李恩甫，常洪龍

（西北工業(yè)大學(xué)，西安710072）

0 引言

加速度是經(jīng)典物理學(xué)最重要的物理量之一,是現(xiàn)代慣性導(dǎo)航與制導(dǎo)技術(shù)所必須的關(guān)鍵參數(shù)。以Newton第二定律和Hooke定律為基礎(chǔ),所建立的彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)是所有加速度傳感器的核心敏感單元。在此基礎(chǔ)上,形成了數(shù)十種加速度敏感機(jī)理, 如電容式[1]、諧振式[2]、壓阻式[3]、熱傳遞式[4]等。在這些敏感原理當(dāng)中,電容式加速度傳感器由于雜散電容、接口電路噪聲等的影響,幾乎已經(jīng)達(dá)到了它的檢測(cè)極限[5]；諧振式加速度傳感器經(jīng)過(guò)多年的研究突破,目前也基本上達(dá)到了其精度極限,即0.19μg[6]；壓阻式加速度傳感器受限于其敏感機(jī)理對(duì)溫度敏感,這導(dǎo)致了檢測(cè)精度的降低；熱傳遞加速度傳感器由于熱流在空氣介質(zhì)中傳遞緩慢,限制了傳感器的頻率響應(yīng)和檢測(cè)精度?；诖?大幅度提高傳統(tǒng)加速度傳感器的精度十分困難。因此,研究新的敏感機(jī)理是提高加速度傳感器精度的有效途徑。

在國(guó)際單位制7個(gè)基本單位中,時(shí)間是目前能夠?qū)崿F(xiàn)的測(cè)量精度最高的一個(gè)物理量。當(dāng)前,時(shí)間的測(cè)量精度已經(jīng)達(dá)到10-18s[7],基于時(shí)間測(cè)量的新型加速度傳感器具有實(shí)現(xiàn)超高檢測(cè)精度的潛能[8]。顧名思義,通過(guò)對(duì)時(shí)間測(cè)量實(shí)現(xiàn)對(duì)超高精度加速度的測(cè)量。這對(duì)滿(mǎn)足國(guó)防裝備和高端工業(yè)產(chǎn)品等迫切需求,具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

1 基于時(shí)間測(cè)量的加速度敏感原理

2011年,美國(guó)空間和海上作戰(zhàn)系統(tǒng)中心太平洋分部（Space and Naval Warfare Systems Center Pacific,SSC Pacific）首次在理論上提出了基于時(shí)間測(cè)量的加速度敏感原理[8],其系統(tǒng)等效為質(zhì)量-彈簧-阻尼的單自由度二階受迫振動(dòng)。其敏感原理可簡(jiǎn)要描述為：可動(dòng)質(zhì)量塊在敏感方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng),當(dāng)有外界加速度擾動(dòng)時(shí),質(zhì)量塊在敏感方向產(chǎn)生一個(gè)位移偏移；為了把對(duì)此位移的測(cè)量轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)間的測(cè)量,預(yù)先設(shè)定1組（2個(gè)）位移參考點(diǎn),當(dāng)質(zhì)量塊物理位置經(jīng)過(guò)位移參考點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生觸發(fā)事件,通過(guò)測(cè)量相應(yīng)觸發(fā)事件之間的時(shí)間間隔就可以得到外界加速度擾動(dòng)；最終,加速度轉(zhuǎn)化為時(shí)間間隔的函數(shù)。對(duì)于基于該敏感原理的加速度傳感器,直流加速度引起直流位移的偏移,SSC Pacific推導(dǎo)了從直流位移到加速度解算的過(guò)程。

2019年,本文研究小組（西北工業(yè)大學(xué)）進(jìn)一步完善了加速度敏感原理[9],具體體現(xiàn)在：1）詳細(xì)分析了傳感器集總參數(shù)模型和系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程；2）以系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為基礎(chǔ),分析了系統(tǒng)對(duì)交流加速度的響應(yīng)及交流加速度的提取方法。在這里,對(duì)其做詳細(xì)的介紹。

1.1 集總參數(shù)模型與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程

諧振器是實(shí)現(xiàn)基于時(shí)域測(cè)量的加速度傳感器的核心元件,可以將它等效為質(zhì)量-彈簧-阻尼的單自由度二階受迫振動(dòng)系統(tǒng),如圖1所示。

如選擇平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),坐標(biāo)軸鉛直向下,圖1所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

式（1）中,m為質(zhì)量塊質(zhì)量,x為質(zhì)量塊相對(duì)外殼產(chǎn)生的位移,c為黏性阻尼系數(shù),k為彈性系數(shù),H為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力F的幅值,ω為簡(jiǎn)諧激勵(lì)力F的頻率,a為外部輸入加速度的幅值,ωa為外部輸入加速度的頻率。將式（1）兩邊除以m,并定義諧振器固有頻率,整理得

圖1 集總參數(shù)模型Fig.1 Model of lumped parameter

在欠阻尼（δ?ω0）狀態(tài)下,初始狀態(tài)為零時(shí),式（2）的通解為

式（3）中,第1項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力引起的衰減振動(dòng),第2項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力引起的受迫簡(jiǎn)諧振動(dòng),第3項(xiàng)為外部慣性加速度引起的振動(dòng)。隨著時(shí)間的增加,第1項(xiàng)很快就衰減了。無(wú)加速度擾動(dòng)時(shí),諧振器在簡(jiǎn)諧力作用下,按照第2項(xiàng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；有加速度擾動(dòng)時(shí),諧振器振動(dòng)為第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的疊加。

1.2 交流加速度提取方法

當(dāng)質(zhì)量塊在諧振狀態(tài)即ω=ω0、ε=90°時(shí),式（3）簡(jiǎn)化為

式（4）中,Csin（ωat-φ）是外部慣性加速度引起的位移,即振蕩軌跡的中心位置在有加速度輸入時(shí)發(fā)生偏移,如圖2（a）所示。當(dāng)外部加速度的頻率ωa遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于簡(jiǎn)諧激勵(lì)力的頻率ω時(shí),即ωa?ω,外部加速度引起的位移在一個(gè)振蕩周期內(nèi)幾乎是常數(shù), 如圖2（b）所示。 當(dāng)φ=0°時(shí), 式（4）簡(jiǎn)化為

因此,在振動(dòng)的每個(gè)周期,測(cè)得加速度引起的位移,外部加速度擾動(dòng)就被還原。例如,當(dāng)角度ωat為 90°時(shí),在某一個(gè)振蕩周期內(nèi),位移dsinωat等于常數(shù), 式（5）簡(jiǎn)化為

圖2 基于時(shí)間測(cè)量的加速度敏感原理Fig.2 Principle of acceleration sensitivity based on time measurement

在下文中,將介紹怎樣測(cè)量位移d和還原加速度a。

為了把對(duì)此位移的測(cè)量轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)間的測(cè)量,定義兩個(gè)位移參考點(diǎn)X1和X2, 如圖2（b）所示。在有加速度輸入時(shí),當(dāng)質(zhì)量塊的物理位置經(jīng)過(guò)位移參考點(diǎn)X1時(shí),在一個(gè)周期內(nèi)依次產(chǎn)生三個(gè)觸發(fā)事件tr1、tr4、tr5,產(chǎn)生觸發(fā)事件tr1、tr4、tr5對(duì)應(yīng)的觸發(fā)時(shí)刻依次為t1、t4、t5。定義觸發(fā)事件tr1、tr4之間的時(shí)間間隔 ΔT1為觸發(fā)時(shí)刻t1、t4之差即ΔT1=t4-t1,觸發(fā)事件tr1、tr5之間的時(shí)間間隔ΔT為觸發(fā)時(shí)刻t1、t5之差即ΔT=t5-t1。同理,質(zhì)量塊的物理位置經(jīng)過(guò)位移參考點(diǎn)X2時(shí),在一個(gè)周期內(nèi)依次產(chǎn)生兩個(gè)觸發(fā)事件tr2、tr3,觸發(fā)事件tr2、tr3對(duì)應(yīng)的觸發(fā)時(shí)刻依次為t2、t3。定義觸發(fā)事件tr2、tr3之間的時(shí)間間隔ΔT2為觸發(fā)時(shí)刻t2、t3之差即ΔT2=t3-t2。 在一個(gè)周期內(nèi),位移參考點(diǎn)、觸發(fā)事件、觸發(fā)時(shí)刻及時(shí)間間隔的關(guān)系如表1所示。

表1 位移參考點(diǎn)、觸發(fā)事件、觸發(fā)時(shí)刻及時(shí)間間隔的關(guān)系Table 1 Relationship of displacement reference points，trigger events， trigger time， and time intervals

系統(tǒng)振動(dòng)頻率ω0可由提取的時(shí)間間隔ΔT和常數(shù)2π表達(dá),即ω0=2π/ΔT。如果t=0被定義為時(shí)間間隔ΔT1的中心點(diǎn),當(dāng)質(zhì)量塊位移x等于位移參考點(diǎn)X1時(shí),式（6）中的參數(shù)t等于。 因此,式（6）可寫(xiě)為

同理,當(dāng)質(zhì)量塊位移x等于位移參考點(diǎn)X2時(shí),式（6）中的參數(shù)t等于。 式（6）又可寫(xiě)為

由式（7）、式（8）可得

式（9）中,X1、X2是預(yù)先定義的參數(shù),振幅轉(zhuǎn)化為對(duì)時(shí)間的測(cè)量。將式（9）代入式（7）中,可得

由Hooke定律,彈簧產(chǎn)生的彈力為

無(wú)阻尼時(shí)的自振角頻率為

由式（13）可知,參考點(diǎn)X1和參考點(diǎn)X2是預(yù)先定義的,加速度是三個(gè)時(shí)間間隔ΔT1、ΔT2和ΔT的函數(shù)。因此,記式（13）為

2 基于時(shí)間測(cè)量的加速度計(jì)研究進(jìn)展

2011年,美國(guó)SSC Pacific首次報(bào)道了基于時(shí)時(shí)間測(cè)量的加速度傳感器樣機(jī)模型[3],如圖3所示。質(zhì)量塊工作在諧振狀態(tài),固定外框架上有一組隧道硅電極并且被厚度為d0的二氧化硅（SiO2）絕緣層隔開(kāi),另外一組相同結(jié)構(gòu)和尺度的隧道硅電極固連在可動(dòng)的質(zhì)量塊上,固定外框架上的隧道電極用來(lái)實(shí)現(xiàn)位移參考點(diǎn)X1和X2。 當(dāng)質(zhì)量塊在敏感方向（上下）振動(dòng)時(shí),其上的隧道電極與固定外框加上的隧道電極在同一個(gè)水平面上,產(chǎn)生電流脈沖即產(chǎn)生觸發(fā)事件。通過(guò)測(cè)量相應(yīng)觸發(fā)事件之間的時(shí)間間隔,即可得到外界加速度擾動(dòng)的響應(yīng)輸出?；蛟S由于SSCPacific隸屬美國(guó)軍方且需要保密的原因,與其相關(guān)的文獻(xiàn)幾乎沒(méi)有后續(xù)公開(kāi)報(bào)道。此外,該樣機(jī)模型的制作工藝要求苛刻,也未見(jiàn)其他研究機(jī)構(gòu)報(bào)道類(lèi)似的研究。

圖3 美國(guó)SSC Pacific報(bào)道的樣機(jī)模型Fig.3 Prototype model reported by SSC Pacific

2018年,本文研究小組實(shí)現(xiàn)了基于時(shí)間測(cè)量的加速度傳感器的研制[9-10],具體實(shí)現(xiàn)方案如4所示。質(zhì)量塊的振動(dòng)位移被間接表征,位移先通過(guò)傳感器機(jī)械結(jié)構(gòu)電容器件轉(zhuǎn)化為電容變化,然后電容變化再通過(guò)接口電路轉(zhuǎn)化為電壓變化。位移變化和電壓變化構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,位移由電壓間接表征,位移參考點(diǎn)由電壓參考點(diǎn)表征。對(duì)電容接口電路輸出的電壓信號(hào)采樣并等效為位移信號(hào),然后用數(shù)據(jù)后處理的方法得到外界加速度的擾動(dòng)。

本文研究小組設(shè)計(jì)的傳感器機(jī)械結(jié)構(gòu)由絕緣體上硅（SOI）工藝[11-12]加工, 其掃描電鏡圖如圖 5所示。傳感器的機(jī)械結(jié)構(gòu)包括驅(qū)動(dòng)電容、敏感電容、質(zhì)量塊、彈性梁,變面積的驅(qū)動(dòng)電容提供靜電驅(qū)動(dòng)力迫使質(zhì)量塊振動(dòng),變面積的敏感電容用來(lái)把質(zhì)量塊的位移轉(zhuǎn)化為電容變化。電容變化再通過(guò)電容接口電路轉(zhuǎn)化為電壓變化（圖4）,電容接口電路包括2個(gè)電荷放大器、1個(gè)儀表放大器、1個(gè)高通濾波器、1個(gè)解調(diào)器和1個(gè)低通濾波器,來(lái)自低通濾波器的電壓信號(hào)間接表征著質(zhì)量塊的位移信號(hào)。然后,用數(shù)據(jù)采集卡對(duì)來(lái)自接口電路低通濾波器的電壓信號(hào)高速采樣,實(shí)現(xiàn)2個(gè)采樣數(shù)據(jù)之間的時(shí)間間隔具相對(duì)較高的分辨率。假設(shè)采樣速率為1M/s,則2個(gè)采樣數(shù)據(jù)之間的時(shí)間分辨率為1μs。傳感器在±1g時(shí)的采樣電壓和質(zhì)量塊等效位移如圖6所示,由圖6確定位移和電壓之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而確定位移參考點(diǎn)。傳感器對(duì)重力分量的響應(yīng)如圖7所示,證實(shí)了基于時(shí)間測(cè)量的加速度敏感原理能夠解算加速度。

圖5 本文研究小組設(shè)計(jì)的加速度計(jì)機(jī)械結(jié)構(gòu)SEM圖Fig.5 SEM image of accelerometer mechanical structure designed by research group of this paper

圖6 ±1g時(shí)的采樣電壓信號(hào)與等效質(zhì)量塊位移Fig.6 Relationship between sampled voltage and equivalent displacement of the proof mass in±1g

圖7 傳感器對(duì)重力分量的響應(yīng)Fig.7 Response of acceleration sensor to component of gravity

3 基于時(shí)間測(cè)量的加速度計(jì)精度極限

從前文分析可知,加速度是時(shí)間間隔的函數(shù),時(shí)間間隔的測(cè)量精度必然影響加速度的測(cè)量精度。接下來(lái),將從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度來(lái)分析時(shí)間測(cè)量精度與加速度測(cè)量精度之間的關(guān)系,并分析加速度的檢測(cè)極限。

3.1 定性分析

將式（9）和式（12）代入式（13）, 加速度解算公式退化為

式（15）兩邊對(duì)時(shí)間間隔ΔT1求導(dǎo),可得

用Δt代替dΔT1表示時(shí)間分辨率,用Δa代替da表示時(shí)間分辨率引起的加速度誤差,則加速度誤差大小可近似表示為

由式（17）可知,時(shí)間分辨率越高,加速度誤差越小,精度越高。

3.2 定量分析

時(shí)間間隔測(cè)量值等于時(shí)間間隔理論值與時(shí)間間隔測(cè)量誤差之和,時(shí)間間隔測(cè)量誤差等于時(shí)間分辨率與介于0～1之間的1個(gè)隨機(jī)數(shù)乘積。因此,由式（14）可知,測(cè)量加速度可表示為

式（18）中,RΔT1、RΔT2、RΔT為時(shí)間分辨率的隨機(jī)系數(shù),介于0～1之間。

加速度測(cè)量誤差定義為：測(cè)量加速度和理論加速度差值的絕對(duì)值,即

假設(shè)振動(dòng)幅值為500nm,諧振頻率為1kHz,位移參考點(diǎn)X1=0nm、X2=100nm,在時(shí)間分辨率分別為10-11s、10-15s、10-18s條件下,加速度測(cè)量誤差如圖8所示。時(shí)間分辨率越高,加速度誤差越小,尤其當(dāng)時(shí)間分辨達(dá)到10-18s精度極限時(shí),基于時(shí)間測(cè)量的加速度具有實(shí)現(xiàn)10-13g超高檢測(cè)精度的潛能。

對(duì)本文研究小組設(shè)計(jì)的加速度傳感器[9]輸出信號(hào)連續(xù)采樣3.2s,設(shè)置位移參考點(diǎn)X1=0nm、X2=130nm。采樣速率分別為 2.5MHz、1.25MHz、0.5MHz、0.25MHz,實(shí)現(xiàn)采樣數(shù)據(jù)之間的時(shí)間分辨率分別為 4×10-7s、8×10-7s、2×10-6s、4×10-6s。在不同采樣速率（時(shí)間分辨率）條件下,測(cè)量得到的加速度如圖9所示。由圖9可知,采樣速率越高、時(shí)間分辨率越高,傳感器輸出1σ越?。ǚ謩e為6.23mg、7.07mg、12.70mg、24.60mg）, 精度越高。當(dāng)采樣速率小于1.25MHz時(shí),傳感器精度幾乎和時(shí)間分辨率成正比；當(dāng)采樣速率在1.25MHz～2.50MHz時(shí),傳感器精度提高不明顯,因?yàn)樗O(shè)計(jì)的傳感器寄生電容噪聲、接口電路噪聲耦合到輸出。

圖8 不同時(shí)間分辨下的加速度精度極限Fig.8 Acceleration accuracy limit under different time resolution

圖9 不同的采樣速率（時(shí)間分辨率）下的傳感器輸出Fig.9 Measured outputs of acceleration sensor under different time resolution

4 結(jié)論

基于時(shí)間測(cè)量的加速度敏感原理把對(duì)加速度的測(cè)量轉(zhuǎn)化對(duì)時(shí)間的測(cè)量,時(shí)間的測(cè)量精度已達(dá)到10-18s,預(yù)示著基于該敏感原理的加速度傳感器具有實(shí)現(xiàn)10-13g超高檢測(cè)精度的潛能。本文研究小組設(shè)計(jì)的基于時(shí)間測(cè)量的加速度傳感器位移通過(guò)電壓間接表征,寄生電容噪聲、接口電路噪聲耦合到輸出,基于此敏感機(jī)理的精度極限未被完全釋放。未來(lái),通過(guò)尋找位移參考點(diǎn)直接表征的方法,傳感器的精度將會(huì)被大幅提高。