畢先江

[摘? 要] 新課標(biāo)大綱提出，要求學(xué)生掌握圖形的基本性質(zhì)、圖形運動變換的規(guī)律及對應(yīng)關(guān)系，提升學(xué)生對數(shù)量關(guān)系和空間幾何的認(rèn)識. 而由此衍生的動態(tài)幾何問題成為近幾年中考的重難點題型，該類考題具有運動特性，包含一定的不確定條件，可有效考查學(xué)生的分析思維. 文章以兩道動態(tài)考題為例，分析解題思路，總結(jié)解題策略，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 動態(tài)幾何問題;課堂教學(xué);動點;旋轉(zhuǎn)

問題呈現(xiàn)及思路突破

考題1? 如圖1，在△ABC中，∠B=60°，BA=24 cm，BC=16 cm.

（1）在點A處有一動點P，它將沿著射線AB的方向運動;同時在點C處有一動點Q，它將沿著射線CB的方向運動. 設(shè)動點P的速度為4 cm/s，動點Q的速度為2 cm/s，若兩動點同時開始運動，設(shè)運動時間為t s，則當(dāng) t為何值時，△PBQ的面積與△ABC面積的比為1 ∶ 2？

（2）在第（1）問的條件下，試求點P和點Q之間的距離.

思路突破? （1）由條件可知點P和點Q分別為從點A和點C出發(fā)的動點，分別沿著各自的方向運動，由于運動速度不同，故兩點的位置會出現(xiàn)以下三種情形：①當(dāng)08時，點P和點Q分別位于AB的延長線和CB的延長線上. 因此由點P，Q，B組成的三角形為動態(tài)三角形，可以通過構(gòu)造面積模型的方式，將其轉(zhuǎn)化為方程問題. 因為△ABC為定三角形，所以可以通過常規(guī)方式直接求值，而△PBQ則可以將時間t代入表示相關(guān)線段長，構(gòu)建面積模型.

在BC邊上取一點Q，作HQ⊥AB于點H，再過點C作CG⊥AB于點G，如圖2所示，則線段HQ和CG分別為△PBQ和△ABC的一條邊上的高. 可求得S△ABC=AB·CG=96. S△PBQ=BP·QH，其中BP=24-4t，QH=（8-t），所以S△PBQ=（24-4t）·（8-t）. 由=，得（24-4t）·（8-t）=×96，可解得t1=2，t2=12（舍去）. 所以當(dāng)t為2時，△PBQ的面積與△ABC面積的比為1 ∶ 2.

（2）在第（1）問成立的條件下求該問，可將t=2代入，求得點P和點Q的具體位置，即HQ=6，BQ=12，BP=16，進而可得BH=6，PH=10. 求P和點Q之間的距離，實際上就是求線段PQ的長，可將其放在Rt△PQH中，由直角三角形的勾股定理可得PQ2=HQ2+PH2，從而可解得PQ=4，即點P和點Q之間的距離為4.

考題2? 已知△ABC為等腰三角形，AB=AC=5，∠ABC的余弦值為，現(xiàn)將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，可得△A1B1C. 回答下列問題：

（1）若旋轉(zhuǎn)后的點B1位于線段BA的延長線上，如圖3所示，①試證明BB1∥CA1;②試求△AB1C的面積.

（2）點E為線段BC的中點，點F為線段AB上一動點，若△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)的過程中點F的對應(yīng)點為F1，如圖4，設(shè)EF1長度的最大值為a，最小值為b，試求a-b的值.

思路突破? （1）①要證BB1∥CA1，分析可知需要利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來完成，即∠B1CA1=∠BB1C，因此需要利用條件構(gòu)建起兩角的等量關(guān)系. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)得到了△A1B1C，則∠B=∠ACB，BC=B1C，∠B1CA1=∠ACB. 由BC=B1C可得∠BB1C=∠B，所以∠B1CA1=∠BB1C. 進而可得BB1∥CA1.

②求△AB1C的面積，可以將其視為是以B1A為底的一般三角形. 如圖5，過點C作BB1的垂線，垂足為E，則S△AB1C=AB1·EC，只需要求出AB1和EC的長度即可.

過點A作AG⊥BC于點G，由等腰三角形的性質(zhì)可知BG=CG，cos∠ABC==，已知AB=5，則BG=3. 所以BC=B1C=6，進而可求得BE=B1E=，BB1=，CE=. 所以AB1=. S△AB1C=××=，即△AB1C的面積為.

（2）本小問求等腰三角形ABC繞固定點旋轉(zhuǎn)過程中EF1長度最大值和最小值的差，只需要分別確定EF1的最大值和最小值即可，屬于動態(tài)最值問題，可以模擬△ABC上幾個關(guān)鍵點的軌跡. 定點到線段的垂線段最短. 如圖6，過點C作CF⊥AB，垂足為F，點F在運動過程中的對稱點為點F1，分別以點C為圓心，以CB和CF為半徑畫圓，如圖6所示，則在內(nèi)圓上存在EF1的最值. 由圖形可知，BC與圓的交點就為EF1的最小值點，BC的延長線與外圓的交點F1′ 就為EF1的最大值點. 已知△BFC為直角三角形，其中CF=，則CF1=CF=，則EF1的最小值b=CF1-EC=，EF1的最大值a=EC+CF1′ =3+6=9，所以a-b=9-=.

試題特點及解法剖析

上述兩道考題均屬于初中數(shù)學(xué)典型的動態(tài)幾何問題，該類問題最為典型的特點就是以幾何動點或圖形的平移旋轉(zhuǎn)為背景實現(xiàn)圖形的運動變化，使得問題的幾何條件處于變化狀態(tài)，因此題中蘊含大量的信息，求解時需要采用特定的解題策略. 而上述兩道考題的轉(zhuǎn)化和建模方式就是基于特定問題所采用的具有代表性的方法.

策略一：構(gòu)建模型，“動”中有“定”

考題1以動點為依托，構(gòu)建了對應(yīng)的動態(tài)三角形，要求分析特定面積關(guān)系的動點時刻，分析的重點有兩個：一是必須構(gòu)建相應(yīng)的面積模型，二是由于題目給出了動點的運動速度，需要利用相應(yīng)的公式建立速度、時間與線段長的關(guān)系. 雖然考題中含有動點，但從總體上來看依然屬于幾何面積問題，即動點中存在“定”模型，因此可以依托幾何的面積模型構(gòu)建相應(yīng)的解題思路，即利用線段長=動點速度×運動時間，建立起動點位置與幾何面積之間的關(guān)系. 對于綜合數(shù)學(xué)模型的動態(tài)幾何問題，可以首先分析動點的位置，然后結(jié)合相應(yīng)的模型將問題轉(zhuǎn)化為方程或者函數(shù)問題，通過分析函數(shù)或解方程的方式來求解.

策略二：分析關(guān)鍵位置，“動”中取“靜”

動態(tài)幾何問題的另一種重要解題策略是化“動”為“靜”或“動”中取“靜”，即把握幾何運動過程中的幾個關(guān)鍵位置，通過分析其中的關(guān)鍵位置來突破考題. 如上述考題2以圖形旋轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了相應(yīng)的動態(tài)背景，第（2）問求線段EF1最大值與最小值的差值，顯然需要分析圖形運動的特點來確定這兩個特殊位置. 因此問題分析時需要充分利用圖形旋轉(zhuǎn)的特點——圖形的形狀、對應(yīng)邊、對應(yīng)角不變，利用幾何圓研究線段最值的便利性來獲取特殊位置. 上述解題過程利用旋轉(zhuǎn)特點獲得了關(guān)鍵的幾何條件，通過繪制幾何圓確定了關(guān)鍵點的運動軌跡，利用直觀的圖形達到了定點、定位的目的. 因此，對于以圖形運動為基礎(chǔ)的動態(tài)幾何問題，可以首先分析圖形運動過程中的不變條件，把握圖形中關(guān)鍵點的運動軌跡，從而獲得圖形運動的關(guān)鍵位置，最后結(jié)合幾何知識破解.

動態(tài)問題思考與建議

幾何動態(tài)問題作為中考的關(guān)鍵題型，對學(xué)生的思維能力和綜合知識有著較高的要求，問題中的點動和形動是最常見的方式，但分析動點的運動規(guī)律或軌跡、構(gòu)建相應(yīng)的幾何關(guān)系或數(shù)量關(guān)系才是重點，因此動態(tài)問題的條件提取、靜態(tài)轉(zhuǎn)化才是解題的關(guān)鍵. 下面提出幾點建議.

1. 立足問題生長點，牢實基礎(chǔ)知識

動態(tài)問題的命題背景一般為點的運動和圖形運動，其中幾何的性質(zhì)定理、圖形的運動規(guī)律是問題突破的基礎(chǔ)，同時還需要學(xué)生熟悉基本圖形，能夠從復(fù)合圖形中提取特殊圖形，如等腰三角形、直角三角形等. 如上述考題在求解時利用了等邊對等角性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)特性等，因此課堂教學(xué)時需要教師關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)，以提升學(xué)生靈活運用基礎(chǔ)知識的能力為教學(xué)重點. 另外，動態(tài)問題中涉及了一些幾何的通性通法，如求幾何面積的技巧、幾何中分析線段最值的方法等，這些最基本的方法對于問題突破極為重要，合理使用可以取得良好的解題效果，教學(xué)中需要教師重點講解，以提升學(xué)生的解題能力.

2. 把握動態(tài)規(guī)律，總結(jié)解題策略

動態(tài)問題與其他綜合性考題相比，最為突出的特點在于圖形中存在變化、不確定因素，需要采用變換思維來分析問題，包括提取圖形變化的性質(zhì)、動點運動的規(guī)律，以及動態(tài)問題中的不變條件. 而在構(gòu)建解題思路時，則需要采用一定的策略，如通過動靜結(jié)合的觀點建立動態(tài)和靜態(tài)條件之間的聯(lián)系，探尋動態(tài)問題中的變量構(gòu)建相應(yīng)的模型，研究動態(tài)問題中的特殊位置，這些解題策略對于提升學(xué)生的解題效率有著極大的幫助. 因此，在教學(xué)中，教師需要遵從問題發(fā)展、衍生的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從最基本的問題入手，觀察圖形特點，總結(jié)動態(tài)問題的特點及分析方法，逐步幫助學(xué)生形成解題的基本思路和策略. 同時，注重在解題中滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進學(xué)生思維水平的發(fā)展.