(貴州大學空間結構研究中心， 貴州貴陽550003)

0 引言

空腹夾層板樓蓋是由上、下肋及剪力鍵節(jié)點域構成的新型樓蓋，按空間布局可分為正交正放、正交斜放和蜂窩型等形式，該樓蓋具有整體受力性能好、自重輕、節(jié)約層高等優(yōu)點，可采用裝配化施工從而節(jié)約工期，鋼空腹夾層板和混凝土空腹夾層板在公共建筑和工業(yè)建筑中大面積被使用[1-2]，工程應用如圖1所示。

(a) 鋼結構標準廠房

(b) 貴州省老干活動中心

圖1 空腹夾層板工程實踐
Fig.1 Engineering practice of vierendeel sandwich slab

空腹夾層板樓蓋被提出以來，相關正交斜放空腹夾層板的研究在不斷的完善和發(fā)展。魏艷輝等[3-5]對實際工程中鋼空腹夾層板拼裝單元進行相關試驗，論證了結構有較大的豎向剛度；姚玲等[6]研究了混凝土空腹夾層板性能，提出空腹夾層板常用高跨比為1/30～1/20,空腹夾層板表層板厚度取空腹夾層板高度的1/40～1/30等；孫濤等[7]研究了鋼空腹夾層板等效剪切剛度分析，將連續(xù)化方法與有限元進行分析對比，得出采用連續(xù)化分析方法進行鋼空腹夾層板結構的靜力計算，具有很高的精度；姜嵐等[8-9]考慮跨高比、空腹率、表層薄板厚度、邊梁寬度等參數(shù)的影響，研究了大跨度空腹夾層板樓蓋基于舒適度要求的動力特性分析。

在設計空腹夾層板樓蓋時，多采用實用分析方法，即將空腹的上下肋等代為實腹的梁進行分析和計算，建立的模型稱為等代模型。Abaqus、Ansys和Midas Gen等有限元軟件對結構層的概念要求不高[10]，在分析空間結構模型時，不需要進行等代，可以按照實際情況建模并進行分析計算，建立的模型稱為非等代模型。

目前，關于空腹夾層板樓蓋等代模型與非等代模型差異的研究較少，本文針對大跨度正交正放鋼空腹夾層板樓蓋，建立大量等代模型與非等代模型，分析網(wǎng)格大小、空腹夾層板高度和剛度比對樓蓋豎向剛度的影響，并將等代模型與非等代模型進行對比，旨在完善相關的理論以及為以后的工程實際提供指導。

1 鋼空腹夾層板基本構造

鋼空腹夾層板結構由車間焊接的T型鋼為上、下弦的“雙十字單元”，運往現(xiàn)場，在上、下弦彎矩最小處用高強螺栓連接形成樓蓋整體，如圖2所示，標注“o”號者為高強螺栓連接位置，鋼管剪力鍵節(jié)點如圖3所示。網(wǎng)格設計要求如下：①采用裝配化施工，單元和桿件件進行焊接；②樓蓋網(wǎng)格可以是方(矩)形且每邊網(wǎng)格數(shù)n≥5；③材料為彈性材料，截面保持平面假定。

圖2 鋼空腹夾層板
Fig.2 Steel vierendeel sandwich slab

圖3 鋼管剪力鍵節(jié)點
Fig.3 Steel pipe shear key node

2 空腹夾層板樓蓋的分析方法

2.1 實用分析方法——等效剛度法

等效剛度法將空腹夾層板看作空腹梁交叉組成，分析時考慮剪切變形的影響，基本假定如下[11]：①交叉的空腹梁上下肋變形后保持平面[12]；②正交網(wǎng)格短邊數(shù)目大于5個，保證板網(wǎng)格的力學性能；③按照抗彎剛度等效原則。鋼結構進行等效時，空腹夾層板對雙T型截面形心軸的抗彎剛度E×I1等于H型鋼對截面形心軸抗彎剛度E×I2，保持等效空腹夾層板總高度h，翼緣寬度b1，上下翼緣厚度tf、腹板壁厚tw不變，求等效剛度下H型鋼的寬度b2，等剛度法示意圖如圖4所示，h1為上下肋高度?；炷恋刃偠确ㄊ疽馊鐖D5所示，保持等效空腹夾層板總高度h，空腹梁與實腹梁高度h相等，求等代實腹梁的寬度bL為：

(1)

圖4 鋼結構等剛度法
Fig.4 Stiffness method of steel structure

圖5 混凝土等效剛度法
Fig.5 Concrete equivalent stiffness method

2.2 連續(xù)化分析方法

2.2.1 下表層等效板剛度

下表層無混凝土板，剛度為下肋的等代平面剛度。下肋由多組平面交叉桿系組成，則第i根桿的物理方程為：

(2)

式中：N為肋系軸力；E為肋系材料彈性模量；A為截面面積；u為位移；i為桿系序號。

假設投影與邊跨角度為αi，則由彈性力學可得下肋軸向應變與平面應變的關系是:

εi=εxcos2αi+εysin2αi+εxysinαicosαi,

(3)

將式(3)代入(2)中得

(4)

式中：δi=Ai/li為桿系的折算厚度，li為桿系間距。

正交斜放網(wǎng)格，取αi=0°，則式(4)下表層板的剛度矩陣為：

(5)

其中：δx=Ax/Δx，δy=Ay/Δy；Ex和Ey是鋼材彈性模量；Ax、Ay分別下肋x、y方向型鋼截面面積；Δx、Δy分別為網(wǎng)格x、y方向肋的間距。

2.2.2 上表層板剛度

上表層板的剛度取上肋剛度與混凝土薄板的剛度的疊加，同時一般上肋與下肋的布置方式和采用的截面一致，因此上肋剛度可以取下肋剛度，故上表層板的剛度為：

Ba=Bb+Bc,

(6)

其中，混凝土板的平面剛度矩陣Bc為：

(7)

式中：μ為混凝土薄板材料的泊松比；Ec為混凝土材料的彈性模量；t為混凝土板的厚度。

2.2.3 基本方程建立

取擬夾層板的三個廣義位移即撓度ω和轉角ψx、ψy，為未知參量，依據(jù)彈性力學理論建立基本方程。

①幾何方程。

(8)

其中：εa、εb表示為上、下表層的平面應變；χ、γ分別為擬夾層板的彎曲應變和橫向剪切應變。

②物理方程。

(9)

其中：Na、Nb分別為上、下表層的內力；N、M、Q分別為擬夾層板整體的軸力、彎矩和橫向剪力，具體可參見圖6。

③平衡方程。

擬夾層板在豎向均布荷載作用下的平衡方程為：

(10)

方程的聯(lián)立與求解請參看文獻[11]的第2.5節(jié)。

3 結構建模與相關參數(shù)

本文建立大量非等代模型和等代模型，分別算出不同網(wǎng)格尺寸大小和不同空腹夾層板高度下，等代模型和等代模型的最大豎向撓度ω0和ω1，然后將等代模型中H型鋼實腹梁的彈性模量乘以(1+β)進行調整，使ω1=ω0，定義β為剛度折減率，β為正時彈性模量增加，為負時減小。

3.1 構件尺寸

非等代模型構件截面尺寸：柱子為H 502×470×20×25，框架梁為H 900×300×16×28，層間梁為H 250×250×9×14，上、下肋為T 220×400×25×30，剪力鍵為圓形鋼管400×20，截面尺寸單位為mm。與非等代模型相比，其他構件相同，等代模型沒有剪力鍵，上、下肋按照等效剛度法等代為H型鋼實腹梁，經計算，H型鋼截面的寬度變化很小，取上、下肋寬度。非等代模型與等代模型分別如圖7和圖8所示。

圖7 非等代結構模型示意圖
Fig.7 Non-equal structure model diagram

圖8 等代結構模型示意圖
Fig.8 Equivalent structure model diagram

模型高度為4.2 m，平面尺寸為18 m×18 m，樓面均布恒荷載取3.5 kN/m2，均布活荷載取3 kN/m2。鋼材的強度等級為Q345，彈性模量2.06×1011Pa?；炷帘韺影宓暮穸葹?.1m，混凝土強度等級為C30,彈性模量為2.98×1010Pa。在分析時，保持各構件截面尺寸不變。等代模型中，H型鋼中間多出的自重，按均布線荷載反向施加H型鋼梁上進行分析，空腹夾層板高度的不同，空腹夾層板高為0.6 m、0.7 m、0.8 m和0.9 m時，反向線荷載取值分別為q1=0.308 kN/m、q2=0.500 kN/m、q3=0.69 kN/m和q4=0.885 kN/m。

圖9 剛度換算示意圖Fig.9 Stiffness conversion diagram

3.2 剛度比

剛度比為混凝土板對組合截面形心[13]的剛度與上、下肋對組合截面形心剛度之比。計算時，保持樓板厚度不變，將混凝土彈性模量E1對應的單元寬度b1，按照鋼材彈性模量E2進行等效得到等效寬度b2，等效板對組合截面形心y0的慣性矩Ix1，上、下肋對組合截面形心y0的慣性矩Ix2，此時定義剛度比[14-15]為C0=Ix1/Ix2，剛度換算示意圖如圖9所示。

3.3 夾芯層的等效剪切剛度

鋼空腹夾層板樓蓋等效的夾芯層等效剪切剛度需要先確定任一方向以及某一剪切單元的剪切剛度，然后根據(jù)各個方向的確定的剪切剛度確定夾芯層的剪切剛度。圖10是取一方向以及一個剪切單元的原理示意圖。采用擬交叉梁系法剪力剪切單元的剪切剛度，基本假定為：(1)只考慮鋼梁翼緣6倍厚度范圍內混凝土薄板的剛度作用；(2)剪力鍵截面相同；(3)上下肋的反彎點在節(jié)間的中點；不考慮扭轉變形。

(a) 夾層板單元剪力圖

(b) 夾層板單元彎矩圖

(c) 等代梁單元剪力圖

圖10 等代梁元原理示意
Fig.10 Equivalent beam element method

由圖10(a)，上下層肋的形心距離為h,網(wǎng)格長度為Δ，上肋組合截面剛度為E1×I1、下肋的截面剛度為E2×I2、剪力鍵的截面剛度為Ev×Iv；上肋的剪力為V1、下肋的剪力為V2，上下肋的軸力為H,等代梁元的總剪力為V，即V=V1+V2。由平衡條件得到:

(V1+V2)×Δ-H×h=0。

(10)

圖10(b)為剪切單元彎矩圖。由結構力學原理可以得到剪切變形γ0為：

(11)

剪切單元的總剪切變形γ為：

(12)

因此，等代梁的剪切變形γ′為：

(13)

其中，C為剪切單元的等效剪切剛度，其表達式為:

(14)

對于雙向的空腹夾層板，可以由擬夾層板法得到雙向的正交斜放的夾芯層的等效剪切剛度為：

(15)

4 計算結果分析對比

4.1 組合截面形心與剛度分析

各個模型組合截面形心與剛度比的計算結果見表1。由表1可知，隨著網(wǎng)格尺寸的增大，組合截面形心距底部的距離y0就越高，等效板對形心的慣性矩Ix1先增大后減小，上、下肋對形心的慣性矩Ix2逐漸增大，剛度比逐漸減??；隨著空腹夾層板高度的增大，組合截面形心距底部的距離y0、等效板對組合截面形心的慣性矩Ix1和上、下肋對組合截面形心的慣性矩Ix2均增大，但剛度比逐漸減小。以上分析表明，混凝土板厚和構件尺寸截面一定時，隨著網(wǎng)格尺寸和空腹夾層板高度的增加，上、下肋對組合截面的剛度貢獻更大。

表1 形心位置與剛度比Tab.1 Centroid position and stiffness ratio

4.2 豎向最大撓度對比

不同網(wǎng)格尺寸下，非等代模型、等代模型以及H型鋼彈性模量折減后的等代模型，跨中的豎向最大撓度[16]如圖11所示。由圖11可知，與非等代模型相比，網(wǎng)格尺寸為1.5 m時，空腹夾層板高度小于800 mm時，等代模型跨中的豎向最大撓度較大，大于800 mm時較?。痪W(wǎng)格尺寸為1.8 m時，空腹夾層板高度小于700 mm時，等代模型跨中的豎向最大撓度較大，大于700 mm時較?。痪W(wǎng)格尺寸為2.0 m和3.0 m時，等代模型跨中的豎向最大撓度均較小。網(wǎng)格尺寸小于2.0 m時，非等代模型的豎向剛度較強。

圖11 豎向撓度
Fig.11 Vertical deflection

4.3 剛度折減率β分析

等代模型對H型鋼實腹梁的彈性模量(1+β)進行調整，可以保證與非等代模型跨中的豎向最大撓度相等，折減率β與剛度比的關系曲線如圖12所示，由圖12可知，折減率β與剛度比呈正比，網(wǎng)格尺寸一定時，斜率為一個常數(shù)，網(wǎng)格尺寸越大，曲線的斜率就越小。折減率與網(wǎng)格尺寸的關系曲線如圖13所示，由圖13可知，折減率隨著網(wǎng)格尺寸增大而減小，網(wǎng)格尺寸越大，H型鋼彈性模量減少的就越多；空腹夾層板高度越大，H型鋼彈性模量減少的就越多。

圖12 折減率與剛度比關系曲線
Fig.12 Reduction rate and stiffness ratio curve

圖13 折減率與網(wǎng)格長度曲線
Fig.13 Reduction rate and grid length curve

5 結論

①在截面一定的情況下，網(wǎng)格尺寸越大，混凝土板和空腹鋼梁對組合截面的剛度貢獻均增加，即E×Ix1和E×Ix2增大；在高度一定的情況下，隨空腹夾層板的高度增加E×Ix1和E×Ix2也增大。但與空腹鋼梁相比，混凝土剛度貢獻的增大幅度較小，即剛度比減小。

②等代模型與非等代模型跨中最大豎向撓度值相差較大，產生的原因為等效剛度法可以保證抗彎剛度相同，但空腹夾層板網(wǎng)格上下肋的跨高比較小，抗剪剛度不能忽略，跨度越大，剪切剛度產生的撓度累計誤差越來越大。

③網(wǎng)格尺寸小于2 m時，非等代模型的豎向剛度比等代模型要大；網(wǎng)格尺寸大于2m時，非等代模型的豎向剛度比等代模型要??；3 m時，等代模型的剛度折減率達到90 %，因此對于大跨度鋼結構結構，建議網(wǎng)格尺寸不要大于3米。

④網(wǎng)格尺寸一定時，折減率β與剛度比C呈正比，斜率為一個常數(shù)，網(wǎng)格尺寸越大，斜率值越?。痪W(wǎng)格尺寸越大，H型鋼梁的彈性模量折減的就越多。假定混凝土板厚度和截面保持不變，得到折減率β與剛度比C呈正比的定性關系，但之間的定量關系還需要理論和分析上的進一步研究并完善。