2

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 河南洛陽(yáng) 471003；2.機(jī)械裝備河南省協(xié)同創(chuàng)新中心 河南洛陽(yáng) 471003)

本文作者基于氣體潤(rùn)滑理論建立球面螺旋槽動(dòng)靜壓氣體潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型，采用有限差分法與導(dǎo)數(shù)積分法相結(jié)合，數(shù)值求解氣膜動(dòng)態(tài)擾動(dòng)壓力分布，數(shù)值計(jì)算動(dòng)態(tài)特性系數(shù)；研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與運(yùn)行參數(shù)對(duì)軸承動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律，優(yōu)化動(dòng)態(tài)特性、減小氣膜渦動(dòng)和振蕩，為提高氣體軸承運(yùn)行穩(wěn)定性提供理論基礎(chǔ)。

1 球面螺旋槽氣體軸承潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型

1.1 球面螺旋槽氣體軸承的幾何模型

如圖1所示，軸承由定子與轉(zhuǎn)子組成，供氣孔加工在定子上，轉(zhuǎn)子上加工有螺旋槽，供氣孔的位置與螺旋槽的分布沒(méi)有相互影響，采用逆切向供氣。β是螺旋角；w是軸頸轉(zhuǎn)速；φ是供氣切向角；α0是轉(zhuǎn)子小端角度；α1是螺旋槽起始端角度；α2是轉(zhuǎn)子大端角度；ps是小孔供氣壓力；br是臺(tái)寬；bg是槽寬；hg是槽區(qū)間隙；h0是臺(tái)域內(nèi)氣膜平均間隙。

圖1 球面氣體軸承示意圖

1.2 潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型

結(jié)合氣體潤(rùn)滑運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)性方程、狀態(tài)方程以及節(jié)流孔流量方程為基礎(chǔ)，結(jié)合牛頓黏性定律和雷諾方程假設(shè)[9-10]，在圖2所示球面坐標(biāo)系下，推導(dǎo)切向供氣的球面動(dòng)靜壓氣體軸承非線性動(dòng)態(tài)潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型。

圖2 球面坐標(biāo)系

(1)

(2)

對(duì)式(1)進(jìn)行保角變化[11-12]。取ξ=ln[tan(α/2)]， 將其變形為易于數(shù)值計(jì)算的雷諾方程形式：

(3)

式中：γ=sin2(2arctaneξ)。

2 氣膜動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的數(shù)值計(jì)算

2.1 軸承剛度、阻尼系數(shù)的推導(dǎo)

在轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)位置給一個(gè)小擾動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏離靜平衡位置作變位運(yùn)動(dòng)，氣膜力改變，氣膜的動(dòng)特性反映了氣膜力的相應(yīng)變化情況。圖3所示是轉(zhuǎn)子在φ、ξ、z方向偏離穩(wěn)態(tài)平衡位置O1在做微小運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力分析。

圖3 軸承受力分析

將動(dòng)態(tài)壓力分布p在穩(wěn)態(tài)平衡位置附近展開(kāi)為軸心偏離平衡位置的瞬時(shí)位移和瞬時(shí)變位速度的泰勒級(jí)數(shù)(只考慮一階小項(xiàng))[11]：

(4)

氣膜力對(duì)各方向位移與速度的求導(dǎo)得到氣膜的剛度和阻尼系數(shù)：

(5)

式中：Sj代表某個(gè)方向的位移擾動(dòng)；fe=cosφsin2α(對(duì)于Fe)；fθ=sinφsin2α(對(duì)于F)，fz=cosαsinα(對(duì)于Fz)。

(6)

式中： (i,j)=(e,ε),(θ,θ),(z,ε1)。

(7)

2.2 擾動(dòng)壓力的計(jì)算

(8)

對(duì)動(dòng)態(tài)控制方程式(8)在位移與速度方向上的擾動(dòng)變量進(jìn)行求導(dǎo)，得到擾動(dòng)壓力控制方程。求解域分為小孔區(qū)域(連續(xù)區(qū)域)、非小孔區(qū)域(包括連續(xù)與不連續(xù)區(qū)域)。

以求解小孔區(qū)域?yàn)槔?，?duì)ε求偏導(dǎo)數(shù)，得出關(guān)于Pε的擾動(dòng)壓力控制方程為

(9)

求解擾動(dòng)壓力時(shí)，須先求解出對(duì)應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)上氣膜厚度，由于氣膜厚度不連續(xù)，氣膜厚度方程在臺(tái)區(qū)和槽區(qū)要分別計(jì)算。

臺(tái)區(qū)量綱一氣膜厚度為

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)

(10)

槽區(qū)量綱一氣膜厚度為

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)+Hb

(11)

式中：θ為偏位角；Hb為量綱一槽深；量綱一軸向偏心率ε1=e1/h0，e1為軸向偏心距；量綱一徑向偏心率ε=e/h0，e為徑向偏心距。

同理，可以推導(dǎo)出氣膜連續(xù)區(qū)域其他擾動(dòng)壓力的控制方程，非連續(xù)區(qū)域擾動(dòng)控制方程的推導(dǎo)方法與連續(xù)區(qū)域的推導(dǎo)方法相同。

(Pε)i,j=

(12)

式中：Ai,j,Bi,j,Ci,j,Di,j,Ei,j,Fi,j是與氣膜厚度Hi,j，及穩(wěn)態(tài)氣膜壓力Pi-1,j,Pi+1,j,Pi,j-1,Pi,j+1有關(guān)的系數(shù)。

采用VC++編程數(shù)值計(jì)算軸承的剛度和阻尼系數(shù)，氣體軸承設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示，計(jì)算流程圖如圖4所示。

表1 氣體軸承設(shè)計(jì)參數(shù)

圖4 動(dòng)態(tài)剛度與阻尼系數(shù)計(jì)算流程圖

Fig 4 Flow chart of calculation

3 軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的計(jì)算

在動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的推導(dǎo)中，得出了氣膜力和動(dòng)態(tài)剛度與阻尼系數(shù)的關(guān)系式。假設(shè)所研究的軸承轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子[16-17]，當(dāng)轉(zhuǎn)子高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，受到微小擾動(dòng)，轉(zhuǎn)子將在穩(wěn)定平衡位置附近作小幅度渦動(dòng)，結(jié)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)平衡方程，可以得到：

(13)

上式其解的一般形式為

(14)

式中：e0、eθ0、z0是各方向上運(yùn)動(dòng)的振幅；v是特征值，v=u+iΩj，u為實(shí)部，Ωj為虛部；t為時(shí)間。將其代入到式(13)中進(jìn)行求解，可以得到：

(15)

根據(jù)勞斯-霍爾維茨線性穩(wěn)定性準(zhǔn)則，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能否在渦動(dòng)過(guò)后重新穩(wěn)定于某一點(diǎn)，取決于上述線性方程是否存在非零解。所以，轉(zhuǎn)子重新穩(wěn)定于某一點(diǎn)的條件是線性方程組系數(shù)的行列式為0，當(dāng)特征值的實(shí)部u=0時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于臨界線性失穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)，Ωj為界限渦動(dòng)頻率，用Ωst表示。

(16)

將行列式(16)展開(kāi)，可以得到實(shí)部與虛部分別為0，代入動(dòng)態(tài)特性系數(shù)，利用編程數(shù)值求解出keq與Ωst。

將界限渦動(dòng)剛度量綱一化得到：

(17)

將實(shí)部量綱一化可以得到：

(18)

式中：γst為界限渦動(dòng)比；ωst為線性失穩(wěn)角速度。

通過(guò)代入動(dòng)態(tài)特性系數(shù)以及Keq可以求解出界限渦動(dòng)比γst。

(19)

因此可以得到線性失穩(wěn)角速度的計(jì)算公式，進(jìn)而得到失穩(wěn)轉(zhuǎn)速：

(20)

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)、運(yùn)行參數(shù)對(duì)軸承動(dòng)態(tài)特性的影響

在轉(zhuǎn)速n=40 000 r/min、供氣壓力ps=0.3 MPa及表1設(shè)計(jì)參數(shù)條件下，計(jì)算分析了槽寬比、槽深比、螺旋角、徑向偏心率及相應(yīng)條件下供氣壓力、轉(zhuǎn)速等參數(shù)對(duì)氣體軸承氣膜動(dòng)態(tài)特性系數(shù)的影響規(guī)律。

4.1.1 螺旋槽參數(shù)對(duì)氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖5—7示出了槽寬比、槽深比、螺旋角等螺旋槽參數(shù)對(duì)氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響?？梢钥闯觯瑒偠认禂?shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增加先增大后減小，當(dāng)槽寬比為0.4左右，槽深比為2左右，螺旋角為70°左右時(shí)，剛度系數(shù)達(dá)到最大值；e向阻尼系數(shù)受螺旋槽各參數(shù)的影響較弱，其他阻尼系數(shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增加先增加后減小，當(dāng)槽寬比為0.4左右，槽寬比在2附近，螺旋角為70°左右時(shí)，阻尼系數(shù)達(dá)到最大值。因此，螺旋槽的設(shè)計(jì)參數(shù)應(yīng)選取槽寬比在0.3～0.5之間，槽深比在1.5～2.5之間，螺旋角在60°～80°之間，以保證較大的氣膜剛度與阻尼。合適的螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)有利于增強(qiáng)氣體軸承的動(dòng)壓效應(yīng)，提高氣體軸承性能，保證軸承運(yùn)行穩(wěn)定性。

圖5 槽寬比對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖6 槽深比對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

圖7 螺旋角對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

Fig 7 Influence of sprial angle on the stiffness and damping coefficients

4.1.2 徑向偏心率對(duì)氣膜剛度、阻尼系數(shù)的影響

從圖8所示的徑向偏心率對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，剛度系數(shù)隨著偏心率的增大而增大，且剛度系數(shù)的增大趨勢(shì)逐漸加快；e向阻尼系數(shù)受偏心率的影響較弱，變化趨勢(shì)很小，θ、z方向阻尼系數(shù)隨著偏心率的增大而增大，類(lèi)似地，阻尼系數(shù)的增加趨勢(shì)逐漸加快。動(dòng)靜壓氣體軸承的剛度、阻尼系數(shù)隨著偏心率增大而增大，阻尼對(duì)渦動(dòng)能量起消耗作用，為了抑制氣膜渦動(dòng)，提高動(dòng)靜壓氣體軸承運(yùn)行穩(wěn)定性，應(yīng)采用較大的偏心率下工作。

圖8 徑向偏心率對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.1.3 供氣壓力對(duì)氣膜剛度與阻尼系數(shù)的影響

從圖9所示的供氣壓力對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，z向剛度系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，e、θ向剛度系數(shù)隨供氣壓力的增大而增大，其中主剛度系數(shù)Kee與交叉剛度系數(shù)Keθ增加趨勢(shì)較快，當(dāng)供氣壓力超過(guò)0.4 MPa時(shí)，各剛度系數(shù)的增大趨勢(shì)變緩；e向阻尼系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，其他阻尼系數(shù)隨著供氣壓力的增加而逐漸增加，其中主阻尼系數(shù)Bθθ、Bzz的增加趨勢(shì)明顯。

總體上，隨著供氣壓力增加，剛度和阻尼系數(shù)不斷增加，使氣膜具有較高動(dòng)態(tài)剛度及阻尼特性，有利于減小渦動(dòng)，提高氣膜的穩(wěn)定性。但過(guò)大的供氣壓力也會(huì)促使氣膜振蕩產(chǎn)生，易與系統(tǒng)固有振動(dòng)耦合產(chǎn)生共振，使軸心運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)幅度加大，加大了碰磨發(fā)生的可能性，可能因此引起軸承失效。由以上分析可知，當(dāng)供氣壓力超過(guò)0.4 MPa時(shí)，剛度系數(shù)的增加趨勢(shì)變緩，綜合考慮供氣壓力在0.4～0.6 MPa之間，可以保證較大氣膜剛度及氣膜阻尼以及軸承運(yùn)行安全性。

圖9 供氣壓力對(duì)剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.1.4 轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

從圖10所示的轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響規(guī)律可以看出，剛度系數(shù)隨著轉(zhuǎn)速的逐漸升高而逐漸增大，主剛度系數(shù)Kθθ、Kzz與交叉剛度系數(shù)Kze、Kθe、Kez增加趨勢(shì)較快，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)20 000 r/min，剛度系數(shù)的變化趨勢(shì)逐漸加大；e向阻尼系數(shù)受轉(zhuǎn)速的影響較弱，其他方向阻尼系數(shù)隨著轉(zhuǎn)速的增大而迅速減小，阻尼系數(shù)Bθθ、Bzθ、Bzz、Bθz的減小的趨勢(shì)明顯。

由軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性臨界轉(zhuǎn)速分析，在文中采用的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運(yùn)行參數(shù)條件下，轉(zhuǎn)速在25 000 r/min以后促渦因素加強(qiáng)，出現(xiàn)渦動(dòng)失穩(wěn)。此時(shí)氣膜渦動(dòng)力大于氣膜阻尼，導(dǎo)致線性失穩(wěn)，出現(xiàn)半頻渦動(dòng)現(xiàn)象。從剛度阻尼的變化規(guī)律可以得到氣膜的穩(wěn)定狀態(tài)取決于剛度與阻尼的綜合作用。

圖10 轉(zhuǎn)速對(duì)動(dòng)態(tài)剛度、阻尼系數(shù)的影響

4.2 失穩(wěn)轉(zhuǎn)速數(shù)值分析

采用表1給定參數(shù)并對(duì)相應(yīng)參數(shù)進(jìn)行變化分析供氣壓力、徑向偏心率對(duì)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。從圖11所示的供氣壓力、徑向偏心率對(duì)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律可以看出，隨著供氣壓力的上升，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增加；供氣壓力大于0.4 MPa，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速增幅變緩，供氣壓力超過(guò)0.6 MPa時(shí)，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速基本保持不變。提高供氣壓力，有利于消除渦動(dòng)，可以提高轉(zhuǎn)子臨界失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，改善轉(zhuǎn)子運(yùn)行穩(wěn)定性，但較大的供氣壓力也會(huì)引起自激振動(dòng)現(xiàn)象，進(jìn)而導(dǎo)致軸承失效。因此，在保證較高的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速條件下，選取盡可能小的供氣壓力，會(huì)更有利于運(yùn)行的穩(wěn)定。在文中給定參數(shù)條件下，供氣壓力選取應(yīng)在0.4～0.6 MPa是較為合理的。

失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速隨著徑向偏心率的增加而增加，增幅逐漸變小，當(dāng)偏心率大于0.4時(shí)，失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸趨近于不變。大偏心軸承具有良好的穩(wěn)定性，但過(guò)大的偏心率要求加工精度很高、安裝和調(diào)試?yán)щy，因此，在文中給定參數(shù)條件下，徑向偏心率應(yīng)選取在0.4～0.6。

圖11 供氣壓力、徑向偏心率對(duì)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律

5 結(jié)論

(1)氣膜的穩(wěn)定性取決于氣膜的剛度與阻尼的綜合作用。對(duì)于動(dòng)靜壓混合氣體軸承，提高供氣壓力，增大偏心率，選取合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)，有利于優(yōu)化動(dòng)態(tài)特性系數(shù)，抑制渦動(dòng)，提高轉(zhuǎn)子渦動(dòng)失穩(wěn)臨界轉(zhuǎn)速，改善軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(2)隨各結(jié)構(gòu)參數(shù)(槽寬比、槽深比、螺旋角、偏心率)的增大，軸承剛度系數(shù)總體上先增大后減小；隨著偏心率、供氣壓力、轉(zhuǎn)速的增大而增大，各剛度系數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)不同。值得注意的是，z向剛度系數(shù)受供氣壓力的影響較弱，當(dāng)供氣壓力超過(guò)0.4 MPa時(shí)，各向剛度系數(shù)的增長(zhǎng)均有減緩；當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)20 000 r/min，剛度系數(shù)的變化趨勢(shì)逐漸加大。e向各阻尼系數(shù)受各參數(shù)的影響較弱，其他各阻尼系數(shù)隨螺旋槽各參數(shù)的增大先增大后減小，隨著偏心率、供氣壓力的增大而增大，隨著轉(zhuǎn)速的增大而迅速減小。

(3)對(duì)于文中給定參數(shù)的氣體軸承，取供氣壓力在0.4～0.6 MPa，徑向偏心率在0.4～0.6，可以保證軸承氣膜有較大的剛度與阻尼，同時(shí)也具有較好的運(yùn)行穩(wěn)定性。