許俊豪

【摘 要】數(shù)學(xué)上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數(shù)規(guī)劃中的一個(gè)算法，可用來(lái)為線性方程組求解。但其算法十分復(fù)雜，不常用于加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過(guò)，如果有過(guò)百萬(wàn)條等式時(shí)，這個(gè)算法會(huì)十分省時(shí)。一些極大的方程組通常會(huì)用迭代法以及花式消元來(lái)解決。當(dāng)用于一個(gè)矩陣時(shí)，高斯消元法會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來(lái)解決數(shù)千條等式及未知數(shù)。亦有一些方法特地用來(lái)解決一些有特別排列系數(shù)的方程組。該方法以數(shù)學(xué)家高斯命名，由拉布扎比。伊丁特改進(jìn)，發(fā)表于法國(guó)但最早出現(xiàn)于中國(guó)古籍《九章算術(shù)》，成書(shū)于約公元前150年。

【關(guān)鍵詞】高斯消去法;線性方程組;算法;矩陣

一、我對(duì)高斯消去法感興趣的原因

在剛開(kāi)始聽(tīng)周老師講高斯消去法時(shí)我一下子提起了興趣，因?yàn)閺男∥揖蛯?duì)高斯這個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家充滿興趣，高斯是一位天才，知道他用99+1=100這種首尾相加解決了求和問(wèn)題，那個(gè)故事我還記憶猶新，這也許是高斯消去法的靈感源泉，因?yàn)榘丫仃嚮癁樯先腔蛘呦氯窍喈?dāng)于化整，我覺(jué)得這種方法的靈感值得我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人員借鑒，并且高斯公式也運(yùn)用的很廣泛。

當(dāng)聽(tīng)到高斯這個(gè)名字，我立馬打起精神來(lái)學(xué)習(xí)，然后我發(fā)現(xiàn)它和我們之前學(xué)習(xí)的高等代數(shù)有關(guān)，確實(shí)是一個(gè)古老的求解線性方程的方法，而我國(guó)在古代《九章算術(shù)》中就有涉及，但我覺(jué)得越古老就越經(jīng)典，它可以拿出來(lái)用，就說(shuō)明它的基本思想是很經(jīng)典的，果然在學(xué)習(xí)了數(shù)值分析的高斯消去法后，它把高斯消去法原理不斷運(yùn)用衍生出選主元素消去法、三角分解法，而這兩種方法利用計(jì)算機(jī)是非常方便展示出來(lái)的。

其最基本的原理就是：用行的初等變換將原線性方程組系數(shù)矩陣化為簡(jiǎn)單形式（上三角矩陣），從而將求解原線性方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單方程組的問(wèn)題。所以在電腦上輸入代碼無(wú)論多大的矩陣計(jì)算機(jī)都可以計(jì)算，并且書(shū)中解釋了消元過(guò)程，如果A是非奇異矩陣就可以得到求解公式：

其次書(shū)中還介紹其運(yùn)用在矩陣的三角分解和列主元消去法，這些在計(jì)算機(jī)上的運(yùn)用是比較重要的，矩陣的三角分解法是由消元法演變而來(lái)的解線性方程組的一類方法。設(shè)方程組的矩陣形式為Ax=b，三角分解法是將系數(shù)矩陣A分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U之積：A=LU，然后依次解兩個(gè)三角形方程組Ly=b和Ux=y，而得到原方程組的解。

二、高斯消去法在MATLAB中的運(yùn)用

首先是用主列元高斯消去法解線性方程組：

%%求解任意線性方程組的解

clc;

clear all;

format long e

disp（‘線性方程組求解，請(qǐng)輸入?yún)?shù)）;

n=input（‘維數(shù)n=）;

A=input（‘矩陣A=）;

b=input（‘右端項(xiàng)b=）;

eps=input（'控制精度eps='）;

b=b;? %%變?yōu)榱邢蛄?/p>

A=[A b]; %%矩陣增廣

for k=1：n-1

B=A（k：n，k）;%%先將第k列可能作為主元的元素取出方至矩陣B

P=max（abs（B））;? %%選主元P

if（P

disp（‘無(wú)解）;

break;

else

u=find（（abs（B））==P）; %%計(jì)算主元所在行相對(duì)與k行的位置

if（u～=1）

A（[k，u]，：）=A（[u，k]，：）; ？%%換行

end

m=A（k+1：n，k）/A（k，k）;? %%求出各行行乘數(shù)并放至矩陣m

for i=1：length（m）

A（k+i，k：n+1）=A（k+i，k：n+1）-m（i）*A（k，k：n+1）; %%消元按行進(jìn)行

end

end

end

if A（n，n）==0

disp（‘無(wú)解） %%若矩陣A不滿秩，則無(wú)解

else

x（n）=A（n，n+1）/A（n，n）;? %%由最后一行首先求出方程組的第一個(gè)解x（n）

for i=n-1：-1：1 %%計(jì)算第i個(gè)解x（i）

for j=1：1：n-i %%利用回代思想

A（i，n+1）=A（i，n+1）-A（i，i+j）*x（i+j）; %%減去已知部分

end

x（i）=A（i，n+1）/A（i，i）;

end

end

disp（‘方程組的解）;

x=x? %%輸出方程組的解

其流程圖可用如下表述：

在書(shū)中p178頁(yè)的第二題我套用用了該代碼然后解出兩個(gè)線性方程組，還是計(jì)算時(shí)間是比較快的，不然手算的話，做半年都不一定能做的對(duì)和做的出。

接著我又在網(wǎng)上查詢了矩陣LU的分解，了解以下程序：

A=[1，2，3;1，3，5;1，3，6];

b=[2，3，4];

x=grout（A，b）;

function x=grout（B，c）

n=size（B，1）;

L=eye（n）;

U=zeros（n）;

for i=1：n

s=0;

t=0;

for j=1：i-1

s=s+L（i，j）*U（j，i：n）;

t=t+L（i+1：n，j）*U（j，i）;

end

U（i，i：n）= B（i，i：n）-s;

L（i+1：n，i）=（B（i+1：n，i）-t）/U（i，i）;

end

y=grout1（L，c）;

x=grout2（U，y）;

function y=grout1（B，c）

n=size（B，1）;

y=zeros（n，1）;

for i=1：n

s=0;

for j=1：i-1

s=s+B（i，j）*y（j）;

end

y（i）=c（i）-s;

end

end

function x=grout2（U，y）

n=size（U，1）;

x=zeros（n，1）;

for i=n：-1：1

s=0;

for j=n：-1：i+1

s=s+U（i，j）*y（j）;

end

x（i）=（y（i）-s）/U（i，i）;

end

end

個(gè)人認(rèn)為其核心內(nèi)容總的來(lái)說(shuō)是分解獲得L和U，從而解出X。在MATLAB中僅我了解到的是這種算法很方便，但不知其實(shí)際作用，然后在好奇心驅(qū)使通過(guò)查找高斯消去法在各方面各領(lǐng)域中的應(yīng)用，結(jié)果真的令人大吃一驚！

三、高斯消去法在實(shí)際生活中的運(yùn)用：

我通過(guò)中國(guó)知網(wǎng)的論文庫(kù)查到利用高斯消去法有效求解帶電路分析。在電路系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，在進(jìn)行交流小信號(hào)分析時(shí)，所列的方程是線性代數(shù)方程，可以采用高斯消元法或LU分解法;對(duì)于直流非線性分析，所列方程是非線性代數(shù)方程，可以采用牛頓一拉夫森方法迭代求解。

例如在電路的直流分析中，電容開(kāi)路，電感短路，計(jì)算電路的靜態(tài)工作點(diǎn)。在交流小信號(hào)分析中，電路也先要進(jìn)行直流分析，以確定半導(dǎo)體器件的跨導(dǎo)等小信號(hào)參數(shù)。在瞬態(tài)分析中，需求出電路在指定時(shí)間區(qū)間上的解，這時(shí)電路的方程是常微分方程，求解常微分方程必須先求出電路儲(chǔ)能元件上的初始電流或電壓值，這也由直流分析來(lái)完成。

線性電路的直流分析所建立的方程是線性代數(shù)方程組。對(duì)于建立電路線性代數(shù)方程組方法可以應(yīng)用節(jié)點(diǎn)法或改進(jìn)節(jié)點(diǎn)法，也可以采用表矩陣法和雙圖法，這些方法都可以利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)建立。如果我們建立好了電路的代數(shù)方程組AX=B，一般可以利用高斯消去法和LU分解法來(lái)解方程組。實(shí)際上對(duì)于稍大些的電路（Cn>40），建立的矩陣A是個(gè)稀疏矩陣，矩陣含有大量的零元素?？梢杂酶咚怪髟シ▉?lái)算。

這相當(dāng)與建模的一部分，先列出物理模型然后再運(yùn)用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方程為大量的線性代數(shù)方程，則可以用到數(shù)學(xué)中的高斯消去法來(lái)算。我下面列出物理上高斯消去法的運(yùn)用：

以帶權(quán)圖的形式給出一個(gè)用n個(gè)結(jié)點(diǎn)和m個(gè)電阻連接的電路，求點(diǎn)1與點(diǎn)n兩點(diǎn)間的電阻。

解法基于兩個(gè)事實(shí)：

1.<基爾霍夫定律>：所有點(diǎn)的電流總流入等于總流出（除了1和n兩點(diǎn)）。

2.<歐姆定律>：I=U/R=（Ex-Ey）/R

因?yàn)殡娏鞣较虿缓么_定，不妨令電流可正可負(fù)，那么定律1可以表示成“總流出之和等于0”，于是對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)列一方程，高斯消去法解之即可。

四、掌握高斯消去法對(duì)于我的好處

熟練掌握了高斯消去法，對(duì)于許多矩陣問(wèn)題我都可以輕而易舉地解決，尤其是10階乘以上的線性方程組矩陣我可以利用計(jì)算機(jī)來(lái)求出其解，真的非常方便，我覺(jué)得這個(gè)算法的核心是化簡(jiǎn)。運(yùn)用各種方法把矩陣化簡(jiǎn)然后把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化則成了高斯消去法。但其算法十分復(fù)雜，不常用于加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過(guò)，如果有過(guò)百萬(wàn)條等式時(shí)，這個(gè)算法會(huì)十分省時(shí)。一些極大的方程組通常會(huì)用迭代法以及花式消元來(lái)解決。當(dāng)用于一個(gè)矩陣時(shí)，高斯消元法會(huì)產(chǎn)生出一個(gè)“行梯陣式”。高斯消元法可以在電腦中來(lái)解決數(shù)千條等式及未知數(shù)。亦有一些方法特地用來(lái)解決一些有特別排列的系數(shù)的方程組。

我覺(jué)得左方的消元過(guò)程是我最喜歡的，這就是高斯消去法的精髓，我在學(xué)習(xí)中慢慢體會(huì)到了高斯消去法能解決許多復(fù)雜問(wèn)題。再熟練運(yùn)用MATLAB，再難得問(wèn)題也可以被計(jì)算簡(jiǎn)化。

五、我感受到這種算法的魔力

在學(xué)習(xí)這種算法的過(guò)程中，我學(xué)會(huì)了一種重要的思想那就是消元，在初中高中我們也都用過(guò)消元法，這是比較經(jīng)典的，所以在大學(xué)我們學(xué)會(huì)了高斯將這種消元法衍生，所以我懂得了，我們不是不可以做到偉大，我們只需站在前人的肩膀上，將前人的智慧衍生改進(jìn)，就像高斯消去法其衍生出的列主元消去法和LU解法，我們也可以像那些數(shù)學(xué)家一樣。這種算法使我著迷，使我想要了解它的一切，它既是一切的捷徑又是數(shù)學(xué)家的心血，只要我們好好讀書(shū)，好好專研，就能發(fā)現(xiàn)更優(yōu)的算法，算法的魔力是不言而喻的，讓人覺(jué)得巧妙卻又在情理之中。