高瑜 高藝 王偉

本文詳細介紹了以微分方程為基礎(chǔ)的正規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭、混合戰(zhàn)爭等三種戰(zhàn)爭模型的建立，求解，得出三種戰(zhàn)爭的勝負與初始兵力的關(guān)系。

1 引言

微分方程作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個中心學(xué)科，經(jīng)過三百余年的不斷發(fā)展，不論在求解方法上還是在定性理論分析方面日臻完善，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性與非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，常微分方程也在不斷的被研究與探索，并且融入數(shù)學(xué)建模思想提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在現(xiàn)實世界中，能夠通過建立微分方程模型研究的實際問題非常之多。如物理學(xué)中的振動現(xiàn)象、化學(xué)中物質(zhì)間反應(yīng)的酶促作用、生態(tài)學(xué)中單種群的增長模型、多種群間相互作用的數(shù)學(xué)模型、經(jīng)濟學(xué)中研究經(jīng)濟規(guī)律的動態(tài)模型、艾滋病防治的數(shù)學(xué)模型、傳染病模型與戰(zhàn)爭模型。本文以戰(zhàn)爭模型為例做簡要研究。

第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測戰(zhàn)役結(jié)局的模型，戰(zhàn)爭分為正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭三種類型。為了便于分析，本文只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱，并假設(shè)兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加，戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)。

2 模型分析

設(shè)一場戰(zhàn)爭中有甲乙兩方部隊。甲方的兵力為（初始兵力），增援率為，乙方兵力為（初始兵力），增援率為。假設(shè)每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力，且每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比。即有

（1）

其中取決于戰(zhàn)爭類型。下面具體分析三種：

2.3混合戰(zhàn)爭模型

假設(shè)甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊，則，（為乙方每個士兵的殺傷率），，（為射擊率，為命中率），（為甲方活動面積，為乙方的射擊有效面積），，假設(shè)沒有增援，忽略非戰(zhàn)斗減員，則

（5）

由方程（5）可得：，代入初值得：。此方程為拋物線，如下圖：

若可得：當(dāng)時，乙方勝利。同理時，甲方勝利，時平局。

3 小結(jié)

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中有廣泛應(yīng)用，本文對戰(zhàn)爭模型作了簡單研究，得到三種戰(zhàn)爭模型的特點，模型沒有研究兵力的自身減員和自然因素，還可以做進一步研究。數(shù)學(xué)建模是為了解決生活中的實際問題，常微分方程的出現(xiàn)，讓很多模型的到行之有效的解法，從而解決了很多問題，也使得數(shù)學(xué)研究從理論轉(zhuǎn)向?qū)嵺`。

基金項目：陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院教改基金（17GY021）， 陜西省教育廳科學(xué)研究項目（17JK0170）。

（作者單位：陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院）