方晨寧

摘 要：為了解決傳統(tǒng)統(tǒng)計過程控制中統(tǒng)計量之間不滿足相互獨立的現(xiàn)象，利用Hotelling T2統(tǒng)計量構造殘差控制圖，建立了多元自相關模型，研究了在多元自相關情況下控制圖的控制效果，并在參數(shù)已知的前提下構造統(tǒng)計量，引出了過程偏移量的概念。通過蒙特卡洛隨機模擬的試驗方法并引入平滑系數(shù)得出在不同偏移量λ下的平均運行鏈長，擬合出平均運行鏈長ARL和偏移量λ之間的函數(shù)關系，最后用算例驗證了T2統(tǒng)計量的殘差控制圖對出現(xiàn)偏移的多元自相關過程有管控作用。

關鍵詞：統(tǒng)計過程控制;多元自相關;Hotelling T2控制圖

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.098

1 引言

統(tǒng)計過程控制（SPC，Statistical Process Control）在現(xiàn)代工業(yè)中的應用十分廣泛，它在實施過程監(jiān)控、提高產品質量中起到了十分重要的作用。此外，統(tǒng)計過程控制理論提供了多種控制圖來監(jiān)測過程的集中趨勢和離散趨勢。但是，傳統(tǒng)的統(tǒng)計過程控制理論全部基于過程觀測數(shù)據(jù)獨立這一基本假設，而在實際工作中，過程數(shù)據(jù)并不是總能滿足這一假設前提，如化工、制藥等連續(xù)型生產等，多數(shù)數(shù)據(jù)會存在自相關現(xiàn)象。當存在這一現(xiàn)象時，傳統(tǒng)的理論不能有效、恰當?shù)乜刂坪透倪M過程質量，在某些情況下，甚至會出現(xiàn)大量的虛發(fā)警報現(xiàn)象，給質量管理、質量控制工作帶來嚴重誤導，使控制圖的應用效果大為降低，甚至喪失監(jiān)控作用。

近年來，隨著生產力的提高，數(shù)據(jù)自相關現(xiàn)象逐步引起學術界的重視。一種解決方法是降低過程平穩(wěn)時的抽樣頻率，但這一方法卻使信息遺失的概率大大增加。另一種是使用時間序列模型，通過建立時序模型對過程觀測值進行擬合，再利用數(shù)據(jù)殘差構造殘差控制圖。即使這樣，大多學術界的成果還是局限于一元過程，多元問題相當于多元的隨機過程，它在原有的基礎上增加了時間軸，而數(shù)據(jù)的自相關性更加增大了難度。但是，從質量控制的實際應用角度來考慮，多元自相關理論具有重大的應用價值。目前，已有學者研究出對于多元自相關過程的控制方法，如多元的CUSUM控制圖，主成分分析法，多元EWMA控制圖，具有診斷功能的Z圖，卡爾曼濾波法等。清華大學的孫靜和楊穆爾教授提出了二元自相關過程的殘差T2控制圖，并對其進行了效果分析，在此基礎上分析了多元自相關的殘差T2控制圖，研究出對多元自相關過程中均值偏移程度的描述方法。

本文首先介紹了p 階自回歸的VAR模型，然后設計Hotelling T2控制圖，探討了平均運行鏈長ARL隨著偏移量而變化的曲線，并給出相對應的函數(shù)關系，最后通過一個多元自相關的模型算例驗證了這一關系，殘差控制圖可以很好地控制當多元自相關過程出現(xiàn)偏移時的情況。

2 多元自相關的模型建立

我們用Xt表示一個d元自相關過程，它服從平穩(wěn)的p階VAR（p）模型，觀測值序列為：

3 殘差控制圖的設計與偏移量分析

承接上文，由于觀測值序列Xt是多元自相關的，所以Xt不符合HotellingT2統(tǒng)計量的獨立性假設，但是隨機誤差矩陣εt是一個白噪聲序列，符合獨立性假設，有

當分布參數(shù)λ發(fā)生變化時，則相應的卡方分布也會發(fā)生改變，統(tǒng)計量T2的均值由d變?yōu)閐+λ0，方差由2d變?yōu)?d+4λ0，其中λ0為偏移后的分布參數(shù)。所以，λ0越大，分布的差異越大，偏移程度越顯著。

由λ的表達式可知，λ的計算涉及自回歸系數(shù)矩陣Ai，協(xié)方差矩陣Σ和均值偏移向量Δ，所以可以認為用λ作為本文的偏移量來測算多元自相關過程的控制偏差是合理的。

4 殘差控制圖的效果分析

平均運行鏈長ARL是作為判斷統(tǒng)計過程控制圖控制效果好壞的一種常用評判工具，在多元自相關過程中，同樣可以通過計算ARL來評價控制圖的控制效果。

當已知偏移量λ和虛發(fā)警報概率時，我們可以計算出平均運行鏈長ARL的數(shù)值，但由于首先需要知道上控制限UCL以及相對應的卡方分布通過不定積分才能求出觸發(fā)警報的概率P，再通過公式ARL=1P得出結果。但這種傳統(tǒng)方法不僅計算過于繁雜，且往往很難給出正確結果，所以，本文將不采取這一方法。

不失一般性地，本文將采取蒙特卡洛隨機模擬的方法進行對多元自相關過程殘差控制圖在不同的分布參數(shù)λ下的平均運行鏈長ARL的分析。為了方便計算描述，我們令一個二元自相關過程服從平穩(wěn)的VAR（1）模型，均值μ=0，則表達式為：

引入平滑系數(shù)α，利用MATLAB進行多次模擬計算，當α取不同數(shù)值時，發(fā)現(xiàn)未發(fā)生偏移時的平均運行鏈長ARL0總是徘徊在200左右，見表2。因此本文選取ARL0=200，T=0.005，利用偏移量公式λ=I-AiΣΔTΣ-1I-AiΣΔ，計算出λ的取值范圍可從0到700。

ARL隨λ變化的模擬曲線如圖1所示。

由圖1可知，平均運行鏈長ARL隨著偏移量λ的增大呈指數(shù)型遞減，最終逐漸收斂于1，擬合的函數(shù)關系式為ARL=exp（-1.82λ+5.523）+1。顯然，當λ>0.34時，相對應的ARL的取值遠小于未發(fā)生偏移的平均運行鏈長ARL0，且ARLλ

5 算例分析

為了便于驗證，下面用一個二元自相關過程作為算例來證明Hotelling T2控制圖的監(jiān)控情況。假設單變量自相關過程可以用VAR（1）模型表示，則由公式（1）可知：

6 結論

近年來，隨著生產力水平的提高、產品質量的迅速提升、質量控制的日益嚴格，自相關問題漸漸引起國際上質量專家們的重視。本文根據(jù)多元自相關過程在統(tǒng)計質量控制中無法滿足獨立性假設的情況，建立了VAR（p）模型，其殘差εt服從正態(tài)分布，滿足獨立性質，利用統(tǒng)計量T2構造了殘差控制圖，并給出了過程偏移量λ的定義。利用蒙特卡洛隨機模擬，引入平滑系數(shù)，結合一個簡單的二元自相關例子得出控制圖的平均運行鏈長ARL隨偏移量λ的變化曲線，擬合出ARL與λ的函數(shù)關系，得出平均運行鏈長ARL隨著偏移量λ的增大而呈指數(shù)型遞減，且結果收斂于1。隨機試驗表明，Hotelling T2的殘差控制圖可以有效管控出現(xiàn)較大偏移的多元自相關統(tǒng)計過程，然而，對于出現(xiàn)小偏移的多元自相關過程則監(jiān)控效果較差。