(diǎn)。

隨機(jī)共振是Benzi等于1981年研究古氣象變化時(shí)提出的，隨后在物理、生物、電子等領(lǐng)域均得到證實(shí)[2]。應(yīng)用到微弱信號(hào)檢測(cè)中是將含噪信號(hào)通過(guò)非線性系統(tǒng)使周期驅(qū)動(dòng)力和噪聲驅(qū)動(dòng)輸出出現(xiàn)周期性的變化從而可將噪聲的一部分能量轉(zhuǎn)移給待測(cè)信號(hào)。隨機(jī)共振產(chǎn)生的必要條件為勢(shì)函數(shù)、噪聲和信號(hào)的協(xié)同作用，大量學(xué)者圍繞這三方面隨機(jī)共振因素進(jìn)行了深入研究，以一階Langevin方程為基礎(chǔ)的過(guò)阻尼隨機(jī)共振模型分別有Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型[3]、混合雙穩(wěn)系統(tǒng)模型[4]、三穩(wěn)態(tài)模型[5]、并行陣列系統(tǒng)模型[6]；二階方程較過(guò)阻尼具有近似濾波功能并且模型中含有可調(diào)的阻尼比增強(qiáng)了對(duì)噪聲的適應(yīng)能力，因此關(guān)于二階方程的研究也在如火如荼的進(jìn)行，比如基于逃逸率二階方程下的廣義調(diào)參隨機(jī)共振[7]、二階方程三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)[8]。以上研究絕大數(shù)都是以理想化的高斯噪聲為背景，與實(shí)際的噪聲環(huán)境存在偏差，而α噪聲是具有顯著的拖尾特性和尖峰脈沖特性的非高斯噪聲，能夠更加接近于實(shí)際振動(dòng)信號(hào)檢測(cè)應(yīng)用場(chǎng)景，因此α噪聲作為背景噪聲受到越來(lái)越多的關(guān)注，其中有α穩(wěn)定噪聲下時(shí)滯非對(duì)稱(chēng)單穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振[9]、α噪聲驅(qū)動(dòng)的非對(duì)稱(chēng)雙穩(wěn)隨機(jī)共振現(xiàn)象[10]、α噪聲背景下的脈沖幅度調(diào)制(Pulse Amplitude Modulation, PAM)信號(hào)檢測(cè)[11]。由于隨機(jī)共振受到絕熱近似理論的限制,因此在信號(hào)方面系統(tǒng)只能檢測(cè)低頻(f?1 Hz)信號(hào),而在實(shí)際工程中其信號(hào)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1 Hz，極大的限制了隨機(jī)共振的應(yīng)用發(fā)展,學(xué)者們通過(guò)不同的信號(hào)預(yù)處理方法打破傳統(tǒng)只能檢測(cè)小信號(hào)的桎梏,其中包括移頻變尺度隨機(jī)共振[12]、二次采樣的隨機(jī)共振技術(shù)[13]、頻率控制的自適應(yīng)隨機(jī)共振[14]、信號(hào)頻譜重構(gòu)的隨機(jī)共振[15]等等。以上研究使得隨機(jī)共振應(yīng)用在實(shí)際工程信號(hào)處理中成為可能，其中最為典型是旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)故障檢測(cè)，旋轉(zhuǎn)機(jī)械在交通工具、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)等廣泛的工業(yè)應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，其運(yùn)行狀態(tài)的好壞直接影響生產(chǎn)生活安全，但是由于復(fù)雜機(jī)械設(shè)備中存在大量強(qiáng)噪聲使得軸承信號(hào)檢測(cè)變得尤為困難，因此旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷問(wèn)題極為突出。近年來(lái)涌現(xiàn)出大量研究:指數(shù)單穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的軸承故障信號(hào)檢測(cè)[16]和變步長(zhǎng)二階隨機(jī)共振系統(tǒng)的滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)[17]、隨機(jī)共振與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解結(jié)合的滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)[18]等。目前為止，研究者發(fā)現(xiàn)Woods-Saxon模型具有平滑的底部，陡峭的勢(shì)壘壁，能夠保證粒子穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)使其達(dá)到較好輸出[19]，而三穩(wěn)態(tài)模型在微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)有比其他穩(wěn)態(tài)對(duì)噪聲利用率高的特點(diǎn)；因此本文將混合雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)與Woods-Saxon模型相結(jié)合，提出混合三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)；然后利用自適應(yīng)算法尋找混合型三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)組合，對(duì)α噪聲背景下的仿真信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，證明其優(yōu)越性；最后為了更加充分的聚集目標(biāo)頻率能量，將變分模態(tài)分解和混合三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振進(jìn)行組合并應(yīng)用于實(shí)際軸承故障信號(hào)檢測(cè)，仿真結(jié)果顯示系統(tǒng)檢測(cè)出的故障頻率與實(shí)際計(jì)算特征頻率相差無(wú)幾，進(jìn)一步驗(yàn)證了該系統(tǒng)的實(shí)用性，為該系統(tǒng)在實(shí)際工程的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)

Woods-Saxon為對(duì)稱(chēng)的單穩(wěn)態(tài)函數(shù)

(1)

式中：a為穩(wěn)態(tài)壁陡峭程度；V為穩(wěn)態(tài)深度；R為穩(wěn)態(tài)寬度。由圖1可知：穩(wěn)態(tài)的兩端收斂于x軸。由圖1(a)可知:固定V,R單獨(dú)調(diào)節(jié)a可以改變穩(wěn)態(tài)壁的陡峭程度，并且隨著a的減小穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱壁逐漸變得陡峭。由圖1(b)可知：固定R，a單獨(dú)減小V，穩(wěn)態(tài)深度減小，由圖1(c)可知:固定V，a，調(diào)節(jié)R，穩(wěn)態(tài)的寬度隨著R的增大而增大并由其單獨(dú)表征。因此勢(shì)函數(shù)的形態(tài)由a,V,R聯(lián)合控制，系統(tǒng)參數(shù)間的耦合性不高，可有效控制勢(shì)函數(shù)的形態(tài)。

1.2 混合雙穩(wěn)態(tài)模型

在混合雙穩(wěn)態(tài)模型中勢(shì)函數(shù)Um(x)是非線性對(duì)稱(chēng)雙勢(shì)阱，其勢(shì)函數(shù)為

(2)

圖2表示隨著穩(wěn)態(tài)參數(shù)b的增大，穩(wěn)態(tài)壁逐漸變得陡峭且勢(shì)壘高度減小，勢(shì)函數(shù)形狀由w型逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閡型；因此可知參數(shù)b將影響混合雙穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)態(tài)個(gè)數(shù)及穩(wěn)態(tài)寬度，可有效控制混合型雙穩(wěn)態(tài)涵蓋域及穩(wěn)態(tài)間過(guò)渡。

圖1 勢(shì)函數(shù)隨不同參數(shù)的變化Fig.1 Potential function for different parameters

圖2 混合型雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)隨b的變化Fig.2 Hybrid bistable potential function for different b

1.3 組合模型

基于以上兩種模型將Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)模型與混合雙穩(wěn)態(tài)模型相結(jié)合提出一種混合型三穩(wěn)態(tài)模型，勢(shì)函數(shù)為

(3)

圖3是混合型三穩(wěn)態(tài)的勢(shì)函數(shù)，其參考形態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)為(V,R,a,b)=(0.6,0.4,0.1,0.3)，由圖3可知該函數(shù)為軸對(duì)稱(chēng)圖形，兩邊勢(shì)阱屬于混合雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱而中間勢(shì)阱屬于Woods-Saxon,從而可知該系統(tǒng)既保留了Woods-Saxon的特性又增添了三穩(wěn)態(tài)的優(yōu)點(diǎn)。

圖3 混合型三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)Fig.3 Hybrid tri-stable potential function for different value

通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)V可知影響中間穩(wěn)態(tài)深淺，參數(shù)a影響中間穩(wěn)態(tài)壁的陡峭程度，參數(shù)R影響中間穩(wěn)態(tài)區(qū)域窄寬，參數(shù)b影響整體勢(shì)函數(shù)兩邊穩(wěn)態(tài)壁的陡峭，由布朗粒子運(yùn)動(dòng)及勢(shì)函數(shù)形態(tài)關(guān)系可知：布朗粒子從單或雙勢(shì)阱躍遷變?yōu)槿齽?shì)阱躍遷，極大的提高了噪聲的利用率，而由這些參數(shù)引起的勢(shì)阱與勢(shì)壘的改變也直接影響粒子的躍遷難易程度。

1.4 系統(tǒng)模型

隨機(jī)共振的三要素分別為：微弱驅(qū)動(dòng)信號(hào)、噪聲和非線性系統(tǒng)，代入布朗粒子運(yùn)動(dòng)方程中可以理解為布朗粒子在外部周期驅(qū)動(dòng)力下通過(guò)非線性系統(tǒng)在勢(shì)阱間的躍遷達(dá)到周期性，在不足以越過(guò)勢(shì)壘的情況下，通過(guò)協(xié)調(diào)噪聲的能量完成勢(shì)阱間的躍遷,因此二階三穩(wěn)態(tài)布朗粒子運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

其中傳統(tǒng)的隨機(jī)共振系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)及勢(shì)阱力為[20]

(5)

而由式(3)可知混合三穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱力為

(6)

由隨機(jī)變量(x,y)的Fokker-Planck方程可知其概率密度函數(shù)

(7)

式中:k為阻尼比;s(t)為外部周期驅(qū)動(dòng)力;ξ(t)為α噪聲，其特征函數(shù)表達(dá)式為

(8)

由式(8)可知α值決定該分布的拖尾特性和脈沖特性。拖尾特性和脈沖特性在α變化時(shí)呈現(xiàn)互反性，α值由小變大時(shí)拖尾特性由強(qiáng)變?nèi)酰}沖特性由弱變強(qiáng)。β∈[-1,1]為對(duì)稱(chēng)參數(shù)，確定分布的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)。參數(shù)σ∈[0,+∞)是尺度系數(shù)；μ∈(-∞,+∞)是位置參數(shù)，決定該分布的中心位置。由于α的特征指數(shù)越小，脈沖幅值就越大，振蕩粒子跳躍的距離很可能趨向無(wú)窮大，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)大量仿真驗(yàn)證對(duì)于混合三穩(wěn)態(tài)數(shù)值仿真時(shí)對(duì)輸出截?cái)酁?，雙穩(wěn)態(tài)為2。

1.5 α噪聲的產(chǎn)生方法

α噪聲的隨機(jī)變量X通過(guò)Chambers-Mallows-Stuck方法產(chǎn)生[21]，當(dāng)α≠1時(shí)

(9)

其中，

(10)

Dα,β,σ=σ[cos(arctan(βtan(πα/2)))]-1/α

(11)

當(dāng)α=1時(shí)

(12)

式中：V為(-π/2,π/2)上的均勻分布；W為均值為1的指數(shù)分布，并且V和W相互獨(dú)立。

1.6 二階穩(wěn)態(tài)方程的四階Runge-Kutta法

(13)

1.7 系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化調(diào)節(jié)

隨機(jī)共振的產(chǎn)生依靠調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度、系統(tǒng)參數(shù)使其產(chǎn)生協(xié)同作用來(lái)增強(qiáng)淹沒(méi)在噪聲中的有用信號(hào)，但是在此過(guò)程中需要判定系統(tǒng)是否產(chǎn)生了隨機(jī)共振，因此定量測(cè)度指標(biāo)更加有助于實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用隨機(jī)共振現(xiàn)象目前性能指標(biāo)主要包括信噪比、信噪比增益、互相關(guān)系數(shù)、駐留時(shí)間等，而隨機(jī)共振的主要特點(diǎn)就是將噪聲的能量轉(zhuǎn)化為有用信號(hào)的能量從而使有用信號(hào)實(shí)現(xiàn)非線性放大，最為直觀的性能指標(biāo)就是判定系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行非線性放大的程度。因此本文選取信噪比增益作為性能判定指標(biāo)，其定義為輸出信號(hào)功率譜中信號(hào)頻率處的幅值與輸出背景噪聲之比同輸入信號(hào)功率譜中信號(hào)頻率處幅值與輸入背景噪聲之比的比值。該比值能較清晰的理解輸出相比輸入的受益程度，定義為

(14)

式中：snrout(f0)為輸出信噪比；snrin(f0)為輸入信噪比。由于實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中噪聲的復(fù)雜程度，外界噪聲源一定時(shí)其噪聲強(qiáng)度固定，因此通過(guò)調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振較困難，目前的研究主要集中在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)共振，由“2.3”節(jié)可知，中間勢(shì)阱主要依賴(lài)V，R，a控制，兩邊勢(shì)阱的調(diào)節(jié)主要影響因子為b，耦合性較低，本文選取自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振，其具體步驟如下：

步驟1 初始化V，R，a及b,分別給定迭代步長(zhǎng)和范圍；

步驟2 更新V，R，a,在b的給定范圍內(nèi)搜索,比較信噪比增益,并記錄最大信噪比增益時(shí)V,R,a,b;

步驟3 判斷V,R,a是否超出搜索范圍,若未超出則轉(zhuǎn)到步驟2，若超出則停止更新轉(zhuǎn)到步驟4；

步驟4 分別在步驟2記錄的信噪比增益中調(diào)節(jié)k,找出并記錄每次調(diào)節(jié)過(guò)程中的最大信噪比增益；

步驟5 比較步驟4記錄的信噪比增益,找出最大的信噪比增益所在的V，R，a,b,k。

選取參數(shù)s(t)=0.8cos(0.2πt)，采樣頻率fs=5 Hz和采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，α噪聲參數(shù)：a=1.2，β=0和σ=1，μ=0，對(duì)于圖4(a)選取系統(tǒng)參數(shù)a=3，R=1和b=0.02，k=0.1，圖4(b)為固定系統(tǒng)參數(shù)R，b，k，而將V=5，圖4(c)為固定系統(tǒng)參數(shù)V，b，k，令a=3，對(duì)于圖4(d)為固定V，b，a，k，由圖4(a)～圖4(d)的各個(gè)系統(tǒng)參數(shù)在不同α下的信噪比增益均呈現(xiàn)“先增后減”的單峰現(xiàn)象，可證明該系統(tǒng)在α噪聲下可產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象且系統(tǒng)參數(shù)b的搜索范圍小于V，a和R范圍。由圖4(e)，k為阻尼項(xiàng)在粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中擁有阻礙粒子運(yùn)動(dòng)的功能，因此在實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)采用較高阻尼比時(shí)系統(tǒng)達(dá)到共振時(shí)所需的噪聲能量更強(qiáng)，這一點(diǎn)可以從圖中阻尼比由0.1增加到1時(shí)，信噪比增益曲線逐漸右移說(shuō)明，因此在微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)，可通過(guò)調(diào)節(jié)各個(gè)系統(tǒng)參數(shù)以及阻尼項(xiàng)使待測(cè)信號(hào)的信噪比增益達(dá)到最優(yōu)值，從而檢測(cè)出目標(biāo)信號(hào)。

2 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition，VMD)是一種自適應(yīng)頻率分解方法,每個(gè)模態(tài)由中心頻率和帶寬組成, 此過(guò)程可理解為迭代和搜尋變分問(wèn)題的最優(yōu)化,其中μk(t)為模態(tài)函數(shù),具體求解步驟為

步驟1對(duì)于每一個(gè)μk(t)通過(guò)Hilbert得到其解析信號(hào),利用exp(-jωkt)調(diào)制估計(jì)中心頻率

(15)

步驟2每個(gè)模態(tài)都能緊密地圍繞在各自中心脈沖頻率ωk附近,ωk的帶寬由以上解調(diào)信號(hào)的高斯平滑度來(lái)估算,則建立受約束的變分問(wèn)題為

(16)

式中:f為原始信號(hào);uk為模態(tài)函數(shù);ωk為各個(gè)模態(tài)的中心頻率。

式中:α為懲罰因子；λ為拉格朗日因子。

(18)

步驟5通過(guò)Parseval /Plancherel傅里葉等距變換將其轉(zhuǎn)換到頻域

(19)

通過(guò)ω=ω-ωk進(jìn)行變量代換,然后將其轉(zhuǎn)換為非負(fù)頻率區(qū)間積分形式,最終求解的更新表達(dá)式為

(20)

(21)

算法流程如下:

步驟2n=n+1開(kāi)始整個(gè)算法的循環(huán)；

步驟3 利用式(20)和式(21)更新uk和ωk,k=k+1,k∈(1,K),K為窄帶模態(tài)函數(shù)分量個(gè)數(shù)；

步驟5 給定精度e>0,若滿足判定表達(dá)式

則迭代終止,否則返回步驟2。

3 仿真信號(hào)分析

3.1 諧波振動(dòng)信號(hào)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械廣泛應(yīng)用在交通工具、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、發(fā)電機(jī)等系統(tǒng)中，其運(yùn)行時(shí)的安全可靠是減少經(jīng)濟(jì)損失、避免人身傷害的前提；因此若要保證機(jī)器的穩(wěn)定，準(zhǔn)確的健康監(jiān)測(cè)與診斷系統(tǒng)對(duì)指示旋轉(zhuǎn)機(jī)械可能發(fā)生的初期故障具有重要意義，通常旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)是通過(guò)產(chǎn)生的諧波振動(dòng)信號(hào)獲取機(jī)器的運(yùn)行狀態(tài)[22]，因此選取采樣頻率fs=5 000 Hz的諧波振動(dòng)信號(hào)模型為

采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，原始信號(hào)中其中各次諧波的幅度值d(m)m=1,2,3=[1,0.8,0.5]，信號(hào)基頻f0=10 Hz，因此cos(4πf0t)和cos(6πf0t)是以f0為基頻的二次諧波和三次諧波，其中:ξ(t)是噪聲強(qiáng)度D=2的α噪聲，參數(shù)設(shè)置為α=1.2，β=0，σ=1，μ=0。由圖5(a)可知諧波振動(dòng)信號(hào)完全被淹沒(méi)在α噪聲背景下，時(shí)域圖只能觀察到噪聲特性。在將時(shí)域信號(hào)利用FFT變換后求其相應(yīng)的功率譜圖5(b)可知功率譜中特征頻率無(wú)法識(shí)別，因此需要借助隨機(jī)共振對(duì)信號(hào)進(jìn)行非線性放大，但是由于隨機(jī)共振受絕熱近似理論的限制，而此時(shí)諧波振動(dòng)信號(hào)的頻率遠(yuǎn)大于1 Hz ，所以采用二次采樣對(duì)諧波振動(dòng)信號(hào)壓縮等效為滿足條件的低頻信號(hào)，采樣壓縮比R=fs/fsr=1 000，二次采樣頻率為fsr=5 Hz。將淹沒(méi)在α噪聲中的諧波振動(dòng)信號(hào)輸入到經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，其中系統(tǒng)參數(shù)和阻尼比(a,b,k)=(1,1,0.5)，從圖5(c)可觀察到其特征頻率，但是在其高頻還存在噪聲頻率而且干擾頻率較多，因此采用式(13)對(duì)諧波振動(dòng)含噪信號(hào)為輸入的式(4)進(jìn)行求解，利用自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)系統(tǒng)參數(shù)組合為(V,R,a,b,k)=(0.5,1,1,0.01,0.3)。經(jīng)過(guò)混合型三穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)后，圖5(d)是顯示諧波振動(dòng)信號(hào)輸出功率譜圖，對(duì)比圖5(b)、圖5(c)相應(yīng)功率譜可知隨機(jī)共振系統(tǒng)可對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行非線性放大凸顯特征頻率，對(duì)比圖5(c)、圖5(d)混合三穩(wěn)態(tài)共振系統(tǒng)較經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在諧波振動(dòng)信號(hào)特征頻率處均有較大程度的提高，能夠更好的協(xié)同噪聲放大信號(hào)，最大程度的吸收高頻噪聲能量轉(zhuǎn)化為低頻有用信號(hào)能量，使特征頻率更加明顯，而且準(zhǔn)確的檢測(cè)出諧波振動(dòng)信號(hào)，因此在α噪聲背景下檢測(cè)諧波振動(dòng)信號(hào)混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)。

圖5 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)諧波信號(hào)檢測(cè)Fig.5 The harmonic vibration signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

3.2 調(diào)幅信號(hào)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械完成旋轉(zhuǎn)動(dòng)作的主要部件為轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子常常會(huì)發(fā)生與靜止件的碰撞摩擦，這時(shí)故障會(huì)引起振動(dòng)信號(hào)的調(diào)制現(xiàn)象，因此有效識(shí)別和提取調(diào)幅振動(dòng)信號(hào)調(diào)制特性對(duì)檢測(cè)轉(zhuǎn)子故障具有實(shí)際意義[23]。選取采樣頻率fs=20 000，采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，調(diào)幅振動(dòng)信號(hào)

s(t)=A(m)(1+cos(2πf1(t)))sin(2πmf0t)+ξ(t)

其初始幅度參數(shù)為A(m)m=1,2,3=[0.8,0.5,0.2]，其中調(diào)制頻率f0=300 Hz，被調(diào)制頻率f1=30 Hz，ξ(t)是噪聲強(qiáng)度D=1.5的α噪聲，噪聲參數(shù)設(shè)置為α=1.2，β=0，σ=1，μ=0。圖6(a)為原始調(diào)幅信號(hào)時(shí)域圖形，在α噪聲背景下的調(diào)幅信號(hào)功率譜圖如圖6(b)，調(diào)幅信號(hào)已經(jīng)完全淹沒(méi)在噪聲下，由于0～10 kHz內(nèi)均有頻率點(diǎn)幅值，因此無(wú)法區(qū)別噪聲和有用信號(hào)。利用二次采樣對(duì)調(diào)幅振動(dòng)信號(hào)壓縮等效為滿足條件的低頻信號(hào)，采樣壓縮比R=fs/fsr=10 000，二次采樣頻率為fsr=2 Hz，將淹沒(méi)在α噪聲中的諧波振動(dòng)信號(hào)送入經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，其中系統(tǒng)參數(shù)和阻尼比(a,b,k)=(1,1,0.5)，由圖6(c)可以看到在0～400 Hz內(nèi)f0=300 Hz處功率譜幅值為579.1和f0+30 Hz處105.2,f0-30 Hz處126.4的譜峰值，400～800 Hz內(nèi)只能觀察到2f0=600 Hz處270.4的功率譜幅值，2f0±30 Hz周?chē)嬖谥黠@的干擾噪聲頻率，而在800～1 200 Hz內(nèi)3f0=900 Hz及3f0±30 Hz完全被噪聲所覆蓋，由此可知經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)對(duì)調(diào)幅信號(hào)檢測(cè)不佳，利用自適應(yīng)參數(shù)尋優(yōu)算法獲得混合型三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)組合及阻尼比參數(shù)大小為(V,R,a,b,k)=(1,1,5,0.3,0.5)，圖6(d)為經(jīng)過(guò)混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出功率譜圖,相比雙穩(wěn)態(tài)模型而言混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在800～1 200 Hz內(nèi)能觀察到3f0=900 Hz的譜峰值為1 042，對(duì)比圖6(c)、圖6(d)可知混合三穩(wěn)態(tài)在轉(zhuǎn)子故障引起的調(diào)幅振動(dòng)信號(hào)檢測(cè)中優(yōu)點(diǎn)凸顯，不僅檢測(cè)信號(hào)的個(gè)數(shù)優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)，更是在待測(cè)信號(hào)功率譜幅值方面高于一個(gè)量級(jí)，因此混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)擴(kuò)展了信號(hào)的檢測(cè)范圍。

圖6 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)調(diào)幅信號(hào)檢測(cè)Fig.6The amplitude modulated signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

3.3 周期衰減脈沖信號(hào)

軸承故障診斷中故障信號(hào)總是以沖擊級(jí)數(shù)的形式出現(xiàn)[24]。因此選擇含有α噪聲的周期性單邊衰減脈沖離散信號(hào)作為強(qiáng)噪聲下的模擬軸承故障信號(hào)，其單周期衰減脈沖表達(dá)式為

s(t)=Aexp(-gt)sin(2πfnt)

采樣頻率為fs=20 000，固定頻率為fn=1 200，故障頻率為f0=200，幅度為A=0.8，衰減率g=600，采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，圖7(a)周期衰減脈沖信號(hào)時(shí)域圖，在原始信號(hào)中加入α噪聲，噪聲強(qiáng)度D=0.2，參數(shù)設(shè)置為α=1.6和β=0，σ=1，μ=0。傅里葉變換后求得其功率譜如圖7(b)中并沒(méi)有觀察到故障頻率，最大幅值處為固定頻率處。0～500 Hz內(nèi)f0幅值過(guò)小，經(jīng)過(guò)采樣壓縮比R=fs/fsr=10 000，二次采樣頻率fsr=2 Hz后送入經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)(a,b,k)=(1,1,0.5)，由圖7(c)可以看到在0～1 200 Hz內(nèi)處功率譜幅值為2.751，譜幅值較低且整個(gè)帶寬內(nèi)都存在噪聲，噪聲利用率較低；因此利用式(12)對(duì)含噪周期衰減脈沖信號(hào)為輸入的式(4)進(jìn)行求解，利用參數(shù)自適應(yīng)尋優(yōu)算法獲得最優(yōu)參數(shù)組合為(V,R,a,b,k)=(3,5,1.7,0.04,0.5)，圖7(d)為經(jīng)過(guò)混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的輸出功率譜圖，800～2 000 Hz處已無(wú)噪聲存在，且能夠檢測(cè)出故障特征頻率外的二倍頻及三倍頻，對(duì)比圖7(c) 、圖7(d)可知混合三穩(wěn)態(tài)更適合于軸承故障的診斷，能夠清晰、準(zhǔn)確的提取出軸承故障的特征頻率。

圖7 經(jīng)典雙穩(wěn)和混合三穩(wěn)周期衰減脈沖信號(hào)檢測(cè)Fig.7 The periodic unilateral attenuation impulse signal detection of the classical bistable and hybrid tri-stable system

4 深溝球軸承實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

滾動(dòng)軸承故障信號(hào)具有非平穩(wěn)性、微弱性，常常淹沒(méi)在強(qiáng)大的背景噪聲中難以發(fā)現(xiàn)和提取，極易對(duì)工程應(yīng)用造成不可估量的損失，軸承故障常常以倍頻形式存在，為驗(yàn)證變長(zhǎng)模態(tài)分解與混合三穩(wěn)隨機(jī)共振組合系統(tǒng)在軸承故障信號(hào)檢測(cè)的實(shí)用性。采用西儲(chǔ)大學(xué)電氣工程實(shí)驗(yàn)室型號(hào)為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承裝置[25]。軸承轉(zhuǎn)速1 797 r/min采樣頻率fs=12 kHz；表1滾動(dòng)軸承主要計(jì)算參數(shù)，由式(22)計(jì)算外圈故障頻率為107.3。

圖8 6205-2RS JEM SKF實(shí)驗(yàn)與采集裝置Fig.8 6205-2RS JEM SKF experimental equipment

表1 6205-2RS JEM SKF軸承參數(shù)

軸承故障信號(hào)頻率計(jì)算

(22)

圖9 故障信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖Fig.9 The time domain and frequency of the fault signal

圖10 加噪信號(hào)時(shí)頻圖Fig.10 The time domain and frequency of the noisy fault signal

圖11 變分模態(tài)分解時(shí)域圖Fig.11 The time domain of the VMD

圖12 變分模態(tài)分解功率譜圖Fig.12 The frequency of the VMD

圖13 重構(gòu)信號(hào)時(shí)頻圖Fig.13 The time and frequency of the reconstructed signals

圖14 組合系統(tǒng)輸出時(shí)頻圖Fig.14 The time and frequency of combined system

5 結(jié) 論

本文將Woods-Saxon單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)與混合雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)組合成一種新型的三穩(wěn)系統(tǒng)，稱(chēng)為混合型型三穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)。該系統(tǒng)不僅保留了Woods-Saxon對(duì)于軸承信號(hào)檢測(cè)的優(yōu)良性，而且擁有三穩(wěn)態(tài)對(duì)噪聲充分利用的特點(diǎn)，文中以信噪比增益為衡量指標(biāo)，利用自適應(yīng)算法通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)(V,R,a,b,k)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振的最佳輸出，而且利用噪聲的變化證明了混合三穩(wěn)態(tài)信噪比增益符合隨機(jī)共振的典型先增后減特性，針對(duì)α噪聲背景的諧波振動(dòng)信號(hào)、調(diào)幅信號(hào)、周期衰減脈沖信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果表明：混合三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在三者檢測(cè)中均優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，能夠檢測(cè)出經(jīng)典雙穩(wěn)態(tài)未檢測(cè)出的待測(cè)信號(hào)。為了更好的將系統(tǒng)應(yīng)用于實(shí)際，將變長(zhǎng)模態(tài)分解與混合三穩(wěn)態(tài)結(jié)合，能夠?qū)崿F(xiàn)更近一步的聚集目標(biāo)頻率能量,通過(guò)實(shí)際軸承信號(hào)驗(yàn)證，該系統(tǒng)在復(fù)雜噪聲背景下不僅檢測(cè)出軸承特征頻率而且清晰顯示其倍頻，充分的證明了該系統(tǒng)在故障檢測(cè)效果的良好性，因此本文為所提系統(tǒng)的應(yīng)用提供了有意義的參考價(jià)值。