張超

[摘? 要] 文章重點(diǎn)探究了一次函數(shù)的表達(dá)式與圖像之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 教學(xué)活動中讓學(xué)生經(jīng)歷了“操作—猜想—探究—驗證”的過程，利用“描點(diǎn)法”繪制一次函數(shù)的圖像，引發(fā)了學(xué)生對“兩點(diǎn)法”刻畫一次函數(shù)圖像的思考.

[關(guān)鍵詞] 表達(dá)式;直線;一一對應(yīng)

對教學(xué)目標(biāo)以及所處教材體系的研究

蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書·數(shù)學(xué)》（八年級上冊第6章6.5節(jié)）“一次函數(shù)圖像（第1課時）”是在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念、三種函數(shù)不同表示方法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生感受、探究一次函數(shù)的圖像，掌握用“描點(diǎn)法”來畫一次函數(shù)的圖像. 一次函數(shù)的圖像作為第一個函數(shù)圖形的研究，具有代表性. 結(jié)合課標(biāo)，筆者對這節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的理解是：（1）一次函數(shù)的圖像是怎么形成的;（2）一次函數(shù)的圖像為什么是一條直線;（3）如何描繪出一次函數(shù)的圖像.

關(guān)于教學(xué)過程的研究

1. 情境引入

在太陽和月球引力的作用下，海水定時漲落的現(xiàn)象稱為海洋的潮汐，漲落的水位高低稱為潮位. 隨著時間t的變化，潮水的高度h也隨之發(fā)生變化. 假設(shè)海洋潮水高度h與時間t之間滿足這樣的函數(shù)關(guān)系式：

h=（t-2）2+1（0≤t≤5）.

問題1：你還有哪些不同的方法來表示h與t之間的函數(shù)關(guān)系？

問題2：表1中的兩個變量t，h的數(shù)值如何確定？

問題3：如何描繪該函數(shù)的圖像？

課堂回放 問題1回顧函數(shù)的三種不同表示方法;問題2引導(dǎo)學(xué)生通過t和h這兩個變量數(shù)值的對應(yīng)，刻畫它們的函數(shù)關(guān)系;問題3利用直角坐標(biāo)系把函數(shù)圖像問題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)問題.

學(xué)生活動1 在平面直角坐標(biāo)系中描繪出表1中關(guān)于兩個變量所形成的點(diǎn).

課堂回放 師：函數(shù)圖像就是圖1中孤立的6個點(diǎn)嗎？說說你的見解.

生1：自變量t的取值范圍是0≤t≤5，t的取值除了整數(shù)外還可以取小數(shù).

（學(xué)生動手嘗試自變量t是小數(shù)的點(diǎn)）

生2：函數(shù)的圖像中存在無數(shù)個點(diǎn).

生3：（展示）無數(shù)個這樣的點(diǎn)“靠在一起”就形成了一條曲線（如圖2）.

（部分學(xué)生展開討論，表示質(zhì)疑）

師：好，希望通過本節(jié)課的探究能幫助大家驗證猜想.

師：把一個函數(shù)的自變量x的值與函數(shù)y的對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出它的對應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫這個函數(shù)的圖像.

師：回顧剛才畫函數(shù)圖像的過程，我們經(jīng)歷了怎樣的步驟？

生（齊）：列表、描點(diǎn)、連線.

設(shè)計構(gòu)想? 引入生活實例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活. 通過對函數(shù)三種表示方法的認(rèn)識，了解不同表示方法的聯(lián)系，為用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像做鋪墊. 選擇拋物線引入，目的是讓學(xué)生不陷入函數(shù)圖像是一條直線的定式中，也讓學(xué)生思考一次函數(shù)的圖像是否會像拋物線一樣是彎曲的.

2. 合作探究：一次函數(shù)y=2x+1的圖像及畫法

（1）小組合作，師生交流探究過程

師：列表應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

①通常，我們所選取的點(diǎn)應(yīng)具有完備性，x的值取正數(shù)、0、負(fù)數(shù).

②列表的時候，自變量的數(shù)值從小到大排列.

③x與y有無數(shù)多組，兩邊用省略號表示，如表2.

課堂回放 師：在直角坐標(biāo)系中描繪出這些點(diǎn)，它們在位置上有什么關(guān)系？（提示學(xué)生動用直尺去比對）

生（齊）：在一條直線上.

師：你還能找到哪些點(diǎn)？

生4：（0.5，2），（1.5，4），（2.5，6）.

生5：自變量也可以是負(fù)數(shù)，如（-0.5，0），（-1.5，-2），（-2.5，-4）.

師：請大家描繪出剛剛兩位同學(xué)所找的點(diǎn)，再觀察這些點(diǎn)的位置.

生6：這些點(diǎn)仍然在同一條直線上.

師：剛才大家通過觀察（圖3），發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)位置上的特殊關(guān)系，能否保證函數(shù)圖像所有的點(diǎn)都具有這樣的特征？

（學(xué)生小聲議論，有一些遲疑）

師：如果把自變量x在0到1之間10等分，橫坐標(biāo)分別取0.1，0.2，…，0.9，描繪出這些點(diǎn)（如圖4），觀察這些點(diǎn)的特征.

（學(xué)生通過幾何直觀，發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)“靠”在一起形成了一條直線）

師：擴(kuò)大橫軸上的單位長度，如圖5，再觀察這些點(diǎn)的位置.

生（齊）：這些點(diǎn)又分開了.

師：能使圖像中的點(diǎn)“靠”得更近點(diǎn)嗎？

生7：0～1之間可以取更多的點(diǎn)，讓點(diǎn)密集起來.

師：能否具體點(diǎn)？

生8：可以把自變量0～0.1，0.1～0.2，…，0.9～1再分別10等分.

師：好，看圖6.

（學(xué)生的觀察是點(diǎn)又形成了線）

（2）初步小結(jié)：深化理解

課堂回放 師：自變量在0～1之間還可以無數(shù)次等分下去，形成無數(shù)個點(diǎn)，它們會“靠”在一起形成一條線. 那么，1～2，2～3…同樣如此.

共同歸納：—次函數(shù)y=2x+1的圖像是一條直線（如圖7）.

師：在這條直線上任意取點(diǎn)，如（-2，-3），（1，3），橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？

生9：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的數(shù)值滿足一次函數(shù)的表達(dá)式.

師：滿足一次函數(shù)表達(dá)式的x和y轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)是否也在函數(shù)圖像上呢？

師生總結(jié)：函數(shù)的圖像與表達(dá)式之間是一一對應(yīng)關(guān)系（如圖8）.

3. 深入探究：優(yōu)化一次函數(shù)圖像的畫法

學(xué)生活動2 已知一次函數(shù)y=-3x+2.

（1）試判斷（4，-10），（-3，8），（0，2）三點(diǎn)是否在函數(shù)y=-3x+2的圖像上;

（2）若（3，a），（b，7）兩點(diǎn)在函數(shù)圖像上，求a，b的值;

（學(xué)生根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式與圖像之間的關(guān)系，迅速作答）

（3）畫出一次函數(shù)y=-3x+2的圖像（限定時間1分鐘）

（1分鐘后，有部分同學(xué)舉手示意）

課堂回放 師：你描了哪些點(diǎn)？

生10：（0，2）和（1，-1）兩個點(diǎn).

師：說說你的想法.

生10：兩點(diǎn)確定一條直線.

師：能否舉例驗證滿足函數(shù)表達(dá)式的點(diǎn)都在如圖9所示的直線上？

師生互動：（借助幾何畫板）逐個描出學(xué)生列舉出的點(diǎn)的坐標(biāo)，如（-1，5），（-0.5，3.5），（0.5，0.5），（1.5，-2.5），（2，-4），如圖10，得出滿足函數(shù)表達(dá)式的點(diǎn)都在同一條直線上.

師生共同總結(jié)：滿足一次函數(shù)表達(dá)式的兩個點(diǎn)就可以確定它的圖像（“兩點(diǎn)法”）.

學(xué)生活動3 快速畫出一次函數(shù)y=x+1的圖像.

課堂回放 師：哪些位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)比較容易確定？為什么？

生11：兩個坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)容易確定，因為x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0（板書如表3）.

[x 0 -3 y 1 0 ][表3]

師：根據(jù)這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出函數(shù)y=x+1的圖像.

師：對于一次函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx+b（k≠0），如何快速地找出兩個點(diǎn)的坐標(biāo)從而畫出函數(shù)圖像？

生12：板書如表4.

[x 0 - y b 0 ][表4]

4. 回顧思考：知識的梳理及小結(jié)

（1）對于函數(shù)h=（t-2）2+1（0≤t≤5）的圖像，能否找到方法驗證猜想？

（2）一次函數(shù)的圖像是直線，對此你有哪些認(rèn)知？

（3）一次函數(shù)的表達(dá)式與它的圖像有何關(guān)系？

（4）怎樣畫一次函數(shù)的圖像？

課堂回放 學(xué)生回答，教師補(bǔ)充點(diǎn)評.

教學(xué)思考

1. 深入探究，注重數(shù)學(xué)理解

張奠宙先生把數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)為是數(shù)學(xué)教育形態(tài)的教學(xué)[1]. 數(shù)學(xué)教育形態(tài)的本質(zhì)是教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)理解. 數(shù)學(xué)理解是建立在循序漸進(jìn)的認(rèn)知過程基礎(chǔ)上的，根據(jù)數(shù)學(xué)的思想與方法、知識與技能，探究數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展過程. 對于教材中的概念、定理、法則，進(jìn)行課堂教學(xué)時，需要教師對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行符合實際教學(xué)情況的改造與演繹. 所以，教師在教學(xué)中的真正價值體現(xiàn)，在于對數(shù)學(xué)理解的把握.

筆者就這節(jié)課的理解，體現(xiàn)在兩個層面：一是如何引導(dǎo)學(xué)生畫函數(shù)圖像. 本課的情境引入是拋物線的研究，滲透畫函數(shù)圖像的三個步驟. 對于一次函數(shù)圖像的畫法，則采用類比探究的方式. 過程中，表格中自變量x如何選取、點(diǎn)的坐標(biāo)如何確定、由描繪的一個個孤立的點(diǎn)如何確定函數(shù)的圖像，是本節(jié)課創(chuàng)造數(shù)學(xué)理解的關(guān)鍵. 二是如何驗證一次函數(shù)的圖像是一條直線. 隨著課堂探究的深入，學(xué)生經(jīng)歷了感受（列表、描點(diǎn)），形成了感知（判斷一次函數(shù)的圖像是一條直線）. 當(dāng)然，學(xué)生如何形成感悟，成為本節(jié)課數(shù)學(xué)理解的核心. 探究過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生仍從“點(diǎn)”出發(fā)，強(qiáng)化函數(shù)的圖像是由無數(shù)個點(diǎn)形成的，采用了從“局部”到“整體”的思維方式. 例如圖5中，自變量0～1之間取10等分，觀察這些點(diǎn)的位置. 通過控制直角坐標(biāo)系的單位長度，可以進(jìn)一步把自變量在0～0.1，0.1～0.2，…，0.9～1之間再各自10等分，讓更多滿足函數(shù)表達(dá)式的點(diǎn)“密布”. 這樣的方式能讓學(xué)生通過圖形感知理解——這些無數(shù)個“密布”的點(diǎn)“靠”在一起，就“連”成了一條直線.

2. 鼓勵質(zhì)疑，促進(jìn)課堂動態(tài)生成

“學(xué)貴有疑，疑而出新. ”實際教學(xué)中，教師對于學(xué)生的質(zhì)疑要適時鼓勵，要給予他們創(chuàng)造性思考的信心. 例如，本節(jié)課“問題情境”中的二次函數(shù)圖像，描點(diǎn)后連線（如圖2），部分同學(xué)提出質(zhì)疑：圖像為何是曲線而不是折線？學(xué)生在沒有任何認(rèn)知的前提下，大膽地提出了他們的想法. 此時除給予鼓勵外，還要抓住學(xué)生課堂中生成的問題，設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的探究興趣[2]，同時為確定一次函數(shù)的圖像做鋪墊. 探究得出一次函數(shù)的圖像是一條直線后，再次回到“問題情境”，確定二次函數(shù)圖像的問題，根據(jù)一次函數(shù)探究的認(rèn)知理論，學(xué)生較易找出驗證的方法，這完全立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

3. 立足于教學(xué)體系，遵循邏輯關(guān)系

學(xué)習(xí)完一次函數(shù)的概念及表達(dá)式后，學(xué)生對函數(shù)的理解還較為抽象，那如何讓函數(shù)更為具體地表示，強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知與理解呢？函數(shù)圖像的引入，是通過圖形來刻畫抽象的表達(dá)式，做到了“數(shù)”與“形”的對應(yīng). 在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計的過程中，教學(xué)內(nèi)容的落腳點(diǎn)首先是感受畫函數(shù)圖像的方法步驟，然后通過描出點(diǎn)的位置猜想函數(shù)圖像，自然螺旋上升到函數(shù)圖像的驗證. 探究過程中對于函數(shù)圖像的感受、猜想、驗證，最終都是讓學(xué)生能夠理解性地熟練刻畫一次函數(shù)的圖像. 基于研究性的數(shù)學(xué)教學(xué)，以靈動高效的課堂作為支撐，既能滿足學(xué)生“知其然”，更追求“知其所以然”.

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙. 教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，14（3）：1-4.

[2]黃文光，酈興江. 理解“三個理解”? ? 凸顯數(shù)學(xué)思想[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（2）：55-56.