程宏

【摘 要】點(diǎn)子圖作為一種直觀計(jì)算模型，具有形式簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生探索算法、理解算理具有重要意義。但調(diào)研時(shí)發(fā)現(xiàn)教師在點(diǎn)子圖的使用過(guò)程中存在諸多問(wèn)題。筆者以“隊(duì)列表演（一）”為例，對(duì)點(diǎn)子圖使用作簡(jiǎn)單闡述，拋磚引玉，望引起廣大教師的思考。

【關(guān)鍵詞】點(diǎn)子圖;課堂;實(shí)效

所謂點(diǎn)子圖，就是介于實(shí)物與數(shù)字之間的圓點(diǎn)圖。北師大第四版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，點(diǎn)子圖第一次用于計(jì)算教學(xué)，是在二年級(jí)上冊(cè)的第三單元《數(shù)一數(shù)與乘法》第3課《有多少點(diǎn)子（乘法的直觀模型）》中。且后續(xù)的兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)學(xué)習(xí)中也相繼出現(xiàn)了點(diǎn)子圖這一計(jì)算模型。它讓學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)中，探索出合理、簡(jiǎn)捷的計(jì)算方法，同時(shí)幫助理解算理，已成為學(xué)生探索算法、理解算理的有效抓手。

但筆者在隨堂調(diào)研中卻發(fā)現(xiàn)教學(xué)中點(diǎn)子圖的使用情況并不理想。教師棄之不用的情況經(jīng)常出現(xiàn)。如何引導(dǎo)師生有效的使用點(diǎn)子圖，是我們急需解決的問(wèn)題。本文將以三年級(jí)下冊(cè)“隊(duì)列表演（一）”為例來(lái)談?wù)勅绾谓柚c(diǎn)子圖幫助學(xué)生靈活探索計(jì)算方法，提高課堂實(shí)效。

1.認(rèn)真研讀教材，理解點(diǎn)子圖的編排意圖

要用好點(diǎn)子圖，首先教師就要認(rèn)真研讀教材，結(jié)合教師用書(shū)，讀懂教材中點(diǎn)子圖編排的意圖。弄清楚每一次、每一幅點(diǎn)子圖出現(xiàn)的目的、作用，做到心中有數(shù)。

例如，在本課中，主要是引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)子圖探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，重點(diǎn)是學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的橫式計(jì)算方法。為了幫助學(xué)生更好的理解并掌握算法及算理。教材通過(guò)“隊(duì)列表演”情境引入，并通過(guò)三個(gè)問(wèn)題逐步引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)計(jì)算的過(guò)程和方法。第一個(gè)問(wèn)題是引導(dǎo)學(xué)生借助點(diǎn)子圖探究14×12的直觀運(yùn)算，并用橫式記錄計(jì)算的過(guò)程與方法。教材呈現(xiàn)了三幅點(diǎn)子圖（圖略），目的是借助點(diǎn)子圖的直觀，引導(dǎo)學(xué)生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算方法，并理解乘法意義及算理。同時(shí)，這三幅點(diǎn)子圖的作用是不同的。點(diǎn)子圖（一）的作用是引導(dǎo)學(xué)生用以前所學(xué)的方法將點(diǎn)子圖平均分成上下兩部分，再進(jìn)行計(jì)算，更多的是體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。因此，教學(xué)中，這種方法并不是最重要的。點(diǎn)子圖（二）所呈現(xiàn)的方法不僅體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，更重要的是這種方法是下一課“隊(duì)列表演（二）”中列豎式計(jì)算的算理，因此，這種“圈”的方法應(yīng)該是本課教學(xué)的一大重點(diǎn)。而點(diǎn)子圖（三）所呈現(xiàn)的方法正好直觀的回答了問(wèn)題二：點(diǎn)子圖的乘法運(yùn)算與列表法的乘法運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生理解用列表法計(jì)算的道理。因此，在本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)該放在點(diǎn)子圖（二）（三）上。

2.用好點(diǎn)子圖，探索算法，明晰算理

基于教材研讀及學(xué)情分析，本課的教學(xué)目標(biāo)定位為結(jié)合情境，利用點(diǎn)子圖探索并掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，并理解算理;通過(guò)教學(xué)交流，體驗(yàn)算法多樣化及算理直觀化。

為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，筆者進(jìn)行了以下教學(xué)：

自探自研：出示情境并提問(wèn)：學(xué)校舉行隊(duì)列表演，一共有12行，每行有14人，一共有多少人參加？請(qǐng)你列出算式。如何計(jì)算14×12呢？能借助以前學(xué)過(guò)的點(diǎn)子圖，在點(diǎn)子圖上圈一圈，并根據(jù)圈的過(guò)程列出算式嗎？

小組交流：組內(nèi)分享，“把你圈的過(guò)程與算式交流交流”。

展示匯報(bào)：結(jié)合圈點(diǎn)子圖的過(guò)程，匯報(bào)算法。學(xué)生主要呈現(xiàn)了以下方法：

方法1：把12行分成上下各6行，先算出上面的6行，即14×6=84，再乘2得到算式：84×2=168。

方法2：把12行分成三部分，每個(gè)部分4行，先算一個(gè)部分，即14×4=56，再乘3得到算式：56×3=168。

方法3：把12行分成上面10行和下面2行，先算上面的10行，算式是14×10=140，再算下面的2行，算式是14×2=28，最后得到算式：140+28=168。

方法4：把12分成10和2，把14分成10和4，即把點(diǎn)子圖分成10×10、10×4、10×2、2×4四部分，最后把結(jié)果相加得到168。

……

這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生借助點(diǎn)子圖圈一圈，列出算式，解釋算法、算理。有了這一直觀載體，學(xué)生的思維豁朗開(kāi)朗，大多數(shù)學(xué)生都能結(jié)合點(diǎn)子圖列出算式。學(xué)生在圈一圈的過(guò)程中，自然的把直觀的操作與列式有機(jī)地聯(lián)系了起來(lái)，真正實(shí)現(xiàn)理解了算法，明晰了算理。同時(shí)，上述環(huán)節(jié)中，學(xué)生出現(xiàn)了多種算法。是否每種方法都需要去具體強(qiáng)調(diào)呢？如果每種方法都一一強(qiáng)調(diào)，教學(xué)時(shí)間顯然不夠，這時(shí)就需要我們理清每種方法背后隱藏的數(shù)學(xué)思維、算理是否對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)有幫助。很顯然，方法3和方法4對(duì)下一課“隊(duì)列表演（二）”的學(xué)習(xí)有至關(guān)重要的作用。因此，我們要針對(duì)這兩種方法進(jìn)行重點(diǎn)引導(dǎo)，其它的算法點(diǎn)到為止即可。

3.準(zhǔn)確把握點(diǎn)子圖操作的時(shí)機(jī)

簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是要在學(xué)生迫切需要利用點(diǎn)子圖的時(shí)候，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作，使點(diǎn)子圖成為促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的有效載體。本課教學(xué)時(shí)，首先復(fù)習(xí)點(diǎn)子圖在二年級(jí)上冊(cè)“乘法”單元的運(yùn)用，為學(xué)生探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)作了知識(shí)和方法上的鋪墊。然后提出計(jì)算14×12能不能像以前那樣，也通過(guò)“圈一圈”來(lái)解決問(wèn)題呢。此時(shí)學(xué)生正處于“自我需求”的狀態(tài)，教師準(zhǔn)確及時(shí)地把握住了點(diǎn)子圖使用的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生探究出多種方法，再讓學(xué)生逐一展示他們的思維過(guò)程，從不同角度，用不同方法都探究出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，并且通過(guò)點(diǎn)子圖操作，既靈活了算法，又明晰了算理，可謂一舉多得。

數(shù)學(xué)研究及其發(fā)展歷程充分表明了越是抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，就越需要直觀形象的模型作支撐。而點(diǎn)子圖這種直觀的計(jì)算模型，為學(xué)生理解算法、算理提供了強(qiáng)有力的支持。因此，教師在教學(xué)中要深入理解課標(biāo)理念，吃透教材點(diǎn)子圖的編排意圖，用好點(diǎn)子圖，讓點(diǎn)子圖發(fā)揮直觀計(jì)算模型的最大功能，提升課堂實(shí)效，真正培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。