杜紅林

摘要：借助MATLAB數(shù)值計算應用軟件，提高高等學校工科專業(yè)的學生學習線性代數(shù)課程的學習興趣。本文以解決矩陣特征值的教學為實例，闡述了通過MATLAB輔助線性代數(shù)實驗教學的應用價值。

關鍵詞：MATLAB;特征值;特征向量;幾何意義

中圖分類號：TP3? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）20-0114-02

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

線性代數(shù)是大學理工科學生所必備的基礎知識和重要的數(shù)學工具，它一方面是學生學習后繼專業(yè)課程的基礎，另一方面，由于線性代數(shù)的高度抽象性，它又是讓學生望而生畏的枯燥課程。因此，作為教師，如何改進新的教學手段，引進新的教學方法，采取更加合理的教學模式，幫助學生更好地理解線性代數(shù)課程的理論知識，并讓學生能夠靈活應用到實踐中去，這是深化高等學校工科專業(yè)線性代數(shù)課程實驗部分教學改革的主要途徑之一，同時也是該課程任課教師在教學過程中值得思考和研討的問題[1-4]。

以往的線性代數(shù)教學偏重的完備課程理論體系學習，過于注重的基本概念的掌握，忽視相應的與實踐相結合，采取嚴格的數(shù)學邏輯思維訓練和計算量大的教學模式，會使得學生學習起這門課程內容感覺枯燥、抽象，導致失去主動學習的興趣和熱情。進入21世紀，隨著多媒體輔助教學技術的發(fā)展，借助MATLAB數(shù)學軟件，將實驗教學融入線性代數(shù)的課堂教學，不僅可以讓學生擺脫繁重乏味的思考、不必要而又復雜的數(shù)學演算，而且可以加強學生對書本中抽象概念的理解和掌握。下面結合線性代數(shù)中的實驗教學，本文將談談借助MATLAB軟件改進線性代數(shù)教學的一點體會予以分享。

1 MATLAB的優(yōu)越性

上世紀70年代中期，美國新墨西哥大學的計算機系的系主任Cleve Moler教授在給學生講授線性代數(shù)時，發(fā)現(xiàn)學生在繁瑣的計算上花了太多時間，為此，他為學生編寫了一個接口程序，取名為MATLAB，即Matrix Laboratory的縮寫，意思為“矩陣實驗室”， 這就是 MATLAB這個應用軟件產生的背景。1984年，工程師John Little覺察到MATLAB的應用前景不應該僅是單純的數(shù)學領域，更應該是廣闊的工程領域。于是，他與Cleve Moler成立了MathWorks公司。由于MATLAB強大的數(shù)值計算功能，很快使其在眾多軟件中脫穎而出。目前，在國內外各大高校中，MATLAB已成為理工科專業(yè)基礎課程必備的基本教學工具。

在線性代數(shù)教學過程中，可以充分利用MATLAB軟件強大的計算功能、程序設計語言簡單、繪圖功能方便等特點將抽象的概念變得直觀，將復雜的數(shù)學計算變得簡潔，加深學生對概念的理解，增強學生對線性代數(shù)的學習興趣，培養(yǎng)學生獲取知識的主動性。

2 借助MATLAB數(shù)值計算應用軟件進行實驗教學

在線性代數(shù)的教學過程中，大量復雜而又繁瑣的計算分散了學生理解問題本身的精力，造成了學生們忙于應付計算，輕視了方法原理的學習，而利用MATLAB軟件進行實驗教學，可以較好地解決這一問題。

接下來就以線性代數(shù)中的一個重要內容為例說明MATLAB的作用。

實驗內容：特征值、特征向量的概念和意義[5]。

線性代數(shù)中許多抽象概念的講解，往往過于強調抽象思維能力而忽視了空間想象能力。例如，對于矩陣的特征值與特征向量的學習，學生往往只知其一：只知道如何套用公式求矩陣特征值和特征向量;不知其二：不知道特征值和特征向量究竟表示什么，有什么幾何意義。在教學過程中，可以借助MATLAB軟件，通過如下的方式幫助學生理解這一抽象的概念。

在MATLAB命令窗口輸入eigshow命令[6]，可以打開一個特征值、特征向量的演示窗口，其中系統(tǒng)默認的矩陣[A=1434112]，綠色線段表示單位向量[x=（1， 0）T]，藍色線段表示向量[Ax]。當鼠標在單位圓上移動[x]，矩陣[A]作用到向量[x]后的結果[Ax]也隨之變化。

圖1顯示了向量[x]在矩陣[A]的作用下的變化過程，可以看出向量[Ax]的軌跡是一個橢圓。那么，什么是特征值、特征向量呢？從數(shù)學的定義看，滿足[Ax=λx]的非零向量[x]稱為特征向量，[λ]稱為特征值。這是一個抽象的數(shù)學概念，但通過給學生演示[x]和[Ax]的運動軌跡，可以直觀地觀察到：所謂特征向量，指的是與[Ax]平行的向量[x]，此時矩陣[A]的作用僅僅是把單位向量[x]拉伸[λ]倍，[λ]即為特征值。圖2顯示了矩陣[A]的特征值和特征向量。第一個特征值是正數(shù)，所以[Ax]位于特征向量[x]的頂部，[Ax]的長度即為特征值，在這個例子中為[54]。第2個特征值是負數(shù)，所以[Ax]平行于特征向量[x]，但方向相反，[Ax]的長度為[12]，所以相應的特征值為 [-1/2]。

細心的學生會發(fā)現(xiàn)，圖2中的兩個特征向量很接近但并不完全落在橢圓的長、短軸上。那么，可以引導學生思考：對于什么樣的矩陣，特征向量恰好落在橢圓的長、短半軸上？如果矩陣奇異，那么橢圓又會發(fā)生什么樣的變化？通過上述的引導和討論，我們選擇對角矩陣[A=540034]和奇異矩陣[A=1212]，然后觀察[x]和[Ax]的運動軌跡，見圖3。

通過直觀演示，結合簡單運算，可以發(fā)現(xiàn)，對角矩陣的特征向量剛好落在橢圓的長半軸和短半軸上，（實際上，如果矩陣[A]對稱，那么其特征向量一定落在橢圓的長、短軸上），而單位向量[x]在奇異矩陣作用下的軌跡退化成了一條線段。

3 結語

在線性代數(shù)課堂上引入實驗教學，將抽象的高等數(shù)學的學習與Matlab這款應用軟件相結合，無疑是一種行之有效的計算機輔助線性代數(shù)教學的學習途徑，有利于提高學生學習線性代數(shù)的興趣，提升教學效果，促進現(xiàn)代教學改革。同時不僅消除了學生對高等數(shù)學學習的枯燥和抽象，還能提高學生運用數(shù)學知識解決實際問題能力。

參考文獻：

[1] 徐利治.關于線性數(shù)學教育與數(shù)學改革的看法及建議[J].數(shù)學教育學報，2000，9（2）：1-2.

[2] 王海俠，孫和軍，王青云.改進線性代數(shù)教學方法的幾點想法[J].高等數(shù)學研究，2010，13（6）：13-15.

[3] 周琳.將數(shù)學實驗融入線性代數(shù)課的研究與實踐[J].遼寧科技學院學報，2008，10（2）：63-64.

[4] 金波.數(shù)學實驗在《線性代數(shù)》教學中的應用探索[J].科技信息，2013（7）：319-319.

[5] 同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學，線性代數(shù).第6版[M].高等教育出版社，2014.

[6] Moler C B.Numerical Computing with MATLAB：Revised Reprint[M].SIAM，2008.

【通聯(lián)編輯：張薇】