胡成江,于金鵬,于海生,付 程

(青島大學，青島 266071)

0 引 言

永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)相比于其他電動機結(jié)構(gòu)簡單、易于維護、能量轉(zhuǎn)換效率高，因此，PMSM在工業(yè)控制領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。PMSM的矢量控制方法可以保證系統(tǒng)有良好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但是動態(tài)響應(yīng)較差?？紤]到PMSM的動態(tài)模型是一個非線性和強耦合的模型，目前對PMSM的控制仍然是一個熱門問題。為了實現(xiàn)對PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的高性能控制，專家學者們提出了很多非線性控制方法，如反饋線性化控制[1]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[2]、自適應(yīng)控制[3,7]、反步控制[4-5]和動態(tài)面控制[6]等控制方法。

反步控制技術(shù)是非線性控制領(lǐng)域的一大突破，反步控制技術(shù)可以保證系統(tǒng)的跟蹤效果，提高系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，但是反步控制算法中的“計算爆炸”問題，使其不能得到廣泛的應(yīng)用。1997年，Swaroop D 提出了動態(tài)面控制技術(shù)[19]，動態(tài)面技術(shù)與反步控制技術(shù)相結(jié)合，通過引入一個低通濾波器，解決了反步控制算法中“計算爆炸”的問題。文獻[6]將動態(tài)面控制技術(shù)運用到非線性動力系統(tǒng)控制中，在解決系統(tǒng)“計算爆炸”問題的同時，使系統(tǒng)的跟蹤誤差在規(guī)定的范圍內(nèi)，同時閉環(huán)系統(tǒng)其他的所有信號被限制在一個小的鄰域內(nèi)。文獻[18]將動態(tài)面技術(shù)運用到PMSM控制中，構(gòu)造了一個自適應(yīng)動態(tài)面控制器，避免了反步控制算法中的“計算爆炸”問題，但系統(tǒng)的跟蹤誤差在時間趨于無窮大時，才能達到理想的跟蹤效果。

在另一個研究領(lǐng)域上，有限時間控制技術(shù)[12-15]具有響應(yīng)更快、跟蹤精度更高和抗干擾能力更強的優(yōu)點，文獻[20-22]研究了高階非線性系統(tǒng)的有限時間控制，但只考慮了穩(wěn)定性問題，然而在一些工程應(yīng)用中的跟蹤問題也應(yīng)該得到解決。有限時間控制技術(shù)[13，22]運用到跟蹤控制中可以達到更理想的效果。動態(tài)面反步控制技術(shù)可以有效地解決非線性系統(tǒng)的跟蹤問題，但是如何在動態(tài)面反步控制的基礎(chǔ)上，使跟蹤誤差能夠在有限時間內(nèi)達到理想的效果這一問題仍未解決。

基于上述問題，本文研究了PMSM的有限時間動態(tài)面跟蹤控制技術(shù)，引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)[8-11]來逼近系統(tǒng)中存在非線性未知項，通過自適應(yīng)技術(shù)解決了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法中存在參數(shù)未知的問題，利用動態(tài)面控制解決了反步控制算法中不可避免的“計算爆炸”問題，在保留動態(tài)面自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步法優(yōu)點的基礎(chǔ)上，引入有限時間技術(shù)[12-15]，提高了系統(tǒng)的收斂速度，本文的控制方法，與目前PMSM控制方法相比，主要的優(yōu)點如下：

1)與文獻[18]的控制技術(shù)相比，引入有限時間控制技術(shù)，提高了系統(tǒng)的收斂速度。

2)與文獻[4]的控制技術(shù)相比，本文采用了動態(tài)面控制技術(shù)，解決了傳統(tǒng)反步控制技術(shù)中“計算爆炸”的問題。

3)控制器只需一個自適應(yīng)律，減小了在線計算時間，更適于工程應(yīng)用。

1 建立PMSM數(shù)學模型

在d-q坐標下，PMSM的數(shù)學模型：

式中：Θ為轉(zhuǎn)子角度;id和iq分別為d軸和q軸電流；ud和uq分別為d軸和q軸電壓;Rs為定子電阻；ω為轉(zhuǎn)子角速度;Ld和Lq分別為d軸和q軸電感；p為PMSM的極對數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；B為摩擦系數(shù)；T為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負載轉(zhuǎn)矩；Ψ為磁鏈。

PMSM模型可以表示:

引理2[13]：任取xi∈R，i=1,2,…，n，0

式中：vi=[vi1,…，viq]T是接受域的中心；qi是高斯函數(shù)的寬度。由文獻[17]可知，給定標量ε>0，選擇足夠大的l，RBF-NN能夠在緊集Ωz?Rq下逼近任何連續(xù)函數(shù)：φ(z)=ΦTP(z)+δ(z),?z∈Ωz?Rq，其中δ(z)為跟蹤誤差，跟蹤誤差滿足|δ(z)|≤ε；Φ是為分析而定義的未知的理想權(quán)向量，Φ的取值為Φ*時,使|δ(z)|在z∈Ωz中取得最小值，其定義如下：

2 PMSM系統(tǒng)控制器設(shè)計

定義系統(tǒng)誤差變量，其中xd為給定的期望：

(1)

(2)

構(gòu)建虛擬控制函數(shù)：

(3)

式中：k1>0，引入一個新的狀態(tài)變量α1d，使α1通過一個時間常數(shù)為1的一階濾波器：

(4)

將式(1)、式(3)、式(4)代入式(2)，得：

(5)

(6)

(7)

構(gòu)建虛擬控制函數(shù)：

(8)

(9)

將式(7)～式(9)代入式(6)，得：

(10)

(11)

(12)

設(shè)計其真實控制律uq：

(13)

將式(12)和式(13)代入式(11)，得：

(14)

z4[f4(Z4)+c3ud]

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)中，得：

(17)

設(shè)計其真實控制律ud：

(18)

定義θ=max{‖φ2‖2,‖φ3‖2,‖φ4‖2}，將式(18)代入式(17)，得：

(19)

(20)

得到如下等式：

(21)

(22)

式中：

D1=-α·1

D2=-α·2}

(23)

取自適應(yīng)率：

(24)

式中：m1,r1和li(i=2,3,4)均為正數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

選擇如下Lyapunov函數(shù)：

(25)

式中：r1為正數(shù)。對V求導(dǎo)，得：

(26)

將式(24)代入式(26)，得：

(27)

由文獻[18]可知，|Di|在緊集|Ωi|上具有最大值Dim(i=1,2),|Di|≤Dim，由此可得以下不等式：

(28)

式中：τ>0。由楊氏不等式得：

(29)

(30)

(31)

將式(28)～式(31)代入式(27)，得：

(32)

(33)

(34)

由式(33)和式(34)可得：

(35)

同理，可得：

(36)

(37)

由上式可得：

(38)

由式(38)可得：

(39)

在真實控制律uq和ud的作用下，PMSM控制系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)達到穩(wěn)定狀態(tài)，其位置跟蹤誤差在對應(yīng)的時間內(nèi)收斂于原點周圍期望的鄰域內(nèi)，由此證明該方法是有效的。

4 對比實驗分析

為了驗證本文的PMSM有限時間動態(tài)面跟蹤控制技術(shù)在控制系統(tǒng)中的有效性，在MATLAB環(huán)境中進行仿真。PMSM的數(shù)學模型中電機及負載參數(shù)如下：J=0.003 798 kg·m2,Ld=0.003 15 H,p=3,Lq=0.00285H,B=0.001158N·m/(rad·s-1),Rs=0.68 Ω,Ψ=0.124 5 H。

控制器參數(shù)選取如下：k1=6,k2=75,k3=65,k4=430,r1=0.05,l2=l3=l4=3,m1=0.05,1=59,2=2,γ=0.818 1,s2=6,s3=15,s1=7.5,s4=114。

在PMSM零初始狀態(tài)下進行仿真，給定的期望跟蹤信號xd=sint，設(shè)定其負載轉(zhuǎn)矩：

仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1為在有限時間動態(tài)面反步法控制下仿真結(jié)果，圖2為在動態(tài)面反步法控制下仿真結(jié)果，由圖1和圖2可知，與動態(tài)面反步技術(shù)相比，有限時間技術(shù)可以提高系統(tǒng)的收斂速度。系統(tǒng)在兩種方法控制下的位置跟蹤誤差波形對比如圖3所示，引入有限時間控制技術(shù)后PMSM位置跟蹤誤差更小，系統(tǒng)的抗干擾能力更強。圖4為圖1控制方法下d軸電壓和q軸電壓的波形圖，由圖4可知，ud和uq的值都穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)。圖5為動態(tài)面控制技術(shù)下d軸電壓和q軸電壓的波形圖。

圖1有限時間動態(tài)面反步法控制下x1和xd的波形

圖2動態(tài)面反步法控制下x1和xd的波形

圖3兩種控制方法下跟蹤誤差(x1-xd)

(a) 控制器輸入信號ud

(b) 控制器輸入信號uq

圖4有限時間動態(tài)面反步法控制下的輸入信號

(a) 控制器輸入信號ud

(b) 控制器輸入信號uq

圖5動態(tài)面控制下的輸入信號

與文獻[18]的動態(tài)面控制技術(shù)相比，本文引入了有限時間控制技術(shù)，加快了系統(tǒng)的收斂速度，減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

5 結(jié) 語

本文將有限時間方法和動態(tài)面反步法相結(jié)合，實現(xiàn)了PMSM的非線性位置跟蹤控制，仿真分析結(jié)果表明，將有限時間技術(shù)與動態(tài)面反步法相結(jié)合，保留了動態(tài)面反步法的優(yōu)點之外，在縮短系統(tǒng)收斂時間的同時，減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差，提高了系統(tǒng)的魯棒性。