鄭 良

(安徽省靈璧第一中學(xué) 234200)

筆者在進(jìn)行高三二輪“數(shù)列”專(zhuān)題復(fù)習(xí)備課時(shí)，遇到了如下兩道試題，很容易就發(fā)現(xiàn)了其中的解答錯(cuò)誤.而類(lèi)似的運(yùn)算錯(cuò)誤在學(xué)生答題中比較常見(jiàn)，故撰寫(xiě)此文，以示提醒，以期拋磚引玉，引發(fā)更多、更好的解決方案.

一、試題與解答

例1設(shè)等差數(shù)列{an}滿足：3a7=5a13，cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=-cos(a5+a6)，公差d∈(-2,0)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為( ).

A.100π B.54π C.77π D.300π

解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3a7=5a13，得a1=-21d.

cos2a4-cos2a4sin2a7+sin2a4cos2a7-sin2a4=cos2a4(1-sin2a7)-sin2a4(1-cos2a7)=cos2a4cos2a7-sin2a4sin2a7=(cosa4cosa7-sina4sina7)(cosa4cosa7+sina4sina7)=cos(a4+a7)cos(a4-a7)=-cos(a5+a6).

當(dāng)n≥5時(shí)，n!的個(gè)位數(shù)字為0，而1!+2!+3!+4!的個(gè)位數(shù)字為3，所以所求前100項(xiàng)和的個(gè)位數(shù)字也是3.

二、案例剖析

下面分別驗(yàn)證其充分性：

當(dāng)t=1時(shí)，an+1=(n+1)an，得an≠0，以上解答成立.(或先求an=n!,再驗(yàn)證滿足an+1an-1=an(an-1+an))，此時(shí)所求前100項(xiàng)和的個(gè)位數(shù)字為3.

綜上所述，a1+a2+…+a100的個(gè)位數(shù)是3或1.

三、兩點(diǎn)感悟

1.深化運(yùn)算能力 提高監(jiān)控反思

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：理解數(shù)學(xué)對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.運(yùn)算求解能力是指會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問(wèn)題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)便的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算.運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，通過(guò)運(yùn)算可以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，形成規(guī)范思考問(wèn)題的本質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)必需夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、通曉運(yùn)算規(guī)則，具有整體意識(shí)，明確問(wèn)題走向，根據(jù)不同情形適時(shí)調(diào)整的能力.

學(xué)習(xí)過(guò)程中，可通過(guò)適當(dāng)?shù)暮献鲗W(xué)習(xí)，培養(yǎng)檢驗(yàn)意識(shí)和技能等方式提高自我監(jiān)控能力.解決問(wèn)題時(shí)嘗試思考：還有哪些角度？還有哪些方法？方法與結(jié)論是否能夠推廣等等.自我監(jiān)控能力的提高可實(shí)現(xiàn)根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行自我調(diào)節(jié)從而保證了學(xué)習(xí)的效果.學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算中除數(shù)不能為零的元認(rèn)識(shí)知識(shí)是具備的，但對(duì)其相關(guān)的元認(rèn)知體驗(yàn)未必深刻，它需要較多的正例與反例的強(qiáng)化與感悟.例1中，在方程cos(a4+a7)cos(a4-a7)=-cos(a4+a7)兩邊同時(shí)除以cos(a4+a7)是至精至簡(jiǎn)的需要，也是化歸與轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)，但解題者出現(xiàn)了對(duì)運(yùn)算法則理解的 “暫時(shí)缺失”從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤操作.

2.強(qiáng)化邏輯推理 規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).推理論證講究言必有據(jù)，先證后用是解題的基本規(guī)范，也是演繹推理的根基.

平時(shí)解題的書(shū)寫(xiě)要規(guī)范，要寫(xiě)清問(wèn)題的原理(數(shù)學(xué)模型)，盡可能做到不跳步.注重論據(jù)的落實(shí)，形成完整的推理論證鏈.如何求集合A和B的交集A∩B？一般有如下方法：

①平行型.先分別求出集合A，B，再求A∩B；

②遞進(jìn)型.在集合A(B)的基礎(chǔ)上滿足集合B(A)；

③交錯(cuò)型.對(duì)A，B交叉使用，最終確保滿足A，B.