趙建斌，趙丹，劉少剛，宋科杰

1.上海船舶設備研究所，上海200031 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

在各類機械設備的使用中，設備運行所產(chǎn)生的噪聲問題尤其是低頻噪聲一直是困擾人們的一大難題。由于傳統(tǒng)降噪技術手段及傳統(tǒng)吸聲隔聲材料在低頻寬頻帶噪聲控制應用的局限性，現(xiàn)在亟需一種在低頻范圍具有優(yōu)秀吸聲效果，且工作頻段較寬或工作中心頻率可快速調節(jié)的新型降噪結構。

目前常用的低頻降噪結構為抗性結構，主要包括串聯(lián)諧振型與分支諧振型共振腔、HQ干涉管、混合式諧振-干涉腔等[1-3]。當聲波激振頻率與抗性結構共振頻率一致時諧振產(chǎn)生的反相波與入射聲波會相互抵消，使聲波能量在局域結構中耗散而不再向后傳遞。雖然該噪聲控制方法在低頻范圍降噪效果優(yōu)秀，但是工作頻段窄，結構尺寸一旦確定就難以調節(jié)工作頻率，實際應用具有一定的局限性。

近年來，不斷有學者將磁流變液、磁流變彈性體、電流變液、壓電材料等智能材料與抗性結構結合應用，通過外加磁場或電場快速調控抗性結構的減振降噪頻率范圍，使抗性結構以遠超傳統(tǒng)機械液壓伺服系統(tǒng)的響應速度調節(jié)自身振動傳遞特性或吸聲特性，從而實現(xiàn)更寬的工作頻率范圍的目標。尤其是一些學者提出利用磁流變材料構成周期結構[4-7]，通過外部磁場的變化進行帶隙的調控，更加靈活方便地控制帶隙范圍，這也不失為一種方便快捷地得到特定帶隙、使局域共振型周期結構盡快進入使用階段的方法[8]。

本文針對傳統(tǒng)降噪結構低頻吸聲性能不佳、難以實現(xiàn)快速變頻調控的問題，設計一種填充磁流變液的亥姆霍茲共振腔周期結構，以智能材料磁流變液作為填充介質，通過外加磁場對該結構的帶隙進行調控，實現(xiàn)對低頻聲波的可變頻衰減。基于Biot理論和聲電類比法建立聲波在該結構中傳播的數(shù)學模型，計算聲波的傳遞損失并分析外加磁場對該結構工作頻率的調節(jié)作用。對聲波在該結構中傳播的傳遞損失進行有限元仿真，驗證數(shù)學模型的準確性。計算結構參數(shù)變化時該結構帶隙中心頻率的偏移，并與外加磁場變化對該結構的變頻調節(jié)作用作對比。

1 聲波傳播理論建模

1.1 共振腔周期結構

將10個亥姆霍茲共振腔單元周期布置，形成一維局域共振型周期結構，腔內填充介質為磁流變液，如圖1所示。該結構簡單可靠，能夠在固有頻率附近頻率范圍對聲波等彈性波引發(fā)的介質壓力脈動實現(xiàn)高衰減。

圖1 亥姆霍茲共振腔周期結構

共振腔周期結構的結構參數(shù)如表1所示。

表1 亥姆霍茲共振腔周期結構的結構參數(shù)

當聲波從管道入口入射，傳播經(jīng)過共振腔周期結構時，宏觀上每個共振腔可以等效為質量-彈簧系統(tǒng)模型，如圖2所示。聲波在聯(lián)通管路及共振腔中傳播會引發(fā)介質壓力脈動，此時共振腔頸部和腔體中的介質可以分別等效對應為質量m與彈簧k，組成一個獨立的局域振子系統(tǒng)。

圖2 亥姆霍茲共振腔等效彈簧質量模型

當聲波在管道中傳播時，對介質的激勵形成的壓力脈動通過共振腔頸部傳入共振腔腔體，腔體內介質共振將聲波局限在局域腔體中，在共振過程中摩擦力、阻尼力等力不斷損耗聲波能量。當聲波頻率即激振頻率等于共振腔固有頻率時，聲波傳播引發(fā)的介質壓力脈動達到最大，與腔壁劇烈摩擦耗散的能量也達到峰值，聲波能量在局域共振腔中完全耗散而不再向后傳遞。共振腔能夠抑制聲波傳播的頻率范圍被稱為帶隙，對聲波衰減量最大時對應的頻率被稱為帶隙中心頻率。

1.2 磁流變液介質微觀作用

磁流變液介質在施加磁場后磁性顆粒沿磁感線形成鏈狀結構，基液與磁性顆粒鏈、磁性顆粒之間的相對運動導致的聲波衰減可以用Biot理論很好地解釋，在很多公開文獻[9-11]中使用該方法計算聲波等彈性波在磁流變液、電流變液中的傳播，計算結果與實驗結果能夠很好地吻合。因此使用該理論能夠建立聲波在磁流變液中傳播的數(shù)學模型，求出波數(shù)c的表達式。

Biot理論中描述聲波傳播的波動方程有很多形式，較為經(jīng)典的波動方程表達式為：

-ω2(ρ11us+ρ12uf)=(P-N)·us+

N2us+Q·uf-ω2(ρ12us+ρ22uf)=

Q·us+R·uf

式中：us和uf分別為磁流變液中磁性顆粒(固體相)和基液(流體相)的位移向量，ω為角頻率：ρ11、ρ12、ρ22為Biot理論定義的復合密度，P、Q、R為修正Biot理論中的復合彈性模量。

1.2.1 復合密度ρ11、ρ12、ρ22表達式

在波動方程中，Biot理論定義的ρ11、ρ12、ρ22復合密度體現(xiàn)了固體相密度、液體相密度以及固液耦合作用對聲波傳遞的影響：

式中:φ為多孔材料孔隙度；σ為流體相材料流阻，Pas/m；ρs為固體相密度，kg/m3；ρf為流體相密度，kg/m3；ρa為描述質量耦合作用的慣性耦合項。

在各參數(shù)中，流體相材料流阻σ與慣性耦合項ρa為：

ρa=φρf(α(ω)-1)

為了表征多孔介質中孔隙壓力梯度下牛頓流體的特性，Biot模型中應用廣泛的Johnson模型引入了動態(tài)曲折度的概念，并定義了一個宏觀物理參數(shù)粘性特征長度。慣性耦合項中的α(ω)為動態(tài)曲折度為

式中:α為頻率無限大時的曲折度；q0為靜態(tài)滲透率；η為流體相動力學粘度，Pa為流體相運動學黏度m2/s。

函數(shù)G(ω)由Johnson模型定義為：

式中Λ為材料黏性特征長度。

1.2.2 復合彈性模量

Biot理論中的P、Q、R復合彈性模量體現(xiàn)了磁性顆粒(固體相)、基液(液體相)彈性模量以及固液耦合作用體現(xiàn)出的彈性模量對外聲波傳遞的影響。

在磁流變液體中的磁性顆粒的體積模量Ks遠大于磁流變液的體積模量Kb時，復合彈性模量P、Q、R可以簡化為以下形式：

(1)

式中：Kf為磁流變液基液的體積模量，Pa；Kb磁流變液的體積模量，Pa。

磁流變液的體積模量與剪切模量有如下關系：

式中：ν為泊松比；Gb為復剪切模量，Pa。

復剪切模量定義如下：

Gb=Gb′+iGb″

式中的虛數(shù)部分表示對聲波的衰減作用。

根據(jù)西安交通大學Qing Sun等實驗研究，磁流變液的復剪切模量Gb(單位MPa)與磁場強度H(單位Oe)的非線性關系為

1.2.3 求解波動方程

在Biot波動方程中壓縮波的位移向量即為標量位移勢函數(shù)的梯度，設磁流變液中固體相、液體相的標量位移勢函數(shù)為

(2)

若該方程有解，其系數(shù)矩陣為

即波動方程的特征值為兩個壓縮波的復波數(shù)的平方:

(3)

式中

若第1類縱波的復波數(shù)表示為k1=k′+ik2″，則其波速c為聲波角頻率與復波數(shù)實部的比：

(4)

由式(4)可知聲波在磁流變液中傳播的波速c受聲波角頻率影響，即受頻率f影響；由式(1)可知復合彈性模量的表達式中引入了與外加磁場強度H有關的復剪切模量與復體積模量，因此求解波動方程特征值得出的波數(shù)k受磁場強度H影響，即波速c受磁場強度H影響。

利用MATLAB軟件求解聲波頻率f與波速c的關系曲線，輸入磁流變液參數(shù)如表2。磁流變液的成分不變時，其彈性模量等物理學性能只與外加磁場強度有關。

表2 磁流變液基本參數(shù)

1.3 共振腔結構宏觀作用

亥姆霍茲共振腔是一種典型的振蕩結構，當一維亥姆霍茲共振腔周期結構的單元尺寸遠小于要衰減的聲波波長時，可以使用聲電類比法處理[12-13]。聲電類比法是集中參數(shù)法的一種，當滿足長波假設時，單元中再復雜的結構也可以等效為一個微元，周期結構表現(xiàn)出一種整體效果，而非任何一種組成材料對聲波的響應。

共振腔根據(jù)聲電類比法可以等效成LC振蕩電路求其阻抗，一個共振腔與一個聯(lián)通管路構成的單元可利用電學并聯(lián)公式求并聯(lián)阻抗，并利用阻抗轉移公式由共振腔周期結構輸出端逐個單元向前求等效阻抗，最后可得到輸入端處整個亥姆霍茲共振腔周期結構的等效阻抗，將整個共振腔周期結構對聲波傳遞的影響用等效阻抗集中參數(shù)來表示。

共振腔頸部等效為電感L：

共振腔腔體等效為電容C：

(5)

式中c為介質中的波速;ρ為介質密度。

由于亥姆霍茲共振腔可以等效為LC電路，因此一個共振腔的等效阻抗為

一個亥姆霍茲共振腔的共振頻率為

(6)

周期布置的共振腔耦合作用后帶隙中心頻率應與單個共振腔的共振頻率相近，式(6)可用于檢驗求得解析解的結果。

聯(lián)通管路的末端視為開口，僅考慮管末向管外存在聲波輻射時，由于存在輻射質量的影響，末端開口的阻抗為：

(7)

式中：Z0發(fā)揮與負載阻抗類似的作用；k、c為已求得的波數(shù)與波速；d0為一個周期單元的主管路長度，即晶格常數(shù)a。阻抗的實部表示聲波的透射作用，虛部表示聲波的反相抵消。

在聲傳輸線理論中，可以利用阻抗轉移公式將阻抗轉移至其他位置形成新的等效阻抗。計算最后一個周期結構聯(lián)通管路(不包含共振腔)前端的阻抗為

(8)

式中Z為主管路的阻抗：

(9)

式(8)即為將結構末端輻射質量引起的負載阻抗轉移到最后一個周期單元聯(lián)通管路的前端。轉移后的阻抗與最后一個亥姆霍茲共振腔的等效阻抗并聯(lián)可得：

可看出與電路中的電阻并聯(lián)計算公式類似。

至此，接近結構末端的一個共振腔及主管路單元阻抗已求出，再利用阻抗轉移公式由后到前求解，可求得共振腔周期結構輸入端的阻抗為：

(10)

(11)

Ze=Z10′

反復迭代式(10)、(11)，當n=10時得到共振腔周期結構的前端聲波入射口處的等效阻抗Ze。計算周期結構的等效表面阻抗，是求解聲波在周期結構中傳遞損失的關鍵。

共振腔周期結構等效阻抗可計算聲壓透射數(shù)為:

聲波傳播的傳遞損失可由入射與透射聲功率比wi/wt的對數(shù)形式表示，或用入射與透射聲能比Pi/Pt的對數(shù)形式表示[14]。

將其用等效阻抗形式表示，可得亥姆霍茲共振腔周期結構的傳遞損失為:

(12)

由式(3)與(4)可得聲波在介質中傳播的波數(shù)k、波速c，帶入到式(5)、(7)、(9)中求得共振腔周期結構各部分等效阻抗，并通過式(10)、(11)阻抗轉移公式和阻抗并聯(lián)公式得到周期結構的整體等效阻抗Ze，可最終由式(12)計算并通過MATLAB軟件繪制聲波頻率f與傳遞損失TL的關系曲線。

2 傳遞損失解析解與數(shù)值解

2.1 無外加磁場時的傳遞損失

利用軟件MATLAB計算式(12)，將表1的結構參數(shù)和表2的磁流變液參數(shù)帶入，可求得共振腔周期結構在無外加磁場時的傳遞損失解析解如圖3所示，在圖中傳遞損失明顯大于其他頻段的位置即為共振腔周期結構的帶隙。

圖3 無外加磁場的傳遞損失

由計算結果可知，共振腔周期結構在4 335 Hz處出現(xiàn)了一個最大傳遞損失為36.37 dB的高衰減峰，4 335 Hz即為局域共振型共振腔周期結構的帶隙中心頻率。

2.2 有外加磁場時的傳遞損失

利用軟件MATLAB求得該共振腔周期結構的有外加磁場的磁場強度H=1 000、2 000、3 000、4 000 Oe時的傳遞損失解析解如圖4。

圖4 外加磁場強度變化時的傳遞損失

將外加磁場的磁場強度H=1 000 Oe、2 000 Oe、 3 000 Oe、4 000 Oe時對應的帶隙中心頻率f、最大傳遞損失TL如表3所示。

表3 帶隙中心頻率與最大傳遞損失

由計算結果可知，當磁場強度由零逐漸增大時，共振腔周期結構的帶隙中心頻率逐漸向高頻移動，帶隙中心頻率處的最大傳遞損失大致呈增高趨勢，帶隙寬度變化不大。這是由于當外加磁場強度增加時，磁流變液由流體逐漸變?yōu)檎硰椥灶惞腆w，填充磁流變液的共振腔由于內部介質由流體相逐漸向固體相轉變，共振頻率隨外加磁場強度的增加而增加。

填充磁流變液的亥姆霍茲共振腔周期結構在4 000～6 000 Hz頻率范圍之間有一個高傳遞損失的帶隙，所取的4個頻率中帶隙中心頻率處傳遞損失峰值最高可以達到43.26 dB，最低也有28.56 dB，由傳遞損失公式計算可得，透射聲能量為入射聲能量的0.69%～3.73%，在帶隙中心頻率處99.31%～96.27%的聲波能量被填充磁流變液的共振腔周期結構所吸收耗散。不過，亥姆霍茲共振腔屬于典型的共振型聲波衰減結構，在聲波頻率與共振腔固有頻率一致時會形成峰值極高的衰減峰，可以近似認為聲波被完全吸收，計算結果也驗證了這一點。

外加磁場強度由0增加為4 000 Oe時，帶隙中心頻率由4 335 Hz增加為4 729 Hz，調節(jié)范圍為394 Hz。因此，該共振腔周期結構經(jīng)計算可驗證其具有良好的吸聲效果，且外加磁場對其帶隙頻率范圍由很強的變頻調節(jié)作用。

2.3 有限元仿真驗證

COMSOL Multiphysics有限元分析軟件具有優(yōu)秀的多物理場耦合分析功能，內部集成了常用的物理場接口和多種經(jīng)典邊界條件方程。尤其是COMSOL軟件能夠方便地模擬彈性波在多孔介質材料中的傳播，因此磁流變液、電流變液材料的吸聲特性、振動傳遞特性等問題的分析多用該軟件。

首先建立三維模型，結構參數(shù)與數(shù)學模型輸入?yún)?shù)一致，然后設置域方程和入口邊界、出口邊界、液-固邊界、介質-腔壁邊界處的邊界條件以及入射壓力場，最后劃分網(wǎng)格，求解計算無外加磁場時的傳遞損失。求得的數(shù)值解與解析解帶隙中心頻率誤差及傳遞損失峰值誤差如表4所示。

表4 無外加磁場時帶隙參數(shù)

由計算結果可知，共振腔周期結構在3 965 Hz處出現(xiàn)了一個最大傳遞損失為42.17 dB的傳遞損失峰值。數(shù)學模型求得的解析解與有限元法求得的數(shù)值解相比，帶隙中心頻率偏差為8.53%，傳遞損失峰值偏差15.94%。在無外加磁場時的計算結果驗證了數(shù)學模型的正確性，填充磁流變液的亥姆霍茲共振腔周期結構在低頻有良好的吸聲性能。

由于磁流變液的性質會隨外加磁場的變化而改變，定義新的介質參數(shù)仿真求解外加磁場為H=1 000 Oe時共振腔周期結構的傳遞損失參數(shù)如表5所示。

表5 外加磁場強度1 000 Oe時帶隙參數(shù)

外加磁場的磁場強度為H=2 000 Oe時解析解與數(shù)值解對比如表6所示。

表6 外加磁場強度2 000 Oe時帶隙參數(shù)

外加磁場的磁場強度為H=3 000 Oe時解析解與數(shù)值解對比如表7所示。

表7 外加磁場強度3 000 Oe時帶隙參數(shù)

外加磁場的磁場強度為H=4 000 Oe時解析解與數(shù)值解對比分析如表8所示。

表8 外加磁場強度4 000 Oe時帶隙參數(shù)對比

根據(jù)仿真結果表4～8可知，該結構具有良好的吸聲性能，且在外加磁場作用下能夠實現(xiàn)變頻調控，與數(shù)學模型計算結果一致。

傳遞損失峰值的數(shù)值解隨外加磁場變化產(chǎn)生了一定波動，與數(shù)學模型求解結果出現(xiàn)了最大29.5%的偏差。對數(shù)學模型進一步分析，本文認為解析解的傳遞損失峰值偏小是由掃頻計算時的步長限制所致。將采樣點間隔由原來的1 Hz縮小為0.1 Hz，縮小步長后求得外加磁場強度0、2 000、4 000 Oe時，傳遞損失峰值的小步長解析解、原解析解求得值、偏差值、偏差百分比如表9所示。

表9 傳遞損失峰值對比

縮小步長求解與原求解結果相比，傳遞損失峰值均不小于原值，最大增加12.77 dB的傳遞損失，證明通過數(shù)學模型計算求得的傳遞損失曲線有一個非常尖銳的峰值。在采樣點間隔縮小時，傳遞損失曲線尖銳峰能夠被采集點覆蓋，所以縮小步長后傳遞損失峰值逐漸增大。該峰值與有限元仿真求得的傳遞損失峰值接近，此時兩種計算方法得到的結果誤差很小。

3 外加磁場與結構參數(shù)變頻作用分析

由式(5)可知等效阻抗受結構參數(shù)影響，利用數(shù)學模型求解周期結構的各項結構參數(shù)改變后的傳遞損失曲線，分析共振腔腔體長度與截面積、頸部長度與截面積等結構參數(shù)變化對結構吸聲特性的影響，并與外加磁場對該結構的變頻調控作用進行對比與分析。

3.1 共振腔腔體對帶隙的影響

亥姆霍茲共振腔的腔體長度為d2=0.02 m，計算腔體長度為以10%變化時亥姆霍茲共振腔周期結構的傳遞損失曲線如圖5所示，假設外加磁場強度為零。

圖5 腔體長度變化時的傳遞損失

經(jīng)計算腔體截面積S2變化時對亥姆霍茲共振腔周期結構的傳遞損失曲線(無外加磁場)的影響與腔體長度變化一致?？芍还苁乔惑w長度還是腔體截面積，都是通過改變腔體體積V2來影響周期布置共振腔的傳遞損失。

由傳遞損失曲線可知，腔體體積越小，帶隙中心頻率越高，傳遞損失峰值基本不變，吸聲效果穩(wěn)定。當共振腔腔體體積增加或減小10%～20%時，結構尺寸變化對共振腔周期結構帶隙中心頻率的調控作用相當于外加磁場強度由0增加至4 000 Oe時對帶隙的調控作用。

3.2 共振腔頸部對帶隙的影響

3.2.1 頸部長度對帶隙的影響

亥姆霍茲共振腔的頸部長度為d1=0.005 m，計算頸部長度以10%變化時亥姆霍茲共振腔周期結構的傳遞損失如圖6所示，假設外加磁場強度為零。

圖6 頸部長度變化時的傳遞損失

由傳遞損失曲線可知，頸部長度越短，帶隙中心頻率越高，傳遞損失越低，吸聲效果減小。當共振腔頸部長度增加20%～30%或減小10%～20%時，結構尺寸變化對共振腔周期結構帶隙中心頻率的調控作用相當于外加磁場強度由0增加至4 000 Oe時對帶隙的調控作用。

3.2.2 頸部截面積對帶隙的影響

亥姆霍茲共振腔的頸部截面積為S1=0.003 2πm，計算頸部截面積以10%變化時亥姆霍茲共振腔周期結構的傳遞損失如圖7所示，假設外加磁場強度為零。

圖7 頸部截面積變化時的傳遞損失

由傳遞損失曲線可知，頸部截面積越大，帶隙中心頻率越高，傳遞損失越大，吸聲效果增大。當共振腔頸部截面積增加或減小10%～20%時，結構尺寸變化對共振腔周期結構帶隙中心頻率的調控作用相當于外加磁場強度由0增加至4 000 Oe時對帶隙的調控作用。

3.3 有外加磁場時結構參數(shù)的變頻作用

以上的計算和分析均在無外加磁場條件下，各結構參數(shù)分別變化對共振腔周期結構帶隙的調控作用。當外加磁場強度為0、2 000、4 000 Oe時，將共振腔腔體體積、頸部長度、頸部截面積增加或減少20%的變頻作用進行對比，如表10、11所示。

外加磁場強度為2 000 Oe時，結構參數(shù)變化對應的帶隙參數(shù)如表10所示。

表10 外加磁場強度2 000 Oe的帶隙參數(shù)

表11 外加磁場強度2 000 Oe的帶隙參數(shù)

共振腔周期結構在有外加磁場作用時，結構參數(shù)增加或減少對帶隙中心頻率的影響與無外加磁場的影響趨勢一致。經(jīng)過對比分析可知，隨著外加磁場強度增加，結構參數(shù)對帶隙中心頻率的影響略有增加。

4 結論

本文研究結果表明填充磁流變液的共振腔周期結構在低頻有良好的吸聲效果，通過Biot理論與聲電類比法進行理論建模，并使用COMSOL仿真計算數(shù)值解與解析解相互印證，研究結論如下：

1)建立的數(shù)學模型表明傳遞損失與聲波頻率、外加磁場強度有關，外加磁場強度由0增加到4 000 Oe時，帶隙中心頻率由4 335 Hz增加到4 729 Hz，變頻范圍為394 Hz，最小傳遞損失峰值為28.56 dB。該結構有良好的低頻吸聲效果，外加磁場對其具有很強的變頻調節(jié)作用。

2)有限元仿真驗證了數(shù)學模型的正確性，外加磁場強度為0～4 000 Oe時，帶隙中心頻率由3 965 Hz增加至4 328 Hz，與解析解相比帶隙中心頻率最大偏差不超過9.32%。

3)腔體體積、頸部長度減小，頸部截面積增大使帶隙中心頻率向高頻移動，外加磁場調節(jié)帶隙的變頻效果與結構參數(shù)增大或縮小20%相當。隨著外加磁場強度增加，結構參數(shù)對帶隙中心頻率的影響略有增加。