覃曦

【摘 要】一元二次方程的根的判別式是判斷一元二次方程的根存在與否的重要依據(jù)，且在研究不等、二次三項(xiàng)式、二次函數(shù)、二次曲線及求某些函數(shù)的定義域、值域以及極值等方面都有廣泛應(yīng)用，在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有重要的地位.本文主要討論了一元二次方程的根的判別式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.本文討論了判別式在中學(xué)數(shù)學(xué)八大類問題中的應(yīng)用：第一類是解方程問題，特別是解決復(fù)雜的方程問題;第二類是求參數(shù)問題;第三類是解決函數(shù)的有關(guān)問題;第四類是求最值問題;第五類是用于證明命題;第六類是在平面幾何中的應(yīng)用;第七類是在解析幾何中的應(yīng)用;第八類是在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】一元二次方程;判別式; 解題; 應(yīng)用

定義：把叫做一元二次方程（）的根的判別式，通常用符號“”表示。

中學(xué)數(shù)學(xué)中，一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式、二次三項(xiàng)式這四個(gè)“二”的組合，使得一元二次方程的根的判別式產(chǎn)生出許多妙用，它使得一些題目化繁為簡，化難為易。

若能恰當(dāng)?shù)奶幚砗门袆e式與四個(gè)“二次”的關(guān)系，在解決有關(guān)問題中就能起到事半功倍的作用。

一、解方程

當(dāng)命題涉及比較繁雜的二元二次方程、二元高次方程、非整式方程、超越方程及高次方程組時(shí)，可以考慮用判別式法化繁為簡、化難為易，使問題得到順利解決。

1、解二元二次方程

例1.（希望杯試題）求方程的實(shí)數(shù)解.

解：將原方程看成關(guān)于的一元二次方程.

為實(shí)數(shù)，

.

即，，將代入原方程得 .

原方程的實(shí)數(shù)解為 .

2、解二元高次方程

例2.（1995年江蘇省初中數(shù)學(xué)競賽試題）求方程的整數(shù)解.

解：將原方程整理成關(guān)于的方程

為整數(shù)，故， ，

即， ，

當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，解?.

當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋藭r(shí)無實(shí)數(shù)解 .

綜上所述，原方程的整數(shù)解為 或? ?.

二、求參數(shù)

當(dāng)問題涉及求方程中的待定系數(shù)、不等式中的參數(shù)、求代數(shù)式中的字母的取值范圍時(shí)，可以巧妙的運(yùn)用判別式法去解決，以達(dá)到事半功倍的效果.

1、結(jié)合方程的根的情況，確定系數(shù)的取值.

例3.當(dāng)m是什么整數(shù)時(shí)，方程與的根都是整數(shù)解.

解：由題意得即

∴

又m是整數(shù)，故、0、1，將、0、1分別代入兩個(gè)方程，

可知當(dāng)時(shí)兩個(gè)方程的根都是整數(shù).

2、結(jié)合不等式的情況確定參數(shù)的取值范圍.

例4.不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

分析：本題屬于求恒成立的不等式中參數(shù)的取值范圍的問題，可以利用二次函數(shù)的判別式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.

解：（1）當(dāng)時(shí)，且時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式對不恒成立.

（2）當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，有

解得，

綜合（1）、（2）得為所求.

三、解決函數(shù)的有關(guān)問題

1、求函數(shù)的定義域.

例5.求函數(shù)的定義域.

分析：要使函數(shù)有意義，則真數(shù)必須大于零，因此問題轉(zhuǎn)化為求不等式的解.

解：由，，

不等式 的解集為全體實(shí)數(shù)，即函數(shù)的定義域?yàn)镽.

2、求函數(shù)的值域.

例6.求函數(shù)的值域

解：整理得，

即 ，函數(shù)的值域?yàn)?

綜上所述，我們對于一些二元二次（二元高次、非整式、超越、高次）方程（組），參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的有關(guān)問題，即定義域（值域、解析式），最值問題，證明題，平面幾何問題，解析幾何問題，生活中的實(shí)際問題等，如果能夠充分的挖掘其題目的特征，將其看成（轉(zhuǎn)化、構(gòu)造）一元二次方程（不等式，函數(shù)），再依據(jù)方程根的存在性（與不等式的解的情況、函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)），利用判別式即可使問題得到順利解決.其一般步驟是：問題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）一元二次方程（不等式、函數(shù)）判別式結(jié)論.

這種解決問題的方法具有思路清晰，解法簡捷和步驟程序化的特點(diǎn)，并且常能避免問題的復(fù)雜的計(jì)算，有助于知識的橫向聯(lián)系和解題能力的提高.

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