曹可勁 馬恒超 朱銀兵 李 豹

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

定位數(shù)據(jù)的后處理中，對精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行插值計算是初始步驟，最常采用的是拉格朗日、牛頓和切比雪夫多項式插值法。目前IGS分析中心提供的最終產(chǎn)品，鐘差精度為0.1ns，優(yōu)于廣播星歷約2個數(shù)量級［1，11]，折算成等效衛(wèi)星測距誤差SISRE已下降到厘米級，鑒于多項式插值固有的特性，在此精度上進(jìn)行插值計算應(yīng)仔細(xì)處理。例如文獻(xiàn)［2]對北斗三種衛(wèi)星軌道坐標(biāo)采用了拉格朗日和牛頓插值法分別進(jìn)行了計算，認(rèn)為應(yīng)該根據(jù)不同情況選擇不同階數(shù)；文獻(xiàn)［3]對拉格朗日、牛頓、滑動拉格朗日三種插值方式進(jìn)行了對比分析，認(rèn)為對于鐘差插值線性插值與多項式插值的精度差別不大；文獻(xiàn)［4]認(rèn)為切比雪夫插值法精度比拉格朗日插值法高，但階數(shù)高了受影響比較大，精度變化比較劇烈。以上分析基于各種多項式插值的特點，但都沒有給出IGS數(shù)據(jù)插值處理的一般原則，本文選擇最具代表性的滑動拉格朗日插值法進(jìn)行分析，找出基本規(guī)律和選擇的策略。

2 問題描述

下載IGS某天的30s、5min間隔的精密鐘差產(chǎn)品，以及5min和15min的精密星歷產(chǎn)品，分別做兩點間一階線性插值和多階滑動拉格朗日插值［4]：將5min間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)內(nèi)插生成30s間隔的數(shù)據(jù)，將15min間隔的數(shù)據(jù)內(nèi)插生成5min間隔的數(shù)據(jù)。將內(nèi)插得到的值與原始30s間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，分析內(nèi)插精度。其中拉格朗日內(nèi)插時，5min間隔內(nèi)插成30s間隔采用通常的10階運算，15min間隔內(nèi)插成5min間隔采用8階運算，取30個點進(jìn)行評估。內(nèi)插精度用誤差絕對值的平均值表示，結(jié)果如圖1、圖2所示。

圖1 5min內(nèi)插到30秒精度比較

圖2 15min內(nèi)插到5min精度比較

從以上計算發(fā)現(xiàn)，兩種插值過程中除個別衛(wèi)星，絕大部分拉格朗日插值的精度都比直接線性插值精度低，我們對其它日期的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象普遍存在。

3 問題分析

3.1 時鐘漂移特征

目前導(dǎo)航衛(wèi)星搭載有三種類型的原子鐘：銣鐘、氫鐘和銫鐘。從長期穩(wěn)定性而言，三種類型的鐘是逐步提高的，但銣原子鐘在質(zhì)量、體積、功耗等方面占有優(yōu)勢，氫鐘在短期和中期穩(wěn)定度指標(biāo)方面占有優(yōu)勢，銫鐘的準(zhǔn)確度和漂移率指標(biāo)綜合指標(biāo)最好［5，12]。因此美國GPS采用了銫原子鐘和銣原子鐘結(jié)合的方式，歐盟的伽利略、俄羅斯的三代格洛納斯以及我國正在建設(shè)的北斗三號，采用銣原子鐘和被動型氫原子鐘相結(jié)合的方式［6]。

相對于軌道誤差，采用不同的原子鐘和搭配方式，衛(wèi)星的時鐘誤差變化規(guī)律要復(fù)雜得多。為了普通用戶使用方便，廣播星歷中將時鐘漂移簡化為二次曲線規(guī)律，時鐘模型采用了一個2小時更新的簡單二階線性函數(shù)表示［7]：

其中系數(shù)af0、af1、af2以及參考時間toc隨著衛(wèi)星導(dǎo)航電文更新。由于該模型主要考慮的衛(wèi)星鐘差十分鐘級到小時級的變化特性，因此對時間參數(shù)t的敏感性很弱，造成時鐘預(yù)報誤差只能到納秒以上的精度。

3.2 精密鐘差數(shù)據(jù)特征

IGS提供的精密鐘差產(chǎn)品分為兩種格式：一種是以5min和30s間隔由單獨的時鐘文件給出，另一種以5min和15min間隔包含在精密星歷文件中給出。對比廣播星歷的時鐘漂移模型，將各精密時鐘數(shù)據(jù)畫成曲線，直觀考察變化規(guī)律。任意取2016年9月3日凌晨開始的15min間隔、5min間隔和30s間隔的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行分類，可以得到三種情況：

類型一：三種數(shù)據(jù)間隔的線性都比較好，且趨勢相同，如圖3所示。

類型二：隨著數(shù)據(jù)間隔減少，線性度下降，尤其30s間隔數(shù)據(jù)情況惡劣，如圖4所示。

類型三：所有間隔的數(shù)據(jù)都不呈線性，且趨勢不同，如圖5所示。

從分析的數(shù)據(jù)來看，隨著間隔縮小，鐘差線性度變差，相對抖動加大。從分析的數(shù)據(jù)觀察，絕大部分鐘差數(shù)據(jù)都屬于后兩種情況。

圖3 9號衛(wèi)星鐘差曲線

圖4 5號衛(wèi)星鐘差曲線

圖5 8號衛(wèi)星鐘差曲線

3.3 多項式插值模型的適用性

各類多項式插值方法要保證精度，需要測量值符合某個函數(shù)的變化規(guī)律［8]，插值中所構(gòu)造的插值函數(shù)應(yīng)該盡可能逼近該函數(shù)。以典型的拉格朗日插值法為例，在給定的k+1個樣本點：(x0，y0)，…，(xk，yk)基礎(chǔ)上構(gòu)造一個階數(shù)為n的多項式lk(x)，其中xj對應(yīng)著自變量的位置，而yj對應(yīng)著函數(shù)在這個位置的取值。假設(shè)任意兩個不同的xj都互不相同，那么拉格朗日插值多項式為

其中每個lk(x)為拉格朗日基本多項式（或稱為插值基函數(shù)），其表達(dá)式為

該多項式的特點是在xj上取值為1，在其它點上取值為0。由式中可知，拉格朗日插值曲線可以精確無誤地通過已知樣本點，同時保證了插值點也是線性連續(xù)的。雖然通常來說，拉格朗日插值多項式的階數(shù)越高，插值函數(shù)越精確，但在實際中容易造成數(shù)值劇烈變化，即所謂的“龍格現(xiàn)象”［9]，反而降低了插值精度。

對比上一節(jié)中的時鐘漂移特性曲線，這種以多項式擬合時鐘誤差曲線的方式，在小尺度間隔情況下，并不能準(zhǔn)確代表導(dǎo)航衛(wèi)星時鐘漂移特性，即相對于分鐘以上時間粒度，秒級間隔呈現(xiàn)的時鐘漂移隨機(jī)誤差，不能用分鐘級間隔的樣本數(shù)據(jù)等效表示。

4 插值模型選擇策略

4.1 數(shù)據(jù)預(yù)分析

首先對用于插值的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行線性度分析，采用最小二乘構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)線性曲線，對于給定樣本點 (xi，yi)，i=1，2，…，N，存在Q≥ 0，求一次函數(shù)y=a+bx，使總誤差：

即參數(shù)a，b應(yīng)滿足此時

以得到的Q值作為參考，本文以每顆星10個連續(xù)樣本值計算Q值。

4.2 仿真計算

1）取2016年9月4日00時00分至24時00分的5分鐘間隔的GPS精密鐘差數(shù)據(jù)計算分析。計算各衛(wèi)星的Q值，如圖6所示，并分別用一階線性相鄰內(nèi)插法、多階滑動拉格朗日插值法得到30s間隔的鐘差數(shù)據(jù)，以已知30s間隔精密鐘差數(shù)據(jù)為參考值，計算各星鐘差隨時間變化的誤差情況，其中1階線性插值誤差和9階滑動拉格朗日插值誤差如圖7、8所示。文中使用的滑動拉格朗日插值法，只采用原樣本點中部的插值結(jié)果，該區(qū)間相對其他樣本點區(qū)間精度較高［10]，如使用9階，需10個樣本值，采用第5和6樣本值間的插值。

圖6 各GPS衛(wèi)星鐘差的Q值

圖7 1階線性相鄰內(nèi)插后鐘差的誤差

圖8 9階滑動拉格朗日插值后鐘差的誤差

2）Q值與各插值法精度的關(guān)系

根據(jù)1）中圖示，每顆星Q值及誤差均隨時間變化，計算各星Q值的平均值，可將所有GPS衛(wèi)星分為三組，如表1所示。

表1 GPS衛(wèi)星鐘差的分類情況

選擇9號、5號、8號星為各類型代表，比較線性插值與不同階滑動拉格朗日插值情況，其插值精度如表2所示。

表2 三種分類的插值計算誤差對比

從計算結(jié)果比較，類型一對應(yīng)的衛(wèi)星插值精度最好，隨著真值數(shù)據(jù)的線性程度下降，拉格朗日插值模型的計算誤差相對于線性插值模型先增大后減小，線性插值精度整體優(yōu)于拉格朗日插值；對表中各衛(wèi)星而言，隨著滑動拉格朗日插值階數(shù)提高，誤差逐漸增大。對其他更多數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，總體上呈現(xiàn)了該特點。

5 結(jié)語

拉格朗日算法在實際應(yīng)用于IGS衛(wèi)星時鐘改正數(shù)插值計算時，只有在真值數(shù)據(jù)線性度較好（Q值較?。r，才可能提高插值的靈敏度，而且要選擇合適的階數(shù)，不宜取得過高。隨著導(dǎo)航衛(wèi)星原子鐘技術(shù)的精度和穩(wěn)定性提升，目前IGS測量得到的衛(wèi)星時鐘漂移越來越呈現(xiàn)線性特性，尤其時間在分鐘以上間隔時更是如此。而且，目前IGS提供的衛(wèi)星時鐘改正數(shù)精度已經(jīng)在十分位納秒等級［7～8]，無論采用哪種插值算法，精度都可以達(dá)到千分位納秒等級，對定位精度的影響區(qū)別很小。鑒于拉格朗日算法的計算復(fù)雜性，以及存在誤差放大的風(fēng)險，在進(jìn)行高精度定位時，采用最簡單的線性插值反而更可靠。