韓淑霞, 韓志斌, 黃永忠

(華中科技大學 數學與統(tǒng)計學院,武漢 430074)

0 引 言

熟知,若函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導,且導函數f′(x)在[a,b]上可積,則成立[1]

特別地,若區(qū)間[a,b]是[0,1],則

(1)

這是定積分中一個有用的結論,用該結論容易得到2014年第六屆全國大學生數學競賽預賽(非數學類)第六題,以及2017年第九屆預賽(數學類)第五題的解答. 在減弱條件的情況下,文獻[2]對該結論的否命題形式給出反例,文獻[3]在單側導數條件下推廣了相關的結論.

(上式中的f′(0)應為f′+(0).為簡便計,區(qū)間端點處的單側導數還是用導數表示,高階時也如此.)

也就是說,若函數f(x)∈C2[0,1],則當n→∞時,

于是,可以猜測,若f(x)∈Cm[0,1](m為正整數),則當n→∞時有

(2)

文獻[1]習題4.1.8是Riemann和中的介點取分割小區(qū)間的中點,成立

類似地,本文得到f(x)∈Cm[0,1]條件下的式子(見命題2):

1 預備知識

積分型余項的Taylor公式[4]設函數f在區(qū)間 (a,b)上有n+1階的連續(xù)導數,則對任意的x,x0∈(a,b) 都成立

(3)

Bernoulli數Bn和Bernoulli多項式Bn(t) 滿足下列兩個等式[5-6]

(4)

Cauchy乘積[7]

(5)

2 主要命題

命題1若函數f(x)∈Cm[0,1](m為正整數),則當n→∞時,成立

(6)

其中系數ai(i=1,2,…,m)滿足

(7)

因為對j∈{1,2,…,m-1},有

且存在ξk∈[xk-1,xk] ,用二次積分換序得

所以

于是

故

對j∈{1,2,…,m},有

由積分型余項的Taylor公式(3),有

從而存在ηj,k∈[xk-1,xk]使得

因此,對j∈{1,2,…,m-2}得到

又,對j=m-1有

故

因為

所以

注意到

得到

于是,若系數ai滿足

則

下面利用Bernoulli數Bi刻畫系數ai,得到有趣的結論. 對此,將式(7)統(tǒng)一為

h(x)(e-x-1+x)=x(h(x)-a0)=x(h(x)+1),

解得

由冪級數展開式的唯一性,命題1中的系數可以用Bernoulli 數表示為

(8)

由此,重寫命題1為

命題1′若函數f(x)∈Cm[0,1](m為正整數),則當n→∞時,成立

(9)

注2 根據注1的式(4)以及式(8),命題1’式(9)的系數滿足

注3 若將區(qū)間[0,1]改為[a,b],令x=a+t(b-a),則命題1’的式(10)為

命題2若函數f(x)∈Cm[0,1](m為正整數),則當n→∞時,成立

(10)

其中,若m<4則無求和的∑項,系數cn滿足

(11)

證分別處理式(10)的項Tn和Ω,其中

計算得到

(12)

其中ξk,1∈[xk-1,yk],ξk,2∈[yk,xk].于是由積分型余項的Taylor公式(3),有

其中,當j為偶數時,δj=1;當j為奇數時,δj=0.

另一方面,計算

由積分型余項的Taylor公式(3),有

由式(12),以及

其中ηj,k1∈[xk-1,yk],ηj,k2∈[yk,xk],得到

因此,對j∈{1,2,…,m-2}得到

又,對j=m-1,存在ζm-1,k1∈[xk-1,yk],ζm-1,k2∈[yk,xk]使得

故

于是,注意到

得到

因此,若系數cj滿足

(13)

為進一步分析系數cj,重寫式(13)為

即

解得

由冪級數展開式的唯一性,得到

即式(11)成立.

3 結 論

對于具有m階連續(xù)可微的被積函數,給出了其定積分的漸近展開式(類似于Taylor公式形式). 命題1中給出了介點取右端點的漸近展開式,命題2中給出了介點取兩分點中間值的漸近展開式.

致謝作者非常感謝參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.